准可交换环的整闭包

18/23准可交换环的整闭包第一部分整闭包的定义 2第二部分整闭环的性质 3第三部分准可交换环的定义 6第四部分准可交换环的整闭包 10第五部分准可交换环整闭包的性质 12第六部分准可交换环整闭包的构造 14第七部分准可交换环整闭包的例子 16第八部分准可交换环整闭包的应用 18

第一部分整闭包的定义整闭包的定义

定义1：

定义2：

设R是一个准可交换环。R的整闭包R^#是包含R的最小的整环。

引言：

整闭包的概念在环论中至关重要。它提供了一种方法，通过添加元素来使准可交换环更接近于整环。

性质：

1.R^#是R的一个子环。

2.R^#中的每个元素都是一个代数整数，即它是一个多项式的根。

3.R中的每个整元都在R^#中。

4.R^#中的每个单位都是R中的单位。

5.R^#是一个局部环，即对于R^#中的任何非零元素a，要么a是可逆的，要么1-a是可逆的。

6.R^#与R同构当且仅当R是一个整环。

7.R^#的Jacobson根与R的Jacobson根一致。

构造：

R^#可以通过以下方式构造：

1.分式环构造：R的分式环Q(R)是一个整环。R^#是Q(R)中所有分母在R中的元素的集合。

应用：

整闭包在以下领域有广泛的应用：

1.代数整数论：整闭包用于研究数论中的代数整数。

2.环论：整闭包用于刻画环的性质和研究环的结构。

3.代数几何：整闭包用于研究代数簇的局部性质。

4.表示论：整闭包用于构造群的表示。

示例：

1.正整数环Z的整闭包是Z本身。

2.多项式环K[x]的整闭包是K(x)中所有分母为多项式的有理函数的集合。

3.四元数环H的整闭包是所有复双曲四元数的集合。第二部分整闭环的性质关键词关键要点整闭环的性质

1.整闭的定义：一个整环R称为整闭环，如果对于R中的任何非零元素a和理想I，如果a|bc并且b∈I，那么a|c。

2.整闭环的等价条件：R是整闭环当且仅当R的分数域是代数闭域。

3.整闭环的性质：整闭环具有以下性质：

-R[x]是整闭环。

-R的整闭包是R。

-R的局部化S-1R在S非零时是整闭环。

整闭环的例子

1.整数环：整数环Z是整闭环。

2.多项式环：系数域为代数闭域的多项式环K[x]是整闭环。

3.形式幂级数环：系数域为代数闭域的形式幂级数环K[[x]]是整闭环。

4.代数整数环：代数数域的整数环是整闭环。

整闭环在代数几何中的应用

1.整闭包与规范化：代数簇的整闭包与该簇的规范化有关。

2.代数曲线上的有理点：代数曲线C上的有理点可以表示为C的整闭包中的闭点。

3.代数曲面的极大子集：代数曲面上极大齐次子集的同质坐标形成一个整闭环。

整闭环在数论中的应用

1.素数判定：一个正整数是素数当且仅当其生成的理想在整数环中的整闭包是素理想。

2.代数数论：整闭环在研究代数数和其他代数数论对象中发挥着至关重要的作用。

3.类域论：整闭环在类域论中用于构造阿贝尔扩张。

整闭环在表示论中的应用

1.表示论的几何解释：有限群的表示论可以通过整闭环的研究得到几何解释。

2.群环的整闭包：群环R[G]的整闭包是一个与G相关的整闭环。

3.群作用的几何：群作用的几何性质可以通过整闭环的研究得到描述。

整闭环的进一步研究

1.代数闭包：代数闭环的整闭包是对代数闭域的研究的推广。

2.整闭环的分类：研究不同类型的整闭环及其性质。

3.非交换整闭环：探索非交换环中整闭环的性质和应用。准可交换环的整闭包之整闭环的性质

定义

整闭环是指一个所有素理想都是极大理想的环。换句话说，在整闭环中，任何理想要么是单位理想，要么包含一个素理想。

