内科大水力学教学辅导

水力学教学辅导

第2章水静力学

【教学基本要求】

1、正确理解静水压强的两个重要的特性和等压面的性质。

2、掌握静水压强基本公式和物理意义，会用基本公式进行静水压强计算。

3、掌握静水压强的单位和三种表示方法：绝对压强、相对压强和真空度；理解位置水

头、压强水头和测管水头的物理意义和几何意义。

4、掌握静水压强的测量方法和计算。

5、会画静水压强分布图，并熟练应用图解法和解析法计算作用在平面上的静水总压力。

6、会正确绘制压力体剖面图，掌握曲面上静水总压力的计算。

【学习重点】

1、静水压强的两个特性及有关基本概念。

2、重力作用下静水压强基本公式和物理意义。

3、静水压强的表示和计算。

4、静水压强分布图和平面上的静水总压力的计算。

5、压力体的构成和绘制以及曲面上静水总压力的计算。

【内容提要和学习指导】

本章研究处于静止和相对平衡状态下液体的力学规律。

2.1静水压强及其特性

静止液体作用在每单位受压面积上的压力称为静水压强，单位为（N/n?）,也称为帕斯

卡（Pa）。某点的静水压强p可表示为：

p=hm——（2—1）

o\A

静水压强有两个重要特性：（1）静水压强的方向垂直并且指向受压面；（2）静止液体内

任一点沿各方向上静水压强的大小都相等，或者说每一点的静水压强仅是该点坐标的函数，

与受压面的方向无关，可表示为°=/7。，y,z）。这两个特性是计算任意点静水压强、绘制

静水压强分布图和计算平面与曲面上静水总压力的理论基础。

2.2等压面

液体中由压强相等的各点所构成的面（可以是平面或曲面）称为等压面，静止液体的自

由表面就是等压面。

对静止液体进行受力分析，导出液体平衡微分方程和压强全微方程，根据等压面定义，

可得到等压面方程式:

Xdi+ydy+Zdz=O(2—2)

式中：X、KZ是作用在液体上的单位质量力在x、y、z坐标轴上的分量，并且

dUdU6U

X=Y=Z=（7—

dxdydz

其中：u是力势函数。

等压面有两个特性：（1）等压面就是等势面；（2）等压面与质量力正交。

2.3重力作用下的静水压强基本公式

重力作用下的静水压强基本公式（水静力学基本公式）为

p-po+Yh（2—4）

式中：外一液体自由表面上的压强，力一测压点在自由面以下的淹没深度，/一液体的容重。

该式表明：静止液体内任一点的静水压强由两部分组成，一部分是液体表面压强po,

它将等值地传递到液体内每一点；另一部分是高度为h的液柱产生的压强yh。该式还表明，

静水压强p沿水深呈线性分布。对于连通器，水深相同的点组成的面是等压面；当自由表面

是水平面时，等压面也是水平面。

2.4绝对压强、相对压强和真空度

以设想完全没有大气存在的绝对真空为零计量的压强称为绝对压强p';以当地大气压

作为零点计量的压强是相对压强P,若当地大气压强用绝对压强表示为外，则相对压强与

绝对压强的关系为：

P=P，-Pa（2—5）

当液面与大气相连通时，根据相对压强的定义，液面压强可表示为PO=0,根据式

（2—4）,静止液体中某点的相对压强为：

p=yh（2—6）

这是用相对压强表示的静水压强基本公式，该式也可表示为：

九='（2—7）

Y

即用液柱的高度表示某点的压强，这是压强表示的另一种方法，也是用测压管量测某点

压强的依据。

当液体中某点的绝对压强小于当地大气压强，该点的相对压强为负值，则称该点存在真

空。负压的绝对值称为真空压强心，即

h.九一P-九一P'

