专题2.1 不等式的性质（解析版）

专题2.1不等式的性质题型一不等式性质的应用题型二比较两个数（式）的大小题型三比较法证明不等式题型四求目标式的取值范围题型五不等式的综合应用题型一 不等式性质的应用例1．（海南省2022届高三高考全真模拟卷（三）数学试题）（多选）如果，那么下列不等式错误的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.【详解】因为，所以，所以，故A项正确；取，，则，则，故B项错误；取，，则，故C项错误；取，，，则，故D项错误．故选：BCD．例2．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）（多选）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由已知可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可.【详解】因为实数，，满足，，所以，.对于A：因为，所以，因为，所以，所以A错误；对于B，若，则，因为，所以，所以B错误；对于C，因为，，所以，所以C正确；对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误.故选：ABD练习1．（2021秋·福建泉州·高三校考期中）若，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.【详解】若，则，故A正确；当时，，故BC错误；当时，，故C错误.故选：A.练习2．（2022秋·安徽合肥·高三校考期末）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据排除选项A；取计算验证，排除选项C，D得到答案.【详解】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误.故选：B.练习3．（2023秋·广东梅州·高三统考期末）（多选）下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，，，显然不满足结论；B.由可知，，由不等式性质可得，结论正确；C.由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；D.取，满足条件，显然不成立，结论错误.故选：BC.练习4．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据不等式的基本性质，以及特练习，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，可得，此时，所以不等式不一定成立，符合题意；对于B中，因为，可得，又由，所以一定成立，不符合题意；对于C中，当时，可得，此时，所以不一定成立，符合题意；对于D中，由，因为，可得，当的符号不确定，所以不一定成立，符合题意.故选：ACD.练习5．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据不等式的性质，讨论的正负和三种情况，得出结论．【详解】若，当时，；当时，；当时，；“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，故答案为：（答案不唯一）题型二 比较两个数（式）的大小例3．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）设，比较与的大小；（2）已知，，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案；（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.【详解】（1），，，.（2），，又，又，，.例4．（2021春·陕西西安·高二西安中学校考期中）设，则的大小顺序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.【详解】，，，，.又，故.则.故选：C.练习6．（2023秋·广东清远·高三统考期末）“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】做差可判断充分性，取可判断必要性可得答案.【详解】，当时，，所以，可得，所以充分性成立；但当时，即也成立，所以必要性不成立．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：B.练习7．（2022秋·广东江门·高三校考阶段练习）（多选）若正实数x，y满足，则有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论.【详解】依题意，正实数x，y满足，，若，则，所以①错误.，所以②正确.由于，所以，所以③正确.，所以④正确.故选：BCD练习8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）（多选）已知a，b，，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C． D．【答案】BC【分析】通过举反练习可判断A项，通过构造函数研究其单调性可判断B项，运用基本不等式可判断C项，方法1：通过举反练习，方法2：作差法可判断D项.【详解】对于A项，练习如，，，满足，，但不满足，故A项不成立；对于B项，因为,，，所以幂函数在上为增函数，所以，故B项正确；对于C项，因为，，，所以，当且仅当时等号成立，故C项正确；对于D项，方法1：当，时，，，则，故D项错误．方法2：作差法，，因为，，所以，所以，故D项错误．故选：BC.练习9．若，求证：．【答案】证明见解析【分析】作商法证明不等式.【详解】证明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．练习10．（2022·高一课时练习）试比较下列组式子的大小：(1)与，其中；(2)与，其中，；(3)与，．【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小；(2)通过作差法来比较的大小；(3)通过作差法或作商法比较与的大小.（1）解：，，因为，所以，即；（2）解：．因为，，所以，，所以，即；（3）方法一（作差法）．因为，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因为，所以，，，所以，所以．题型三 比较法证明不等式例5．（2022秋·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）已知为三角形的三边长，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答.（2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答.【详解】（1）为三角形的三边长，而，显然，即，当且仅当时取等号，因此，所以.（2）为三角形的三边长，则，于是得：，所以.例6．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．(1)，bd＞0，求证：；(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；（2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到.【详解】（1）证明：，因为，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）证明：因为a＞b＞c＞0，所以有，，，，则，，即有，成立；因为，，所以，，又，所以，成立.所以，有.练习11．（1）设，，．试比较P与Q的大小．（2）已知，，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）直接作差化简得，则；（2）利用不等式的性质与推论或者直接作差通分有，再进行符号分析即可得到答案.【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2）方法一