性质

整闭环具有以下重要性质：

1.整元环

整闭环一定是整元环，即不包含非零因子零因子。换句话说，整闭环中任何非零元素都不能表示为两个非单位元素的乘积。

2.主理想环

整闭环一定是主理想环，即环中每个理想都可以表示为某个元素的倍数构成的集合。

3.唯一分解域

整闭环中每个非零非单位元素都可以唯一分解为素元素的乘积，且分解结果中素元素的顺序和幂次都唯一。

4.诺特环

整闭环一定是诺特环，即满足升链条件的环。换句话说，环中任何理想的升链最终都会稳定。

5.无幂零元素

整闭环中不含非零幂零元素，即没有非零元素的某个幂为零。

6.一维环

由域扩充得到的整闭环是一维环，即环的所有非零理想都同构于域或域的有限次扩域。

7.正则环

局部整闭环一定是正则环，即环中每个极大理想的余环都是域。

8.科恩-麦考利环

整闭环是科恩-麦考利环，即环中每个素理想的局部化都是正则环。

9.嵌入整闭包

每个环都可以嵌入到某个整闭环中，称为该环的整闭包。

10.判定准则

以下几个条件等价于一个环是整闭环：

*该环是诺特环，且每个素理想都是极大理想。

*该环是主理想环，且所有极大理想都为素理想。

*该环满足唯一分解性质。

11.整闭包的性质

*环的整闭包是唯一的，至同构。

*环的整闭包是包含该环的最小整闭环。

*环的整闭包是该环的正则扩展。

*环的整闭包的素谱与该环的素谱存在自然一一对应的关系。

12.应用

整闭环在代数几何和数论中有着广泛的应用，例如：

*Zariski拓扑的定义和研究。

*代数曲线的分类和性质。

*数论中的整性问题。第三部分准可交换环的定义关键词关键要点准可交换环

1.准可交换环是一个可交换的环，其中任何两个元素的任意次幂都可交换。

2.换句话说，对于环中的任何元素a和b，满足a^nb^m=b^ma^n，其中n和m是任意正整数。

3.准可交换环的一个重要特征是，它们的元素可以按其可换性进行分类。

整闭包

1.整闭包是准可交换环的扩展，其中每个元素都是整元素。

2.整元素是一个元素，它可以表示为其他两个元素的乘积，其中这两个元素都是整元素。

3.整闭包的目的是确定环中所有整元素的集合，这可以用于解决各种代数问题。

局部化

1.局部化是准可交换环的一种技术，允许使用局部化的概念来研究环的性质。

2.局部化涉及将环扩展到其分式域，从而创建更大的环，其中某些元素可以表示为分式。

3.局部化有助于理解环的结构和研究其各种子结构，如理想和子环。

扩张

1.扩张是将一个准可交换环扩展到一个更大的准可交换环的过程。

2.扩张可以通过添加元素或添加运算来实现，从而创建具有不同性质的新环。

3.扩张的概念对于研究环族和确定不同环之间的关系至关重要。

同调代数

1.同调代数是一种研究环和模的研究领域，利用代数拓扑中的同调论概念。

2.同调群可以用来研究环的同伦群，并提供有价值的结构信息。

3.同调代数在现代代数中有着广泛的应用，包括交换环、群环和表示论。

代数几何

1.代数几何是将代数与几何相结合的一个领域，其中使用环和代数簇来研究几何对象。

2.准可交换环在代数几何中起着至关重要的作用，因为它们是代数簇的坐标环。

3.理解准可交换环的性质和行为对于解决代数几何中的各种问题至关重要。准可交换环的定义

引言

在抽象代数中，准可交换环是一种非交换环，但具有类似交换环的某些重要性质。准可交换环在代数几何和代数数论等领域有着重要的应用，在理解环论的结构和性质方面也发挥着关键作用。

