线性系统设计作业

线性系统理论

设计作业

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基于状态空间方法的晶闸管-直流电动机调速系统反馈控制综合

晶闸管可.控整流器供电的直流电动机开环调速系统结构框图如下:

负载转矩冗

图中〃c为晶闸管整流器的控制电压，Ks为晶闸管触发和整流器的放大系数，Ts为晶闸管整流器的

失控时间，〃,为晶闸管整流器输出理想空载电压；Ce、5分别为直流电动机的电势常数、转矩

常数，T/a为电动机电枢回路电磁时间常数，R为电枢回路总电阻，为电枢回路电流；GD'为

电动机轴上的等效飞轮惯量，7；为负载转矩。

已知参数：（他励）直流电动机的额定功率为=22kW.额定电压UN=220V,额定电流

IN=113.24A,额定转速〃尺=1500r/niin,电势常数Q=0.1361V-miii/r,转矩

常数G=1.2998N・m/A,允许过载倍数4=1.5。相控整流器放大系数KS=40,失控时间

TS=O.ooi7so电枢回路总电阻H=0.42Q,电磁时间常数I；.=0.04s。电动机轴上的等效飞

轮惯量GO?=26.95N-nr0

采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统，要求系统满足如下性能指标：

超调量。410%,调节时间乙＜0.55,当负载转矩阶跃变化时，系统跟踪阶跃输入（速度指令）

信号的稳态误差为零。

1.设计状态反馈增益矩阵和积分增益常数，并在Simulink中建立控制系统动态仿真模型，

对系统的动、静态性能进行仿真分析；

2.设计对状态向量进行估计的全维状态观测器以实现状态反馈，并保证控制系统的性能满

足要求，在Simulink中建立采用状态观测器实现状态反馈的控制系统动态仿真模型，对系统的

动、静态性能进行仿真分析，并研究状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的关系及其对系统

性能的影响；

3.设系统转速可准确测量，试设计实现状态反馈的降维观测器，并建立利用降维观测器实

现状态反馈的控制系统动态仿真模型，对系统动、静态性能进行仿真分析。

4.思考如何在闭环调速系统中增加限流环节，以限制起动、制动、堵转时电动机电枢的过

电流？

解：

1、①将惯性环节等效变换并带入数据得到如下所示:

系统不加扰动和任何反馈及校正装置时，在t=0s时,加上阶跃输入

u=1500,得到波形如下:

可以看出输出不能跟随输入变化，而且稳态误差较大，不能符合系统

控制要求。

令X]=〃；x2^ud;X3=/」得状态空间表达式如下:

X]

•0018.086'X1'0

x2=0一588.2350x2+23529.412

-8.101259.524-250

X3

Y=[100卜

②判断系统稳定性，在MATLAB中输入以下程序：

»A=[0018.086;0-588.2350;-8.101259.524-25];

P=poly(A);

roots(P)

运行结果如下：

ans=

-588.2350

-15.6196

-9.3804

可以看到特征方程的所有特征值均为负实数，所以系统是稳定的。

③判断系统的能控性与能观性，在MATLAB中输入以下程序：

A=[0018.086;0-588.2350;-8.101259.524-25];

B=[0;23529.412;0];

C=[l00];

M=ctrb(A,B)

RM=rank(M)

N=obsv(A,C)

RN=rank(N)

运行结果如下：

M=

1.0e+009*

000.0253

0.0000-0.01388.1417

00.0014-0.8589

RM=

3

N=

1.0e+003*

0.0010

0.0181

-0.14651.0766-0.4522

从计算结果可以看出，系统能控性矩阵和能观测性矩阵的秩都是3,

为满秩，因此该系统是可控的，也是能观测的。

④反馈控制系统的设计

因为被控系统能控又控制，维数不少于误差的维数且rankC=l=m,

=n+m

故满足式°-1,即增广系统状态完全能控，所以可以采

用线性状态反馈控制律卬来改善系统的动态和稳态的性

能，在式中，K］=［占k2%］。题目要求系统超调量cr410%,调节时

9_3.5

间f,WO.5s;可以通过公式b=e和G%计算得取,20.5914,取

>0.6,取%211.84取叱=1L9，解得期望的闭环主导极点对为

&=-7.14±/9.52；

选择2个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的10倍以上,

取为T18,即4=—118。

则期望的闭环特征多项式为:

p*(S)=(S-4)(s-p)(S-A)(5-F)

