9.3 双曲线（精练）（教师版）

9.3双曲线（精练）1（2023·四川成都·校联考二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由双曲线，则其渐近线方程为，由题意可得：，整理可得，将代入双曲线方程可得：，解得，，所以双曲线.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知F为双曲线：的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知，设直线PF为，联立，消去得根据已知可得方程有一正根一负根，，解得故选：D．3．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段AB存在，故选：C4．（2023·全国·专题练习）已知双曲线与直线相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，则，由点差法得．∵，∴，，∴，又，∴，∴渐近线方程为.故选：A．5．（2023秋·浙江宁波）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，且，又因为，所以，即有，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.6．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则双曲线方程为，，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，因为的周长为36，所以，所以，得，所以双曲线方程为，故选：D7．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】设该弦为，设，则有，两式相减，得，因为双曲线C的一条弦的中点为，所以，因此由，即这条弦所在直线的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以该弦存在，故选：D8．（2023春·河北廊坊）（多选）已知双曲线，则（

）A．双曲线E的实轴长为24 B．双曲线E的焦距为26C．双曲线E的渐近线的斜率为 D．双曲线E的渐近线的斜率为【答案】BD【解析】设双曲线E的焦距为，因为，，所以，所以双曲线E的实轴长，焦距，故A错误，B正确；渐近线的斜率为，故C错误，D正确．故选：BD9．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知，过点可作直线与曲线交于，两点，使，则曲线可以是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由题意，根据选项可得，点恰为四个曲线的焦点，A中，抛物线焦点弦弦长最小值为，故不存在弦长，所以A不正确；B中，椭圆中，根据椭圆的性质，可得焦点弦弦长取值范围为，即，而，所以B正确；C中，若同在右支上，则焦点弦弦长取值范围为，即，因为，所以C正确；D中，若在异支上，则焦点弦弦长取值范围为，即，因为，所以D正确.故选：BCD.10（2023春·湖北）（多选）过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（

）A．存在四条直线，使B．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为C．若、都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是D．存在直线，使弦的中点为【答案】BC【解析】对于A，由于，所以右焦点为，设直线方程为：.联立得：，恒成立.所以，，则，.所以.所以，解得，所以只有两条，故A错误；对于B，双曲线的渐近线为，所以，过点的双曲线的标准方程为，故B正确；对于C，若、都在该双曲线的右支上，则，即，所以，解得.故C正确；对于D，假设存在直线，使弦的中点为，设直线的方程为，与联立得：，恒成立.所以，所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，故不存在这样的直线，故D错误.故选：BC.10．（2022秋·山东青岛）（多选）已知双曲线，点，在上，的中点为，则（

）A．的渐近线方程为 B．的右焦点为C．与圆没有交点 D．直线的方程为【答案】CD【解析】对于AB，由双曲线可得，所以渐近线方程为，右焦点为，故AB不正确；对于C，联立消可得，代入，解得无实数根，所以与圆没有交点，故正确；对于D，设，则，，两式相减，得，因为的中点为，所以等式可得，易得直线的斜率存在，故可得，则直线为即，联立双曲线的方程和直线，消去x，可得，此时，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，故直线l的方程为，故正确.故选：CD11．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，点M在双曲线E上，为直角三角形，O为坐标原点，作，垂足为N，若，则双曲线E的离心率为.【答案】【解析】依题意，为直角三角形，显然，否则与重合，若，由，得，则为的中点，与矛盾，于是，即轴，令双曲线半焦距为c，由，得，因此，，由，得，显然有，则，即，整理得，则，而，解得，所以双曲线E的离心率为.故答案为：12．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为．【答案】/【解析】

设，，，根据双曲线的定义可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．故答案为：.13．（2023·全国·课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为.

【答案】【解析】设，，则，解得，∴.在中，，则①.由双曲线的定义，得②.由①②得.∵，∴，即.∴.∴双曲线的渐近线方程为.故答案为：.14．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别为C的渐近线和左支上的动点，且的最小值恰为C的实轴长的2倍，则C的离心率为.【答案】【解析】由双曲线的定义得，所以，于是.