定义

设R为一个环。则称R为准可交换环，当且仅当以下条件之一成立：

1.R中所有非零元素的交换子群（即形如xy-yx的元素构成的群）都是有限群。

2.R中所有极大理想都是主理想。

3.R中所有相交唯一素理想的交集是零理想。

理解定义

这三个条件刻画了准可交换环的关键特征：

*有限交换子群：它指出R中的元素几乎可以交换，因为它们的交换子群是有限的，因此它们交换的次数有限。

*主极大理想：它表明R中的极大理想是由单个元素生成的，类似于交换环中的素理想。

*唯一素理想交集为零：它表明任何两个在R中相交的素理想要么相等，要么它们的交集为零。

性质

准可交换环具有以下性质：

*它们是诺特环，这意味着它们的理想链具有上升条件。

*它们是雅各布森环，这意味着它们的素理想满足链条件。

*它们的局部化在每个素理想处都是准可交换的。

*它们的商环关于极大理想也是准可交换的。

特征

准可交换环不一定是交换环，但它们具有以下特征：

*它们没有非零幂零元素。

*它们的nil理想是零理想。

*它们的中心是一个域或除环。

例子

*整数环Z是准可交换的。

*多项式环R[x]，其中R是一个域，是准可交换的。

*矩阵环M2(Z)是准可交换的。

*分式环域K(x)是准可交换的。

应用程序

准可交换环在数学的不同领域有着广泛的应用，包括：

*代数数论：它们用于研究数体和整环。

*代数几何：它们用于研究局部环和仿射簇的几何性质。

*环论：它们用于研究环的结构和性质，以及分类环的类型。

*代数拓扑：它们用于研究群环和稳定同伦群。

总之，准可交换环是抽象代数中一类重要的非交换环，具有类似交换环的某些关键性质。它们在数学的各个领域都有着广泛的应用，并为理解环论的结构和性质提供了宝贵的见解。第四部分准可交换环的整闭包关键词关键要点主题名称：准可交换环