=(S+7.14-j9.52(S+7.14+j9.52)(S+118)(S+118)

432

=S+250.28S+17435.695+232254.68S+19717777.64（i）

闭环控制系统的特征多项式为:

-A-BK[BK2

P(S)=detSI-

-C0

42

S+(613.235-23529.41超2)S'+(148523486+58822%?+140056472l13)5+

(2532251546&—34463953288”+86159.8393)S+253225154587K?

(2)

令(1)式与(2)式相等，可求解得状态反馈增益矩阵和积分常

数如下：

K=ki2Jt13]=[0.007908-0.0154250.00832]

K『0.07787

可以得到设计的状态反馈+积分校正如下图所示：

⑤加上状态反馈和积分校正后仿真及结果：

I、不加扰动，在t=o时输入11=1500得到仿真结果如下图所示:

由图中可以看出：8=8.6%,tx<0.5s,稳态时转速n=1500°

II、在t=3s时加入扰动，扰动为阶跃变化（0-500）阶跃信号得到系

统仿真图如下:

onnn

乙UUUIIIiIIIIIII1!1

/V-I

1—

1

1

1000

Un1IiIIIIII11iii

012345678910

局部放大为:

可以看出t在接近3.1s时系统转速从稳态值上升到1560,t=3.4s时

恢复稳定，稳态误差为零。控制效果较好。

2、采用全维状态观测器的状态反馈系统

(1)由第一问求得反馈矩阵

F=K尸k{2.]=[().007908-0.0154250.00832]

为了求状态反馈闭环系统A-B*F的极点；在MATLAB输入程序如下：

A=[0018.086;0-588.2350;-8.101259.524-25];

B=[0;23529.412;0];

F=[0.007908-0.0154250.00832];

P=poly(A-B*F);

roots(P)

得到结果如下：

ans=

-130.0609

-102.7782

-17.4547

从工程实际出发，兼顾快速性、抗干扰性等，选择观测器的响应

速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2—5倍。

故取观测器的极点为-520.2436,-411.1128,-69.8188；

(2)偏差反馈增益矩阵G。在MATLAB中输入以下程序：

A=[0018.086;0-588.2350;-8.101259.524-25];

C=[l00];

P=[-520.2436;-411.1128;-69.8188];

Gt=acker(A',C',P);

G=Gt,

运行结果如下：

G=

1.0e+003*

0.3879

-5.7992

1.4461

(3)采用全维状态观测器的状态反馈系统设计如下图

(4)将计算结果带入仿真模型。

①不加扰动时得到转速仿真波形如下(上面图是原系统的输出

图，下面是全维状态观测器的输出图)：

可以看出观测器观测器效果较好两条曲线完全重合，观测器效果较好

且反馈系统调节的动态性能符合控制要求。

力仿真波形和观测器中力如下（上面图是原系统的输出图，下面

是全维状态观测器的输出图）:

仿真波形和观测器中〃如下图（上面图是原系统的输出图，下

面是全维状态观测器的输出图）：

通过比较可见得到波形形状完全一样说明观测器效果较好，能够满足

设计的要求。

②t=3s时加入扰动，扰动为阶跃变化（0-500）得到系统转速n

仿真图如下（上面图是原系统的输出图，下面是全维状态观测器的输

出图）：

可以得出，在加扰动前动态性能较好，稳态误差为0;t=3s时加入扰

动后系统转速由反馈加积分校正后恢复到稳态误差为0o而且可以看

出扰动后系统观测的两条曲线儿乎重合说明设计的观测器符合要求，

效果较好。

3、设计降维观测器

编写MATLAB程序如下：

A=[0018.086;0-588.2350;-8.101259.524-25];