///

请注意：绝对压强永远是正值，相对压强可正也可负，真空压强（真空度）不能为负值。

最小的真空压强为零，这时相对压强也为0,而绝对压强p'=1工程大气压=98kN/n?,用

p'98KV/"J

液柱高度表示绝对压强〃'=一=---------3--10m水柱。

y9.SKN/m

2

压强的计量单位表示有三种：（1）用应力单位表示：N/m（Pa）或kN/m?（kPa）；（2）

用大气压的倍数表示：即pa=98kN/m2,用p,的倍数表示：（3）用液柱高度：米水柱高度

（mH2O）或毫米水银柱高度（mmHg）。它们之间的关系为：

2

lpa-98kN/m,，P,&=10mH?。,""=736mmHg

YwrHg

2.5水头和单位势能

重力作用下静水压强基本公式可表示为：

P=Po+Y（zo-z）或z+—=c（2—9）

式中：zo和z分别是液面和液体内某点相对于某个基准面的位置高程，常数『zo+"。

该式表示：重力作用下静止液体内任一点的（z+K）都相等。z和K都是长度量，稀&都

具有能量的含义，z是单位重量液体所具有的位能，夕是单位重量液体具有的压能。水力学

中习惯用“水头”来称呼这些具有能量意义的长度量，即z称为位置水头（即单位重量液体

具有的位置势能），上称为压强水头（单位重量液体具有的压强势能），而（z+K）称为测压

rY

管水头（表示单位重量液体具有的总势能）。

因此，水静力学基本方程也可表述为：静止液体中各点的测压管水头是常数。该方程

反映了静止液体中的能量分布规律。

2.6压强的测量和计算

测量液体的压强，可以用压力表（机械式压强量测仪表）、压力传感器（电测方法）等

量测仪器，也可以用水静力学原理设计的测压管、比压计、U型水银测压计等量测仪器和方

法。

静水压强的量测和计算的理论依据是水静力学基本公式和连通谓中等压面关系，具体应

用见【解题指导】

2.7静水压强分布图

静水压强分布图可以形象地反映受压面平上的压强分布情况，并能据此计算矩形平面上

的静水总压力。用比例线段表示压强的大小，根据静水压强特性，用垂直受压面的箭头表示

静水压强的方向，根据静水压静沿水深是线性分布的规律，绘出平面上两点的压强并把其端

线相连，即可确定平面上静水压强分布，这样绘制的图形就是静水压强分布图。静水压强分

布图参见教材上图2—15。

需要指出的是：当受压面两侧均有液体作用或者一侧与大气相接触，这时可以用受压面

两侧静水压强分布图进行合成，得到相对压强分布图。在相对压强分布图中，当表示压强方

向的箭头背向受压面时，说明它代表受压面两侧合压强的方向；当外侧是大气压强时，这时

说明受压面上的相对压强是负压或存在真空。

2.8作用在平面上静水总压力

（1）对于矩形平面，应用静水压强分布图可以求出作用在平面上静水总压力的大小为

P=Ob(2—10)

式中：。=；丸(々+〃2)是静水压强分布图的面积，b和L分别是矩形平面的水平宽度和长

度，hi和〃2分别是矩形平面上边和底边处的水深。

静水总压力是平行力系的合成，根据静水压强的特性，静水总压力的方向垂直指向该平

面。静水总压力的作用点D(又称压力中心)位于纵向对称轴上，D到底边的距离e为

L24+h

，了工(2—11)

这样作用在平面上静水总压力的三个要素一一大小、方向、作用点都可以确定了。在应用式

(2-11)进行计算时需要注意团和色的含义。

(2)用解析法求作用在任意形状平面上的静水总压力

作用在任意形状平面上总压力的大小等于该平面面积与其形心处点的静水压强的乘积，

即

P=p(A=yhcA(2—12)

总压力的作用点(压力中心)D点的坐标为

%=儿+，7(2—13)