1.定义：一个环R是准可交换环，如果R中任意两个元素的乘积交换性不成立，但对于任意a,b∈R，存在n≥0使得(ab-ba)^n=0。

2.性质：准可交换环不一定是可交换环，但它比非交换环具有更好的交换性；并且准可交换环的幂零根基是一个理想，称为幂零根基。

3.模理论中的应用：准可交换环在模理论中具有重要应用，它可以用来刻画有限生成模的结构和性质。

主题名称：整闭包

准可交换环的整闭包

定义

设R是一个环。R的整闭包，记为IntR，是R中所有元素的积为整数的最小环扩张。

性质

*整性：IntR是一个整环，即每个非零非单位元都是有限个不可约元素的积。

*闭合性：R的每个元素都在IntR中。

*极大性：IntR是包含R的所有整环扩张中最大的。

*单位保留：IntR的单位元与R的单位元相同。

*幂等性：对于IntR中的任何元素a，a^2=a。

*扩张R：IntR总是非平凡地扩展R，除非R本身就是一个整环。

*同构：如果S是R的另一个整闭包，那么S同构于IntR。

构造

可以通过以下步骤构造IntR：

1.从R中生成由所有元素的积组成的理想L。

2.将R扩张到商环R/L。

3.IntR是R/L的整数化，即R/L中所有非零非单位元都是不可约元素的最小环扩张。

例子

*整数环Z的整闭包是Z本身。

*多项式环F[x]（F是域）的整闭包是F[x]本身。

*域K中的幂级数环K[[x]]的整闭包是K[[x]]本身。

整闭域

如果一个域的整闭包是它本身，则该域称为整闭域。整闭域是代数数论和域论中的重要对象。

嵌入定理

定理：设R是一个准可交换环，S是它的一个整环扩张。如果S中的每个元素都可以表示为R中元素的商，则S嵌入到IntR中。

应用

*整闭包可用于构造代数数论中的整数环。

*整闭域是研究域扩张和代数数的工具。

*整闭包在交换代数和同调代数中也有应用。

进一步的主题

*诺特环的整闭包：诺特环的整闭包具有特殊的性质，称为诺特整环。

*笛卡尔乘积的整闭包：两个环的笛卡尔乘积的整闭包是这两个环的整闭包的笛卡尔乘积。

*整扩张：一个域扩张L/K称为整扩张，当且仅当L的整闭包等于K的整闭包和L的交集。第五部分准可交换环整闭包的性质关键词关键要点【整环的定义】：

1.整环是一个没有零因子且每个元素都整除1的交换环。

2.整环中不存在非平凡的零因子，即对于环中的任意元素a和b，如果ab=0，则a=0或b=0。

3.整环中每个元素都整除1，即对于环中的任意元素a，存在元素b，使得ab=1。

【整闭包的概念】：

准可交换环整闭包的性质

准可交换环整闭包是一个研究准可交换环的一个重要课题。整闭包是指将一个准可交换环扩展到一个整环的过程，它刻画了准可交换环的代数性质。准可交换环整闭包拥有许多重要的性质，这些性质揭示了准可交换环与整环之间的内在联系，并为准可交换环的研究提供了新的视角。

基本性质

1.存在唯一性：对于每个准可交换环，存在唯一一个整闭包，它称为该准可交换环的整闭包。

2.扩张性：准可交换环整闭包是一个比原环更大的环。

3.同态映射：准可交换环到其整闭包的自然映射是同态映射。

4.嵌入性：准可交换环嵌入到其整闭包中。

代数性质

1.整元：准可交换环整闭包中的元素称为整元。整元满足如下性质：

-积闭合：两个整元的乘积仍然是整元。

-商闭合：一个整元除以一个非零整元的商仍然是整元。

2.主理想整环：准可交换环整闭包是一个主理想整环，即每个理想都可以表示成一个单一元素生成的理想。

3.分解定理：准可交换环整闭包中的每个非零元素都可以分解为不可约元素的乘积。

环论性质

1.整除性：在准可交换环整闭包中，整除性具有以下性质：

-唯一因式分解：每个非零元素都可以唯一分解为不可约元素的乘积（至顺序不同）。

-最大公约数：两个元素的最大公约数存在且唯一，并且可以表示为两个元素的线性组合。

2.局部化：准可交换环整闭包的每个非零元素都可以逆转，从而形成一个局部环。

3.有限生成：准可交换环整闭包是一个有限生成的环，即它可以由有限个元素生成。

其他性质

1.环同态：准可交换环及其整闭包之间的环同态保持整元性。

2.理想的提升：准可交换环中的每个理想都可以提升到其整闭包中。

3.局部化的整闭包：准可交换环局部化的整闭包等于局部化的整闭包。

4.完全环：准可交换环整闭包是一个完全环，即每个非零模都可以表示为有限个极大理想的交集。

通过研究准可交换环整闭包的性质，数学家们获得了准可交换环的深入理解，并揭示了准可交换环与整环之间的密切联系。这些性质在代数几何、数论和表示论等领域都有广泛的应用。第六部分准可交换环整闭包的构造关键词关键要点主题名称：可交换性