B=[0;23529.412;0];

C=[l00];

T=[001;010;100];

Al=T*A*inv(T);B1=T*B;

A11=A1(1:2,1:2);A12=A1(1:2,3);A21=A1(3,1:2);A22=A1(3,3);

B11=B1(1:2,1);B12=B1(3,1);

P=[-300;-150];

Gt=acker(A1T,A2f,P);

G=Gt';

AO=(A11-G*A21);BO=(B11-G*B⑵；Q=[(A1-G*A21)*G+A12-G*A22];

>>formatlong;

»G

AO

BO

Q

G=

1.0e+002*

-0.09025489328763

1.17332720619558

AO=

1.0e+003*

0.138235000000000.05952400000000

-2.12207958512533-0.58823500000000

BO=

1.0e+004*

0

2.35294120000000

Q=

1.0e+004*

0.57283731447971

-4.98664062633122

建模仿真图：

Slee''TrantferFcnlG»，c，

(1)不加扰动时得到转速仿真波形如下:

20001----------1---------1---------!---------1---------1---------1---------1---------1---------1---------

1500-一i---------：-----------；---------：-------------------------------：---------；----------：----------1

1000-I…….........................；...；.........-I

500...........；..；..:..:.：.........：...........：............■...........：•……-I

0________।_________I_________।_________।_________।__________।_________।_________।_________।__________

012345678910

(2)在t=3s时加入扰动，扰动为阶跃变化(0-500)得到系统转速

n仿真图如下:

动后系统转速由反馈加积分校正后恢复到稳态误差为0o

二.线性二次型最优控制

0100

x=001x+0it

设被控系统的状态空间表达式为:

[01

7=[100]x

设计使系统阶跃响应具有良好动、静态特性的线性二次型最优控制律.对闭环系统的阶跃响

应进行仿真，并研究系统二次型性能指标泛函中权矩阵的不同选取对动态性能的影响。

解：

线性二次型的性能指标J=^[XTQX+uTRu]dt,其中

q00

2=0a20,R=[00l]o

00%

列出代数黎卡提方程0=84+4尸+Q-P8R6「P,解出P,带入

出=[-k2攵3]=R七V得到状态反馈控制器参数。带入该系统的结构图如图8

所示。

在MATLAB中，执行下面程序，计算出状态反馈控制器参数-A2攵3：

B=LO;O;1];

C=[l,0,0];

D=0;

Q=diag([80000,10,10]);

R=l;

K=lqr(A,B,Q,R)

kl=41);

Ac=A-B*K;

Bc=B*kl;

Cc=C;

Dc=D;

Step(Ac,Be,Cc,De)

运行结果为：

K=100.000029.46113.2443

StepResponse

1.4

1.2

1

pB

=n

d-

与5O..68

0.4

0.2

0

00.511

Time(sec)

为了研究Q矩阵对最优控制的影响，将R固定改变参数如下:

a】=80000,。2=10，。3=10

程序结果如下:

K=282.842769.53726.1682

系统输出响应的仿真结果

StepResponse

System:sys

SettlingTime(sec):1.08

<D

np

dw

写

5

一

a=100000,a=10,a=10

A乙J

程序结果如下：

K=316.227875.93356.5842

系统输出响应的仿真结果：

Time(sec)

从上述分析可以看出，当R固定不变时，随着Q的增大，超调量随之

增大，而调节时间则会不断减小。

(2)将Q固定为q=[00000,a=10,a=10'R=1时:

JL乙J

A=[0,l,0;0,0,1:0,-27,-9];

B=[0;0;l];

C=[l,0,0];

D=0;

Q=diag([100000,10,10]);

R=5;

K=lqr(A,B,Q,R)

kl=K(l);

Ac=A-B*K;

Bc=B*k1;

Cc=C;

Dc=D;

Step(Ac,Be,Cc,De)

K=316.227875.93356.5842

系统输出响应结果为：

将Q固7E为A=100000,a=10,a=10,R=3时:

JL乙J

K=182.574248.08834.4354

系统输出响应结果为：

System:sys