如图：当M、N、三点共线，且与点M所在的渐近线垂直时，取得最小值，其最小值就是到渐近线的距离d，又C的渐近线方程为，所以，故的最小值为b，从而的最小值为，由题设知，所以，所以.故答案为：15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于18，则双曲线的离心率的取值范围为.【答案】【解析】由右焦点为，点A坐标为，可得.因为的周长不小于18，所以的最小值不小于13.设为双曲线的左焦点，可得，故，当三点共线时，取最小值,即，所以,即.因为,所以.又,所以.故答案为:.16．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知双曲线的一个焦点为，点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程是.【答案】或【解析】点到双曲线的一条渐近线的距离为当焦点在轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，点到双曲线的一条渐近线的距离为1，即，则，所以此时双曲线的标准方程为；当焦点在轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，点到双曲线的一条渐近线的距离为1，即，则，所以此时双曲线的标准方程为.综上，双曲线的标准方程为或.故答案为：或17．（2023秋·课时练习）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数．【答案】或【解析】由消去y，整理得，当时，由得；又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立．故答案为：或

18．（2023北京）设P是双曲线的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知，，则|PA|＋|PF|的最小值为；|PB|＋|PF|的最小值为．【答案】/【解析】如图：

设双曲线的另一焦点为，则有，，连接，易知点在双曲线内，点B在双曲线外，则；.故答案为：；.19．（2023秋·陕西宝鸡）设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为，可得，整理得，即曲线的方程为.（2）解：联立方程组，整理得，设，，可得，，所以，又由点到直线的距离，所以的面积.20．（2022秋·江西南昌）已知双曲线C经过点，且渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)点A为双曲线C的左顶点，过点作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值.【解析】（1）由渐近线方程为，可设双曲线方程为，将点代入双曲线方程中可得，故双曲线方程为（2）由题意可知：直线有斜率，设其方程为，联立直线与双曲线方程，设,则，由于,则，将代入可得由于点在直线上，所以，此时，只需要，即可，因此,故直线AM与直线AN的斜率之和为定值.

1．（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图所示，过点作于点.

因为，所以，因为，所以，所以，故，得.因为，所以，故点，将代入双曲线中，即，化简得，，解得或（舍去），故B项正确.故选：B.2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，设，则点到渐近线的距离.由双曲线的定义可得，故，所以，即的最小值为，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故选：A.

3．（2023·安徽安庆）过双曲线：的右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【解析】

如图①，当时，设，则，设，双曲线的渐近线方程为，所以，在中，，设，，，因为，所以，又，所以，所以，，，，则，则，且即，解得，所以如图②，当时，设，，设，则，，在中，，设，，，因为，所以，又，所以，所以，，，，则，，，所以，则，所以，即，解得，所以.故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为，由已知易知，若在双曲线内部（如位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若在双曲线与渐近线之间（如位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满足题意；故P只能在双曲线的渐近线上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线平行的直线符合要求；即，故，故选：B6．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线，要使直线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意得：，即，即曲线上的点为圆上或圆外的点，由得：或，由得：或或或，由此可得曲线的图象如下图所示，由图象可知：当时，直线与曲线有四个不同交点；实数的取值范围为.故选：B.7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知是双曲线上关于原点对称的两点，过点作轴于点，交双曲线于点．设直线的斜率为．则下列说法错误的是（

）A．的取值范围是且B．直线的斜率为C．直线的斜率为D．直线与直线的斜率之和的最小值为【答案】D【解析】对于A，是双曲线上关于原点对称的两点，直线与双曲线两支各有一个交点，直线的斜率在两条渐近线斜率之间，即，由题意知：不重合，，的取值范围为且，A正确；对于B，设，则，，，，B正确；对于C，设，则，又，，由B知：，，C正确；对于D，，，即不成立，，D错误.故选：D.8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为，若取最小值，则点在双曲线的右支上，则，则，当且仅当时，等号成立，联立可得，因为与直线无交点，则，即，因为，解得.故选：B.9．（2023秋·江西·高三统考开学考试）（多选）已知、是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线切于点，过的直线与交于、两个不同的点，若的离心率，则（

）A．B．的最小值为C．若，则D．若、同在的左支上，则直线的斜率【答案】ACD【解析】对于A选项，设双曲线的一条渐近线为，即，则到直线的距离为，因为以为圆心的圆与相切于点，所以，因为，即，则，又，即，所以，.在中，，在中，，，，所以，故A正确；

