北京市顺义区第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

北京市顺义区第二中学20232024学年高二下学期期中考试数学试题第一部分选择题（共40分）一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分，下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意要求的．）1.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，的单位：s），则时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数求瞬时变化率.【详解】，则，有，所以时的瞬时速度为16m/s.故选：A2.在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（）A.第7项 B.第3和第4项 C.第4项 D.第3项【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质直接求出结论.【详解】二项式的展开式有7项，所以二项式系数最大的项是第4项.故选：C3.已知函数，则在点处的切线斜率是（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率.【详解】函数，求导得，所以所求切线的斜率为.故选：D4.下列函数求导运算中，错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本函数的导数公式及导数的运算法则逐项求导判断即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：C5.已知随机变量的分布列如表：（其中为常数）0123450.20.10.30.20.1则等于（）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可.【详解】根据分布列概率和为1，可得,.故选：B.6.在0，1，2，3，4，5这6个数中任取4个，可组成无重复数字的四位数的个数（）A.240 B.300 C.320 D.360【答案】B【解析】【分析】由分步乘法原理计算可得.【详解】分步完成，第一步，首位数字不能为零，有5种取法；第二步，其余三位数可以从剩下的五位数中任取三位，共有种取法；所以一共有种，故选：B.7.已知函数的导函数的图象如图所示，那么对于函数，下列说法正确的是（）A.在上单调递增 B.在上单调递减C.在处取得最大值 D.在处取得极大值【答案】D【解析】【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可.【详解】由导函数图像可知，当或时，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A，B错误；在处取得极大值，且，故C错误，D正确；故选：D.8.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性判断A选项，根据二次函数单调性判断C选项，结合导函数正负判断B,D选项即可.【详解】是单调递增函数，A选项错误；,单调递增，B选项错误；单调递增，C选项错误；单调递减,D选项正确.故选：D.9.若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，得到，令，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出函数值的变化，即可求出结果.【详解】令，得到，令，则，由得到，由，得到，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，当时，，当时，，且时，，所以，当函数恰有2个零点时，，故选：A.10.对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定不等式，得到函数在、时的函数值变化关系，结合不等式性质推理得解.【详解】由，得当，即时，，函数不单调递减，则；当，即时，，函数不单调递增，则；由不等式的性质得：.故选：C第二部分非选择题（共110分）二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）11.已知函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：12.袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率是______.【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式及古典概型计算即可.【详解】在第1次摸到红球的条件下，袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个蓝球，则第2次摸到蓝球的概率是.故答案为：.13.已知，则______；______.（用数字作答）．【答案】①.41②.0【解析】【分析】利用赋值法，分别令、和，代入运算整理即可结果.【详解】因为，令，可得；令，可得；所以；令，可得；则，所以.故答案：41；0.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员1人组成3人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法.（用数字作答）【答案】216【解析】【分析】根据题意，分为1女2男和2女1男，再利用排列、组合求解每类的种数，结合计数原理，即可求解.【详解】第一类，选1女2男，有种，这3人选2人作为队长和副队有种，故有种；第二类，选2女1男，有种，这3人选2人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为：21615.已知函数，下列命题中：①函数有且仅有两个零点；②函数在区间和内各存在1个极值点；③函数不存在最小值；④，，使得；⑤存在负数，使得方程有三个不等的实数根.其中所有正确结论的序号是_______________.