1.准可交换环的交换环化：通过扩张标量场，将准可交换环表示为可交换环的商环。

2.整闭包的性质：可交换环的整闭包继承了环的交换性，即也是可交换环。

3.极大理想的交换性：准可交换环的整闭包中的极大理想总是可交换的。

主题名称：整性

准可交换环整闭包的构造

定义：

*准可交换环(ACC)：一个环R，使得对于任何a,b∈R，存在元素r∈R，满足a^2r=b^2。

*整闭包：对于一个环R，其整闭包R'是一个环，满足：

1.R是R'的子环。

2.R'是一个整环。

3.R中任何非零非可逆元素在R'中成为可逆的。

构造准可交换环整闭包：

给定一个准可交换环R，其整闭包R'的构造如下：

1.定义R'的元素：R'的元素由形式为a/b的元素组成，其中a,b∈R，且b是非零非可逆元素。

2.定义R'中的加法和乘法：

-加法：(a/b)+(c/d)=(ad+bc)/bd。

-乘法：(a/b)*(c/d)=(ac)/(bd)。

3.证明R是R'的子环：

-加法封闭：显然，R中元素的和仍属于R。

-乘法封闭：显然，R中元素的积仍属于R。

-加法单位：R'中的单位元为1/1，它等于R中的单位元1。

-加法逆：对于任何a/b∈R'，其加法逆为-a/b。

-乘法结合律、交换律和分配律：这些运算律对于R和R'都成立。

4.证明R'是一个整环：

-交换律：显然，R'中的元素满足交换律。

-结合律：显然，R'中的元素满足结合律。

-分配律：显然，R'中的元素满足分配律。

-单位元：R'中的单位元为1/1，它等于R中的单位元1。

-零元：R'中的零元为0/1，它等于R中的零元0。

-逆元：对于任何非零非可逆元素a/b∈R'，其逆元为b/a。

5.证明R中任何非零非可逆元素在R'中成为可逆的：

-设a/b∈R是一个非零非可逆元素，即a^2r=b^2对于某个r∈R。

-令c=br。则c∈R，且(a/b)*(bc/a)=(a/b)*(c/a)=1/1。

-因此，a/b在R'中是可逆的，其逆元为bc/a。

结论：

通过以上构造，可以验证R'满足整闭包的定义，即R是R'的子环，R'是一个整环，R中的任何非零非可逆元素在R'中成为可逆的。因此，R'是R的整闭包。第七部分准可交换环整闭包的例子准可交换环整闭包的例子

定义：

给定一个准可交换环R，它的整闭包是集合Q，其中Q是R的扩张域，并且R在Q中整闭。

1.整数环

*例子：整数环Z

*整闭包：有理数域Q

2.多项式环

*例子：系数域为k的多项式环k[X]

*整闭包：k(X)有理函数域

3.Laurent级数环

*例子：系数域为k的Laurent级数环k((X))

*整闭包：k(X)((1/X))有理函数域

4.代数整数环

*例子：复数中的代数整数环O

*整闭包：复数域C

5.域的有限扩张

*例子：有限域F的有限扩张域K

*整闭包：K本身

6.局部环

*例子：局部环(R,m)

*整闭包：其分式域

7.维特环

*例子：维特环W(k)

*整闭包：其分式域W(k)(X)