证明：∵，∴，∴又，∴．方法二

证明：∵，，∴，∴又，∴，∴，即.练习12．（2022秋·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知，，求证：.【答案】证明见解析【分析】根据不等式的性质可得，再根据证明即可.【详解】，.，，即.，，，即.练习13．（2022秋·河南平顶山·高二叶县高级中学校考阶段练习）已知三个不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均为实数），命题p：__________，____________________（横线上填①，②，③）．请写出2种可能的命题，并判断其真假．【答案】答案见解析【分析】依题意可得①，②③；①，③②；②，③①根据不等式的性质及作差法证明即可；【详解】解：命题1：①，②③．若①，②成立，即，，不等式两边同除以可得，即命题1为真命题．命题2：①，③②．若①，③成立，即，，不等式两边同乘，可得，即命题2为真命题．命题3：②，③①．若③，②成立，即，，则．又，则，即命题3为真命题．（以上三个命题中可以任意选择两个命题）练习14．已知都是正数．求证：“”的充要条件是“”．【答案】证明见解析【分析】利用不等式的性质，结合充要条件的定义证明即可．【详解】证明：必要性：若，，，，，即，，，，即，必要性得证；

②充分性：若，，，，，，不等式两边同时除以，即得到，充分性得证.

综上，的充要条件是．练习15．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知a，b，c，d均为正数.求证：（2）已知.求证：<的充要条件为x>y【答案】详见解析.【分析】（1）利用基本不等式即证；（2）利用不等式的性质，由，可得<，由<，，可得，即证.【详解】（1）∵a，b，c，d均为正数，∴当且仅当时取等号，同理可得，∴，当且仅当时取等号；（2）充分性，因为，，，∴<，必要性，因为<，，所以，综上，<的充要条件为x>y.题型四 求目标式的取值范围例7．（2022秋·广东肇庆·高二校考阶段练习）已知，且，（1）取值范围是__________（2）的取值范围是__________．【答案】【分析】根据不等式的性质结合条件即得.【详解】∵，且，∴，，∴；由，可得，又，所以.故答案为：；.例8．（2022秋·高一单元测试）（1）设，，求，，的范围；（2）已知，求证：.【答案】（1），，；（2）证明见解析.【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解；（2）利用基本不等式的性质可知，，，从而可得，再结合即可得证.【详解】（1），，，，，，，，.故，，.（2）证明：由，两边平方得，根据基本不等式有，，，当且仅当时等号成立，将上述个不等式相加得，即，所以，整理得，当且仅当时等号成立.练习16．已知，，(1)求的范围(2)求的范围【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由不等式的性质求解，【详解】（1）由，得，则，即的取值范围为（2）由，得，即的取值范围为练习17．（2020·北京·高三强基计划）已知，则的取值范围是__________．【答案】【分析】利用不等式的性质可求取值范围.【详解】根据题意，有，其中，因此的取值范围是,故答案为：.练习18．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）若，，则的取值范围为______.【答案】【分析】运用不等式的性质进行求解即可.【详解】由，而，所以有，因此的取值范围为，故答案为：练习19．（2022秋·江苏淮安·高三江苏省洪泽中学校联考期中）若，则的取值范围为___________.【答案】【分析】利用不等式的性质逐步计算即可.【详解】因为，所以，则，又因为，所以，故的取值范围为.故答案为：.练习20．（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知实数、满足，，则的取值范围为_____________．【答案】【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】因为，，则，，所以，，由不等式的性质可得.故答案为：.题型五 不等式的综合应用例9．（2023·广东惠州·统考一模）（多选）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用条件进行指对数转换，得到，从而有，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】因为，所以，则，选项A，，故正确；选项B，因为，且，所以，故B正确；选项C，因为，故C错误；选项D，因为，故D正确，故选：ABD．例10．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题设，，结合重要不等式、基本不等式判断各项的正误即可.【详解】由题设，，所以，故A错；且，而，故B对；，故C错；，设，则，则在上递增，所以，故D错.故选：B.练习21．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）的一个充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用举练习说明，排除AB；利用对数函数的单调性判断C；利用指数函数的单调性判断D.【详解】A：若，取，则不成立，故A不符题意；B：若，取，则不成立，故B不符题意；C：函数在上单调递增，由，得，故C不符题意；D：函数在R上单调递增，由，得；由，得，所以“”是“”的充要条件，故D符合题意.故选：D.练习22．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）（多选）已知等比数列中，，则下列选项中正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】对于A选项：根据条件结合等比数列的通项公式得到，即可判断；对于B选项：等比数列的通项公式结合基本不等式，即可求解；对于C选项：根据A选项得到，即可求解；对于D选项：作差得到，根据二次函数的图像与性质，即可求解.【详解】设等比数列的公比为（），对于A选项：由，得，即，所以A选项正确；对于B选项：，当且仅当，即时，等号成立，所以B选项正确；对于C选项：，当时，，所以C选项错误；对于D选项：（），即，则，所以D选项正确；故选：ABD.练习23．（2023春·云南昭通·高三校