对于B选项，当直线的斜率为时，、两点分别为双曲线的顶点，则，又因为，即的最小值不可能为，故B错误；对于C选项，因为，又，且，所以在的右支上，所以，所以，故C正确；对于D选项，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立，可得，因为直线与双曲线交于右支的两点，所以，，解得或，D对.故选：ACD.10．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）（多选）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，过P作C的切线交直线于点Q，则（

）A．C的离心率为 B．C的离心率为C．△OPQ的面积为 D．△OPQ的面积为【答案】AC【解析】直线和直线，是双曲线C：的两条渐近线，

设，则有，又垂直于渐近线，渐近线方程为，，，，而，，，在中，，由正弦定理：，，，，，A选项正确；双曲线C的方程为：，渐近线为，过点的切线与双曲线切于点，则有，又，均在双曲线的渐近线上，故设，又，，，当点为切点时，由，切线斜率存在，设切线方程为，代入双曲线方程，得令，得，解得，过点的切线方程为，切线方程代入，解得，切线方程代入，解得，，，则C选项正确.故选：AC11．（2023春·黑龙江大庆）（多选）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（

）A．的离心率的取值范围为B．的离心率的取值范围为C．直线斜率的取值范围为D．直线斜率的取值范围为【答案】AC【解析】设为的中点，根据重心性质可得，因为，则，因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，故有，解得，当直线斜率不存在时，的中点在轴上，故三点不共线，不符合题意舍，设直线斜率为，设，所以，，因为在双曲线上，所以，两式相减可得：，即，即有成立，即有，因为不共线，即，即，即，所以的离心率的取值范围为，因为，因为，即，所以，所以.故选：AC12．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，第一象限内的点在的右支上，且，则的内心坐标为．【答案】/【解析】由题意知，，，所以，即，，所以，，过作交延长线于点H，如图所示，

所以，，又因为，所以，所以点P轨迹方程为（且），，则，所以，，设的内心为G，内切圆分别与、、相切于点M、N、E，则设，，，如图所示，

由双曲线的定义知，，即，①又因为，②所以由①②得：，，所以，即，所以设，由等面积法可得，即，解得，即所以的内心坐标为.故答案为：.13．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为.【答案】【解析】当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，由可得，故直线与双曲线相交，不合乎题意；当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为，即，联立可得，因为过点能作双曲线的两条切线，则，可得，由题意可知，关于的二次方程有两个不等的实数根，所以，，可得，又因为，即，因此，关于的方程没有的实根，所以，且，解得，即，当时，，当时，，综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：.14．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于、两点，已知，若这样的直线有条，则实数的取值范围是.【答案】【解析】记，若直线与轴重合，此时，；若直线轴时，将代入双曲线方程可得，此时，当时，则，此时，；当，可得，则，所以，双曲线的实轴长和通径长不可能同时为；当直线与轴不重合时，记，则点，设直线的方程为，其中，设点、，联立可得，由题意可得，可得，，由韦达定理可得，，所以，，即，所以，关于的方程由四个不等的实数解.当时，即当时，可得，可得，整理可得，因为，解得；当时，即当，可得，可得，整理可得，可得.综上所述，.故答案为：.15．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为、，为双曲线上异于、的任意一点，直线、的斜率乘积为．双曲线的焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线的方程；(2)设不同于顶点的两点、在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为．试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)过定点，定点坐标为【解析】（1）设，由可得，又，，又焦点到其一条渐近线的距离为，解得：．所以双曲线的方程：.（2）设直线的方程为，如图，

由得，，，直线，则直线在轴上的截距为，直线，则直线在轴上的截距为，由题得：，又，所以．所以，则，，，，化简得：或．若，直线过顶点，舍去．．则直线的方程为，所以直线过定点．16．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，若，且双曲线焦距为4．(1)求双曲线的方程；(2)如果为双曲线右支上的动点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，坐标为【解析】（1）因为点在双曲线上，所以由双曲线的定义可得①，又双曲线焦距即，且③，①②③联立解得，所以双曲线的方程为.（2）假设存在点满足题设条件，由题目可知，

设为双曲线右支上一点，当时，，因为，所以，于是，所以，即，当时，，，因为，所以，将代入并整理得，所以，解得，即，综上，满足条件的点存在，其坐标为.17．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线：的焦距为，且焦点到近线的距离为1.(1)求双曲线的标准方程；(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原