”4

式中：Pc是平面形心处的静水压强；区是平面形心C在液面下的淹没深度；地是压力中心D

距。x轴的距离；力为形心距。x轴的距离；人为面积A对过形心C的水平轴的惯性矩，矩形

平面的化=/对/12,圆形断面的/c="//64；ei为偏心矩，即压力中心D到形心C的距离。

2.9作用在曲面上的静水总压力

求作用在曲面上的静水总压力P,可先求出其水平分力P*和铅垂分力巳，然后合成为

总压力PO

(1)静水总压力的水平分力Px等于作用在该曲面的铅垂投影面4上的静水总压力，

即Px=pA=yhcAx(2—15)

式中久是投影面Ax的形心点水深。尸、的方向垂直于投影面4,作用点位于4压力中心。

(2)静水总压力的铅垂分力Pz等于曲面所托压力体的水重。压力体是由三部分表面围

成的体积也即受压的曲面、通过曲面的边缘向液面或液面的延长面作的铅垂平面和自由液

面或自由液面的延长面。这时静水总压力的铅垂分力Pz为

Pz=yV(2—16)

铅垂分力Pz的方向按如下原则确定：当压力体与液体在受压曲面的同侧，Pz的方向向

下；当压力体与液体在受压曲面的两侧，则Pz的方向向上，并且Pz的作用线通过压力体的

形心。

(3)作用在曲面上的静水总压力P为

P=Jr：+p；(2—17)

总压力与水平方向的夹角a为

a=arctg-^(2-18)

,r

请注意，在许多工程问题中，如重力坝的稳定分析，通常不需要计算总压力，而是直接

用水平分力和铅垂分力来分析的。对于三维曲面，除了有X方向水平分力乂，还有y方向

水平分力Py,Py的计算方法同P.

