安徽省六安市舒城中学高二下学期期末考试数学（理）试题

舒城中学2017——2018学年度第二学期期末考试高二理数一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】为纯虚数，所以，故选A.2.下列说法中正确的是（）①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越弱；②回归直线一定经过样本点的中心；③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越好.A.①② B.③④ C.①④ D.②③【答案】D【解析】【分析】运用相关系数、回归直线方程和随机误差对各个选项逐一进行分析即可.【详解】①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越强，故错误②回归直线一定经过样本点的中心，故正确③随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度，故正确④相关指数用来刻画回归的效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故错误综上，说法正确的是②③.故选：D3.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从人中抽取人参加某种测试，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】，由题意可得抽到的号码构成以为首项，以为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为，落入区间的人做问卷，由，即，解得，再由为正整数可得，做问卷的人数为，故选B.4.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.0 B.1 C.2 D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的的值．【详解】根据流程图可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；此时程序跳出循环，输出.故选：B5.在正方体中，过对角线一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是A.四边形一定为菱形B.四边形在底面内投影不一定是正方形C.四边形所在平面不可能垂直于平面D.四边形不可能为梯形【答案】D【解析】【详解】对于A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故A错误；对于B,四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误；对于C,当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故C错误；对于D，四边形一定为平行四边形，故D正确.故选D6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为.考点：三视图.7.有一个偶数组成的数阵排列如下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………则第20行第4列的数为A.546 B.540 C.592 D.598【答案】A【解析】【详解】分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为2的等差数列，想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可，进而归纳每一行第一个数的规律即可得出结论．详解：顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为2的等差数列，要想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可.观察可知第1行的第1个数为：；第2行第1个数为：；第3行第1个数为：.……第23行第1个数为：.所以第20行第4列的数为.故选A.点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题．8.已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式计算即可求得最终结果.【详解】根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有种；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有种；所以恰好第5次停止取卡片的概率为.故选：B.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.9.已知单位圆有一条长为的弦，动点在圆内，则使得的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】建立直角坐标系，则，设点坐标为，则，故，则使得的概率为，故选A．【点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度､面积､体积等时，应考虑使用几何概型求解．（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．10.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设为第一象限点，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据双曲线的定义，结合余弦定理可得，再根据基本不等式求解最值即可.【详解】设为第一象限点，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则.故选：B.11.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为,(为自然对数的底数),且当时,,则()A.f(1)<f(0) B.f(2)>ef(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0)【答案】C【解析】【分析】构造新函数，求导后结合题意判断其单调性，然后比较大小【详解】令，，时，，则，在上单调递减即，，，，故选【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及导数的运算，构造新函数有一定难度，然后运用导数判断其单调性，接着进行赋值来求函数值的大小，有一定难度二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）12.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】【解析】【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】［方法一］：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．故答案为：.［方法二］：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．故答案为：.【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．13.已知离散型随机变量服从正态分布，且，则____.【答案】【解析】【详解】∵随机变量X服从正态分布，∴μ=2，得对称轴是x=2．∵，∴P（2<ξ<3）==0.468，∴P（1＜ξ＜3）=0.468=．故答案为．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.14.已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_______．【答案】61【解析】【详解】分析：根据题设可列出关于的不等式，求出，代入可求展开式中常数项为.详解：的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，，解得，又，则展开式中常数项为.点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式.15.已知函数，存在，，则的最大值为_________.【答案】##【解析】【分析】根据解析式及已知有且，构造并利用导数求最值.【详解】由题意，在，上递减，在上递增，存在，，则，所以，且，令，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最大值，所以的最大值为．故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分）16.2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】【详解】分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率．详解：（1）补充列联表如下：由列联表知故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有人，女性有人.记男性观众分别，女性观众分别为，随机抽取2人，基本事件有共15种记至少有一位男性观众为事件，则事件包含共9个基本事件由古典概型，知点睛：本题主要考查了独立性检验的应用以及古典概型，属于中档题．解决独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）计算的值；（3）查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断．17.参加山大附中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图：定价（元）102030405060年销量（）11506434242621658614.112.912.111.110.28.9（参考数据：，，，）（Ⅰ）根据散点图判断，与，与哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？（Ⅱ）根据（1）的判断结果及数据，建立关于的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）．（Ⅲ）定价为多少元/时，年收入的预报值最大？附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（I）由散点图可知，与具有较强的线性相关性;（II）;（III）定值为元/时，年利润的预报值最大.【解析】【详解】试题分析：比较两个散点图可以发现与具有较强的线性相关性，利用表中提供的与的对应值计算，借助提后提供的现成数据再计算，得出，和，得出后再利用，有，得出关于的回归方程，注意保留小数；表示出年利润，求导找出最值.试题解析：（I）由散点图可知，与具有较强的线性相关性.（II）由题得，，，，又，则，∴线性回归方程为，则关于的回归方程为.（III）设年利润为，则，求导，得，令，解得.由函数的单调性可知，当时，年利润的预报值最大，∴定值为元/时，年利润预报值最大.18.某理科考生参加自主招生面试，从道题中（道甲组题和道乙组题）不放回地依次任取道作答.（1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）规定理科考生需作答道甲组题和道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为，答对乙组题的概率均为，若每题答对得分，否则得零分.现该生已抽到道题（道甲组题和道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确的可能取值，求出相应的概率值，得到的分布列，进而得到数学期望.【详解】（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件，则,.所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为.（2）的可能取值为：，则，，，的分布列为X0102030P则的数学期望为.19.已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x＝－1.（1）.若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；（2）.过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.【答案】（1）（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，则，又，解得；（2）设过点的直线方程为，联立，则，得，则切点分别为A，B，进而证A，B，F三点共线，即可得结论．【小问1详解】设，则Q到原点距离为：，到l距离为：则，得Q的轨迹方程为：，联立轨迹方程与抛物线方程有：，解得.【小问2详解】设点，则过点P的直线方程为，其中代入，得，由，得，当时，，代入，得切点为，显然AB过定点F(1,0).当时，方程的判别式则方程有两个根，设为，由韦达定理有：，又对于，因其，得，故两切点分别为，，又则，注意到则与共线，则三点共线，故A