第03讲集合的基本运算（原卷版）

第03讲集合的基本运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解交集、并集、全集、补集，凸显数学抽象的核心素养.2.掌握集合的运算关系，能进行集合的各种运算.3.与方程、不等式、数轴、维恩图等相结合考查集合的运算，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养.知识点1交集1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B.2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．3.图示：知识点2并集1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}3.图示：知识点3并集和交集的性质并集交集简单性质A∪A＝A；A∪∅＝AA∩A＝A；A∩∅＝∅常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A知识点4补集1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA.3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}.4.图示：5.拓广解读：(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示．知识点5集合中元素的个数【探索与研究】考点一：交集运算例1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式11】（2024·全国·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【变式12】（2324高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（

）A． B． C． D．【变式13】（2024·上海·三模）已知集合，，则【规律方法】求集合A∩B的方法与步骤(1)步骤①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．考点二：根据交集运算结果求集合或参数例2.（2324高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为．【变式21】（2024高二下·湖南·学业考试）已知集合，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．4【变式22】（2024·上海·三模）已知集合，，若，则．【变式23】（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为.【总结提升】遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．考点三：并集运算例3.（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式31】（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【变式32】（2023高二下·浙江·学业考试）已知集合，，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【变式33】（2024·上海·三模）若集合，，则．【总结提升】1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．考点四：根据并集运算结果求集合或参数例4.（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）集合，若，的值组成的集合为【变式41】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（

）A． B．或C．或或 D．或或或【变式42】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是.【变式43】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合，集合，若，则．【总结提升】1.A∪B＝B⇔A⊆B2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．考点五：补集运算例5.（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式51】（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（

）A． B． C． D．【变式52】（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【变式53】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（

）A． B． C． D．【规律方法】两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助图示．②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．考点六：根据补集的运算结果求集合或参数例6.（2324高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则.【变式61】（2324高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（

）A． B． C． D．【变式62】（2324高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合．【变式63】（2324高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值考点七：交集、并集、补集的综合运算例7.（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式71】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，，则为（

）A． B． C． D．【变式72】（2324高一下·湖南长沙·开学考试）已知全集，则集合（

）A． B．C． D．【变式73】（2024·天津·三模）己知全集，集合，集合，则，．考点八：根据集合的运算求参数例8.（2324高一上·广东珠海·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求实数的取值范围.【变式81】（2324高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【变式82】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式83】（2023·全国·高三专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝.【总结提升】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．考点九：求集合中元素的个数例9.（2324高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（

）A．20人 B．17人 C．15人 D．12人【变式91】（2324高一上·吉林·期中）高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（

）A．3人 B．2人 C．1人 D．4人【变式92】（2324高一上·吉林通化·阶段练习）某班有名学生，有围棋爱好者人，足球爱好者人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则（

）A． B． C． D．【变式93】（2324高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是，只参加田径一项比赛的人数是.1．（2324高一下·云南曲靖·期中）若集合，，则（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．5．（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（

）A．1 B．0 C． D．6．（2023高一·全国·专题练习）设全集，集合，．则实数的值为．7.（2324高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加