根据作用在曲面上静水总压力的计算原理可以证明：浸没在水中的物体受到静水压力的

合力F等于物体在水中所排开水体的重量，即F=yv,丫是物体的体积，而且合力的方向向

上。尸也称为物体受到水的浮力，浮力的作用线通过物体所排开水体的形心，这就是著名的

阿基米德定律。根据物体受到的重力G和浮力/间大小的对比，可以确定物体是处在沉浮

或随遇平衡状态。

【思考题】

2-1什么是静水压强？静水压强有什么特性？

2—2什么是等压面？等压面有什么性质？

2-3水静力学基本方程的形式和表示的物理意义是什么？

2-4静止液体中沿水平方向和垂直方向的静水压强是否变化？怎么变化？

2—5在什么条件下“静止液体内任何一个水平面都是等压面”的说法是正确的？

2—6图示为复式比压计，请判断图中A—A、B

—B、C—C、D—D、C—E中哪些是

等压面？为什么？

2-7请解释下列名词的物理意义：绝对压强，

相对压强，真空和真空度，水头，位

置水头，压强水头和测压管水头，并说明

水头与能量的关系。

2-8表示静水压强的单位有哪三种？写出它们

思2—6图之间的转换关系。

2—9什么是静水压强分布图？它绘制的原理和

方法是什么？为什么在工程中通常只

需要计算相对压强和绘制相对压强分布图？

2-10请叙述并写出计算平面上静水总压力大小和作用点位置的方法和公式，并说

明其应用条件。

2-11如图所示，平板闸

门AB倾斜放置在水中,

试分析当上下游水位都

上升1米

图中虚线的位置）

(al时，（a）、（b）两图中闸

思2—11图门AB上所受到的静水

总压力的

大小及作用点的位置是否改变。

2-12压力中心D和受压平面形心C的位置之间有什么关系？什么情况下D点与C

点重合？

2—13请叙述压力体的构成和判断铅垂方向作用力Pz方向的方法。

2-14如何确定作用在曲面上静水总压力水平分力与铅垂分力的大小、方向和作用

线的位置。

2—15如图所示为混凝土重力坝断面的两种设计方案，己知混凝土的比重为2.5,试

根据受力分析从抗滑移稳定和抗倾翻稳定两方面判断哪种设计方案更为合理。

思2—15图思2—16图

2—16如图所示，在盛满水的容器侧壁上放一个半径为a的均质圆柱，圆柱的左半

部完全浸没在水中。根据阿基米德原理，左半个圆柱体始终受到一个向上的浮

力，并且浮力的大小等于它所排开水体的重量，浮力的作用线通过左半个圆柱

体的形心。这个浮力将对圆柱体产生旋转力矩，使它绕0轴不停地旋转。这

种说法是否正确？为什么？

【解题指导】

思2-5解答：必须是相连通的静止液体，它的任何一个水平面都是等压面。

思2-6解答：B—B,C—E是等压面。

思2-11解答：可以分别画出(a),(b)图上平板闸门AB两侧的静水压强图，合成后

可以发现(b)图的合静水压强图图形不变，因此，(b)图闸门AB上静水总压力和作用点

不变；而(a)图发生了改变。

思2-12解答：作用于平面上的压力中心D一般都位于形心C点以下，当平面水平放置

时，压力中心D与形心C重合。

思2-15解答：无论从抗滑移和抗倾翻方面分析，(b)更安全。因为(b)增加向下的

AA+A

c。bcde=Cabce~^cde

A”，=扇形面积Ode-三角形面积Oc”

水压力，既增加了抗滑移摩擦力，也增加了抗倾翻力矩。

思2-16解答：这种说法不正确，因为半圆上各点的压力都垂直于曲面，即通过圆心,

合力也必然通过圆心，对圆柱不产生旋转力矩。

已知:R=10m,门宽b=8m,a=30",试求:

(1)作用在弧形闸门上的静水总压力；

(2)压力作用点位置。

解：

(1)静水总压力的水平分力

Px=AA=r(4+y)-(bH)

