高考总复习理数（人教版）课件第05章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及应用

平面向量、数系的扩充与复数的引入第五章第三节平面向量的数量积及应用考点高考试题考查内容核心素养平面向量的数量积及应用2017·全国卷Ⅰ·T13·5分向量的夹角与向量的模数学运算2017·全国卷Ⅱ·T12·5分向量的数量积数学运算2016·全国卷Ⅰ·T13·5分向量的模、数量积数学运算

2014·全国卷Ⅱ·T3·5分向量数量积的求解数学运算命题分析高考对本节内容的考查形式为选择题或填空题，对向量的模、夹角及其应用是考查的重点，难度适中，分值为5分.02课堂·考点突破03课后·高效演练栏目导航01课前·回顾教材01课前·回顾教材1．平面向量的数量积

(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos

θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos

θ.

规定0·a＝0.

当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝______.

(2)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘积．0

2．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)x1x2＋y1y2＝0

提醒：

1．辨明三个易误点(1)①0与实数0的区别：0·a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.

(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(

)

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(

)

(3)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.(

)

(4)两向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(

)

(5)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．(

)

(6)(a·b)·c＝a·(b·c)．(

)

(7)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(

)

√

√

×

×

×

×

×

2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(

)

A．－1

B．0

C．1

D．2

C

解析：方法一∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.

方法二∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C．

3．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(

)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件A

解析：若a·b＝|a|·|b|，则cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0°，∴a∥b，充分．若a∥b，则〈a·b〉＝0°或180°，∴a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|，不必要．

4．(教材习题改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.

－2

解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos

θ＝4×cos120°＝－2.

向量数量积的两种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．02课堂·考点突破平面向量数量积的运算[明技法][提能力]1．(金榜原创)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

D

解析：∵向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，∴a＋b＝(3，k＋2)，又a＋b与a共线．∴(k＋2)－3k＝0，解得k＝1，∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故选D．

[刷好题]2

利用平面向量数量积解决垂直、模及夹角问题是高考的常考内容，常以选择题或填空题形式出现，难度中低档，是高考的高频考点．平面向量基本定理的应用[析考情]

命题点1：利用数量积解决垂直问题

【典例1】

(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(

)

A．－8

B．－6

C．6

D．8

D

解析：方法一因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.

方法二因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.

[提能力]命题点2：利用数量积求模或由模求参数问题

【典例2】

(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

(2)(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.

－2

A

B

1．(2018·大同检测)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________.

[刷好题]用向量解决平面几何问题的方法

(1)建立平面几何与向量