【答案】①④【解析】【分析】求出的定义域及导数，结合函数零点、极值点及最小值的意义逐一判断各个命题得解.【详解】函数的定义域为R，求导得，对于①，由，得或，函数有且仅有两个零点，①正确；对于②，由，即，解得或，或时，，当时，，即是函数的极值点，而，②错误；对于③，显然函数在上递减，在上递增，而当时，恒成立，又的极小值，因此是的最小值，③错误；对于④，由于，恒成立，当时，，因为，所以时，使得，④正确；对于⑤，显然当或时，，而当时，递减，当时，递增，且当时，，因此直线与函数的图象最多有两个公共点，即方程最多有两个不等的实数根，⑤错误，所以所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④三、解答题（满分85分）16.已知的二项式系数之和是64．（1）求展开式中含的项的系数；（2）写出展开式二项式系数最大的项．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为求出值，再根据二项式结构特征即可求出含的项，进而得系数.（2）根据二项式系数的对称性和最值性质可直接得知二项式系数最大的是第四项.【小问1详解】因为二项式系数之和为，所以，故含的项为，所以展开式中含的项的系数为60.【小问2详解】由（1）知展开式共有7项，根据二项式系数的单调性可知二项式系数最大的是第四项.17.已知函数在时取得极值．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值；（3）若有两个零点，求的值．【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2）（3）或【解析】【分析】（1）先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解.（2）由（1）可知函数单调性，根据单调性求出最低的端点值和极小值进行比较即可得解.（3）将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解.【小问1详解】由题得，且定义域为.由函数在时取得极值，得，解得，此时，显然是的变号零点，即是极值点，因此，所以当或时，，当时，，所以函数的递增区间是，递减区间是.【小问2详解】由（1）知，函数，且在上单调递增，在上单调递减，又所以函数在区间上的最小值是.【小问3详解】因为，由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，所以有极小值为，极大值为，由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点，故或，所以或.18.从一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台．如果从中随机挑选台，（1）求台电脑中恰好有一台品牌的概率；（2）求这台电脑中品牌台数的分布列．【答案】（1）（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）先求随机挑选两台的取法共有种，再求2台电脑种恰有一台品牌电脑的取法有种即可；（2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.【小问1详解】随机挑选两台的取法共有种，2台电脑种恰有一台品牌电脑的取法有种2台电脑种恰有一台品牌电脑的概率是.【小问2详解】2台电脑种品牌的台数为可能取值为．，，所以的分布列为：19.已知函数．（1）当时，求的单调区间．（2）若函数在时取得极值，求的值；（3）在第（2）问的条件下，求证：函数有最小值.【答案】（1）和，单调减区间是（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断的单调区间即可；（2）求导，根据极值点处导数值为0可得，并代入检验即可；（3）分和两种情况，结合（2）中的单调性分析证明.【小问1详解】因为的定义域为，当时，则，可得，令，解得或；令，解得；所以的单调增区间是和，单调减区间是.【小问2详解】由题意可得：，若函数在时取得极值，则，解得：，当时，，当或时，；当时，；可知的单调增区间是和，单调减区间是，则是的极大值点，符合题意，综上所述：.【小问3详解】由（2）可知：，当时，恒成立；当时，由（2）可知：在上单调递增，在上单调递减，所以的取得最小值；综上所述：在处取得最小值，最小值为.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）解法一：由题意得在区间上恒成立，设，然后利用导数求出其最小值，使其大于等于零，从而可求出实数的取值范围；解法二：由题意得在区间上恒成立，则在区间上恒成立，令，利用导数求出其最大值即可,【小问1详解】当时，函数．令，得，即切点坐标为．，令，得，即切线斜率，故切线方程为，即．【小问2详解】解法一：已知，可得，因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，设，可得，令，；①当时，，，，单调递减，，不满足题意；②当时，，时，，单调递增；时，，单调递减，由，，，得；③当时，，，，单调递增，由，得，所以；综上，.经检验，满足题意.所以实数的取值范围为.解法二：．由题意，在区间上恒成立，因为，所以，所以在区间上恒成立．令，则，所以在区间上单调递增，所以的最大值为，所以．经检验，满足题意.所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是将问题转化为在区间上恒成立，然后分离参数，再构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.21.已知函数，，其中.（1）求证：对任意的，总有恒成立；（2）求函数在区间上的最小值；（3）当时，求证：函数在区间上存在极值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得对任意的恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证；（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论得到在上的单调性，再结合所给区间，分3种情况讨论函数的最小值；（3）利用导数说明导函数的单调性，以及隐零点的思想证明即可.