其中：

”=Rsin30°=10x0.5=5;〃

二.巴=9800x(4+g)x5x8=2548A7V

:.A..=5.36+4.52=9.88〃/

abcde

例题2-1如图所示为一溢流坝上的弧形门。

静水总压力的铅直分力

亿=W=%/b

静水总压力

V25482+774.62=2663K7V

301

=7rR2-------------/?sin30-Rcos30

3602

,301

=3.14xl02x-..........xlOxO.5xlOxO.866

3602

=26.17-21.65=4.52m2

就舞帝帮婚麴鹫，的

凡=9800x9.88x8=774.6A7V

所以,静水总压力为2663KN；合力作用线与水平方向的夹角为16.91°,合力与闸门的

交点到水面的距离6.91米。

耳

（2）合力作用线与水平方向的夹角

。=氏7（三）=吆-|（^^）=16.91。

px2548

第3章水动力学基础（一）

【教学基本要求】

1、了解描述液体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。

2、理解液体运动的基本概念，包括流线和迹线，元流和总流，过水断面、流量和断面

平均流速，一元流、二元流和三元流等。

3、掌握液体运动的分类和特征，即恒定流和非恒定流，均匀流和非均匀流，渐变流和

急变流。

4、掌握并能应用恒定总流连续性方程。

5、掌握恒定总流的能量方程，理解恒定总流的能量方程和动能修正系数的物理意义，

了解能量方程的应用条件和注意事项，能熟练应用恒定总流能量方程进行计算。

6、理解测压管水头线、总水头线、水力坡度与测压管水头、流速水头、总水头和水头

损失的关系。

【学习重点】

1、液体运动的分类和基本概念。

2、恒定总流的连续性方程、能量方程和动量方程及其应用是本章的重点，也是本课程

讨论工程水力学问题的基础。

3、恒定总流的连续性方程的形式及应用条件。

4、恒定总流能量方程的应用条件和注意事项，并会用能量方程进行水力计算。

5、能应用恒定总流的连续方程和能量方程联解进行水力计算。

【内容提要和学习指导】

3.1概述

本章讨论液体运动的基本规律，建立恒定总流的基本方程一一连续性方程、能量方程和

动量方程，作为解决工程实际问题的基础。由于实际液体流动时质点间存在着相对运动，因

而必须考虑液体的粘滞性，而液体运动要克服粘滞性，必然导致液体能量的损耗，这就是液

体运动的水头损失。关于水头损失放在第4章专门进行讨论。由于本章内容较多而且很重要,

网上辅导分两次进行。第一次主要讨论描述液体运动的方法、液体运动的基本概念、运动的

分类和特征、恒定总流连续性方程和能量方程及其应用。

3.2描述液体运动的拉格朗日方法和欧拉方法

（1）拉格朗日方法也称为质点系法，它是跟踪并研究每一个液体质点的运动情况，把

它们综合起来就能掌握整个液体运动的规律。这种方法形象直观，物理概念清晰，但是对于

易流动（易变形）的液体，需要无穷多个方程才能描述由无穷多个质点组成的液体的运动状

态，这在数学上难以做到，而且也没有必要。对于固体运动，特别是简化为刚体运动，虽然

刚体由无穷多个质点构成，但质点之间具有固定的位置和距离，这时只需要研究刚体上两个

质点的运动就可以反映刚体的运动状态，所以拉格朗日法在固体力学中较多应用。

(2)欧拉法：液体流动所占据的空间称为流场。在水力学中，我们只关心不同的液体

质点在通过流场中固定位置时的运动状态。例如河道某断面处，不同时间的水位、流量和流

速；管道中某处的流速和压强等。我们并不关心这个液体质点是怎么来的，下一步又流到哪

里去。把某瞬时通过流场各个固定点的液体质点运动状态综合起来，就能反映液体在某个时

刻流场内的运动状况。这种描述液体运动的方法称为欧拉法，也称为流场法，这是水力学中

常用的方法。这种方法物理意义不如拉格朗日法直观，因为欧拉法研究的对象是随时间而变

的，但是对我们研究流场的运动状况较为方便。

3.3液体运动分类和基本概念

(1)恒定流和非恒定流

流场中液体质点通过空间点时所有的运动要素都不随时间而变化的流动称为恒定流；反

之，只要有一个运动要素随时间而变化，就是非恒定流。非恒定流的流速、压强等运动要素

是时间的函数，由于描述液体运动的变量增加，使得水流运动分析更加复杂和困难。虽然自

然界的水流绝大部分是非恒定流，但在一定条件下，常将非恒定流简化为恒定流进行讨论。

本课程主要讨论恒定流运动。

(2)迹线和流线

迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质点不同时刻在空间位置的连线，迹线必定与

时间有关。迹线是拉格朗日法描述液体运动的图线。

流线是某一瞬间在流场中画出的一条曲线，这个时刻位于曲线上各点的质点的流速方向

与该曲线相切。流线是从欧拉法引出的，也是我们要重点理解的概念。对于恒定流，流线的

形状不随时间而变化，这时流线与迹线互相重合；对于非恒定流，流线形状随时间而改变，

这时流线与迹线一般不重合。

流线有两个重要的性质，即流线不能相交，也不能转折，否则交点(或转折)处的质点