8.正则环

*例子：正则环R

*整闭包：其分式域

9.交换代数中的例子

*仿射代数：仿射代数是有限多个多项式的交集定义的集合。在Zariski拓扑下，仿射代数是准可交换环。其整闭包是仿射代数集在复数域中的闭包。

*投影代数：投影代数是多项式环的商环。它也是准可交换环。其整闭包是投影代数集在复数域中的闭包。

*梯形代数：梯形代数是有限生成代数的余环。它也是准可交换环。其整闭包是梯形代数集在复数域中的闭包。

10.几何中的例子

*仿射簇：仿射簇是仿射代数在复数域中的闭集。它对应于仿射代数的整闭包。

*投影簇：投影簇是投影代数在复数域中的闭集。它对应于投影代数的整闭包。

*梯形簇：梯形簇是梯形代数在复数域中的闭集。它对应于梯形代数的整闭包。第八部分准可交换环整闭包的应用关键词关键要点代数几何

1.准可交换环整闭包在代数几何中扮演重要角色，尤其是在研究代数簇的性质时。

2.整闭包提供了一种将多项式方程组与几何对象联系起来的方法，从而可以用代数手段解决几何问题。

3.此外，整闭包在定义和研究簇上的代数簇等概念中至关重要。

交换代数

1.准可交换环整闭包在交换代数中是基本概念，用于研究环的局部化性质和拓扑结构。

2.通过整闭包，可以把一个准可交换环分解成一个有限个整闭环的并集，这有助于理解环的结构和性质。

3.整闭包还与环的有限生成性、基环扩张以及环上模的同调论等问题密切相关。

数论

1.准可交换环整闭包在数论中应用广泛，例如在研究整数环的性质时。

2.整闭包可以用来构造唯一的分解域，它对研究数论中理想和素理想的概念至关重要。

3.此外，整闭包在研究数论函数和丢番图逼近等问题中也有应用。

同调代数

1.准可交换环整闭包与同调代数中的平坦化定理有关，该定理描述了在交换环扩张的情况下，链复形的行为。

2.整闭包提供了理解平坦化定理的关键工具，并有助于将同调论从交换代数扩展到更一般的设置。

3.整闭包在同调代数中还用于研究谱序列和导出范畴，以及与拓扑学和代数几何的联系。准可交换环整闭包的应用

准可交换环整闭包在代数几何、数论和模论等领域有着广泛的应用。以下是其一些重要的应用：

代数几何

*局部环的秩定理：整闭包可以用来构造局部环的秩。秩等于整闭包中的极大理想个数。

*无穷扩张的局部环：准可交换环的整闭包可以用来构造无穷扩张的局部环，用于研究代数曲线和曲面。

*Dedekind环的理想类群：整闭包可以用来刻画Dedekind环的理想类群。环的整闭包完整表示其理想类群。

数论

*整数环：整数环是准可交换环的一个重要例子。其整闭包是代数整数环，用于研究算术几何。

*p-进整数环：p-进整数环是准可交换环的另一个重要例子。其整闭包是亨泽尔环，用于研究局部域和代数数论。

*类域论：整闭包在类域论中起着至关重要的作用。它用于构造伽罗瓦扩张和确定环类数。

模论

*格罗滕迪克拓扑：整闭包可以用来构造准可交换环上的格罗滕迪克拓扑，用于研究环的谱。

*局部化：整闭包可以用来定义环的局部化，用于研究其代数和几何性质。

*平坦环：整闭包可以用来刻画平坦环。环是平坦环当且仅当其整闭包是平坦环。

此外，准可交换环整闭包还有其他广泛的应用，例如：

*代数K理论：整闭包用于定义代数K群和研究环的分类。

*同调代数：整闭包用于构造同调模块和研究环的同调性质。

*可交换代数：整闭包用于研究可交换代数的结构和表示。

*表示论：整闭包用于研究群的表示理论和构造群环。

综上所述，准可交换环整闭包在代数几何、数论和模论等领域有着重要的应用。它为这些领域的许多基本结果和理论奠定了基础。关键词关键要点主题名称：整闭包的定义

关键要点：

1.代数闭包的推广：整闭包是代数闭包在交换环上的推广，是交换环中具有代数完备性的更一般概念。

2.定义：一个环R的整闭包S是R的一个子环，它包含R的所有元素，并满足以下性质：如果a∈S，b∈R且a|b，则b∈S。

3.存在性和唯一性：对于任何交换环R，它的整闭包S总是存在且唯一。

主题名称：整闭包的性质

关键要点：

1.环扩张：整闭包是R到S的一个环扩张，即S包含R且S的乘法和加法运算与R中的相同。

2.代数完备性：整闭包是代数完备的，即它包含R中所有多项式的根。

3.算术性质：整闭包遵循许多算术性质，例如gcd和lcm的存在性以及可整除性和素因子分解的唯一性。

主题名称：整闭包的构造

关键要点：

1.有限生成扩张：整闭包可以通过有限生成扩张来构造，即S是R的一个由有限多个元素生成的分歧扩张。

2.局部化：在某些情况下，整闭包可以通过局部化来构造，即将R中的某个元素s局部化得到一个新的环，其整闭包就是