就有两个流速方向，这与流线的定义相矛盾。也可以说某瞬时通过流场中的任一点只能画一

条流线。

流线的形状和疏密反映了某瞬时流场内液体的流速大小和方向，流线密的地方表示流速

大，流线疏处表示流速小。

(3)元流、总流和过水断面

元流是横断面积无限小的流束，它的表面是由流线组成的流管。由无数个元流组成的宏

观水流称为总流。

与元流或总流的所有流线正交的横断面称为过水断面。过水断面的形状可以是平面(当

流线是平行的直线时)或曲面(流线为其它形状)。

单位时间内流过某一过水断面的液体体积称为流量，流量用。表示，单位为（m3/s）。

引入元流概念的目的有两个：1）、元流的横断面积dA无限小，因此dA面积上各点的

运动要素（点流速“和压强P）都可以当作常数；2）、元流作为基本无限小单位，通过积分

运算可求得总流的运动要素。元流的流量为d2="d4则通过总流过水断面的流量。为

Q=fdQ=fA〃dA（3—1）

（4）断面平均流速

一般情况下组成总流的各个元流过水断面上的点流速是不相等的，而且有时流速分布很

复杂。为了简化问题的讨论，我们引入了断面平均流速〃的概念。这是恒定总流分析方法的

基础，也称为一元流动分析法，即认为液体的运动要素只是一个空间坐标（流程坐标）的函

数。断面平均流速v等于通过总流过水断面的流量Q除以过水断面的面积4即片Q/4

（5）均匀流与非均匀流

流线是相互平行的直线的流动称为均匀流。这里要满足两个条件，即流线既要相互平行,

又必须是直线，其中有一个条件不能满足，这个流动就是非均匀流。均匀流的概念也可以表

述为液体的流速大小和方向沿空间流程不变。

流动的恒定、非恒定是相对时间而言，均匀、非均匀是相对空间而言；恒定流可是均匀

流，也可以是非均匀流，非恒定流也是如此，但是明渠非恒定均匀流是不可能存在的，请注

意区分。

均匀流具有下列特征：1）过水断面为平面，且形状和大小沿程不变；2）同一条流线上

各点的流速相同，因此各过水断面上平均流速v相等；3）同一过水断面上各点的测压管水

P

头为常数（即动水压强分布与静水压强分布规律相同，具有Z+——=c的关系）。

（6）一维流、二维流与三维流

根据水流运动要素与空间坐标有关的个数，我们把水流运动分为一维流、二维流与三维

流。严格地说自然界的实际水流都是三维流，但是为了简化分析过程，引入断面平均流速后,

把许多问题转化为一维流动来讨论，这是重要的处理方法。

（7）渐变流与急变流

根据流线的不平行和弯曲程度，我们把非均匀流又分为两类：流线不平行但流线间夹角

较小，或者流线弯曲但弯曲程度较小（即曲率半径较大），这种流动称为非均匀渐变流，简

称渐变流；反之则称为急变流。我们可以证明渐变流同一个过水断面上的测压管水头（z+p/r）

近似当作常数，这一点在讨论恒定总流能量方程时要应用到。对于急变流，同一过水断面上

各点的z+p/rWc。

自然界的实际水流绝大多数是非均匀流，把非均匀流区分为渐变流和急变流是为了简化

对非均匀流渐变流的讨论。

3.4恒定总流的连续性方程

根据质量守恒定律可以导出没有分叉的不可压缩液体一维恒定总流任意两个过水断面

的连续性方程有下列形式。

Q\-Qi或i/iAi=V2A2（3—2）

vA

2手（3—3）

匕4

上式说明：任意两个过水断面的平均流速与过水断面的面积成反比。

对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为：

EQ流入=EQatai（3—4）

连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用力的关系，通常应用连续方程来计算某

一已知过水断面的面积和断面平均流速或者已知流速求流量，它是水力学中三个最基本的方

程之一。

3.5恒定总流的能量方程

（1）恒定元流的能量方程：

根据物理学动能定理或牛顿第二定律，可以导出恒定元流的两个过水断面之间的能量关

系式为P、P，,,

z,+—+—=z,+—+—+//'.

y2gY2g（3—5）

式中：z是相对某个基准面单位重量液体具有的位能，称为位置水头；二p是单位重量液体具

Y

有的压能，称为压强水头：（z+上p）是单位重量液体具有的位能和压/能之和，称为总势能

或测压管水头；音表示单位重量液体具有的动能，称为流速水头；w表示单位重量液体

从1断面流到2断面克服由液体粘滞性引起的阻力而损失的能量，称为水头损失。

式（3—5）表示水流在流动过程中，单位重量液体具有的位能、压能和动能的相互转换

和守恒关系。理想液体不存在粘滞性，所以理想液体流动中水头损失/?'w=0,表示液体机

械能的守恒。但实际水流都有粘滞性，因此〃wHO,说明水流沿流动方向机械能总是在减

少的。

应用毕托管测某点的流速，其理论依据就是恒定元流的能量方程，可以参见教材第73

页的分析。

（2）恒定总流的能量方程

将恒定元流能量方程沿总流的2个过水断面进行积分，并且引入过水断面处水流是均匀

流或者渐变流的条件，就可得到恒定总流的能量方程（称为伯努利方程）

旦+皿立+送+

(3—6)

72gY2g

请注意：积分过程中用到均匀流和渐变流条件，表明同一过流断面上各点的测压管水头具有

（）=c的性质；用断面平均流速V替代过水断面上的实际流速，计算单位重量液体具

z+—

有的动［自并不相等，因此就必须引进动能修正系数a,使得

223

vMfudA

a丁=7-或表示为a/：（3—7）

3

2g2gVA

在式（3—6）中，尤表示过水断面上单位重量液体具有的平均动能，同样心表示单位重量

2g

液体从1断面流到2断面平均的水头损失。

恒定总流能量方程是水力学的三个基本方程之一，是最重要最常用的基本方程，它与连

续方程联合求解可以计算断面上的平均流速或平均压强，它们与后面讨论的恒定总流动量方

程联解，可以计算水流对边界的作用力，在确定建筑物荷载和水力机械功能转换中十分有用。

（3）恒定总流能量方程的图示，水头线和水力坡度

恒定总流能量方程各项的量纲都是长度量，因此可以用比例线段表示位置水头、压强水

头、流速水头的大小。各断面的位置水头、测压管水头和总水头端点的连线分别称为位置水

头线、测压管水头线和总水头线（见教材第78和79页图3—27、28）。

位置水头线与测压管水头线、测压管水头线与总水头线之间的距离分别表示该过水断面

上各点的平均压强水头和平均流速水头。所以画出水流的水头线可以清楚地反映沿流程各个

断面上位能、压能和动能的变化关系，它在分析有压管道各个断面的压强变化十分重要。

假如水流从1断面流到2断面的平均水头损失为h“，，流程长度为I,则将单位长度上的

水头损失定义为水力坡度J，它也表示总水头线的斜率：

J（3—8）

J是没有单位的纯数，也称为无量纲数。根据水头线表示的能量转换关系，恒定总流能

量方程的几何意义可以这样来描述：对于理想液体（瓜=0），总水头线是一条水平线；对于

实际液体"w>0）,总水头线总是一条下降的曲线或直线，它下降的数值等于两个过水断面

之间水流的水头损失。

请注意：测压管水头线不一定是下降的曲线，需要由位能与压能的相互转换情况来确定

其形状。对于均匀流，流速水头沿程不变，总水头线与测压管水头是相互平行的直线。

（4）应用恒定总流能量方程的条件和注意事项

在推导恒定总流能量方程的过程中曾经引入过一些条件，这些条件限制了恒定总流能量

方程的使用范围，同时在应用能量方程解决工程实际问题时还必须处理好一些具体事项，现

归纳说明如下。

1）恒定总流能量方程的应用条件

a）液体流动必须是恒定流，而且是不可压缩液体（。=常数）；

b）作用在液体上的质量力只有重力：

c）建立能量方程的两个过水断面都必须位于均匀流或渐变流段，但该两个断面之间

的某些流动可以是急变流。

d）在推导能量方程的过程中，两个计算断面之间没有流量的汇入或流出。如果有流

量的汇入或分流，也可以建立相应的能量方程式，参见书上第80页。这时必须强调能量方

程的两侧都是单位重量液体具有的能量，但确定相应的水头损失非常困难。

2）应用恒定总流能量方程需要注意的具体问题

a）为了计算能量方程中的位置水头，必须确定基准面。基准面可以任意选择，但尽

可能使所选的基准面能简化能量方程，便于求解。例如所选基准面使z=0,这样能量方程

项数减少。还必须强调，同一个能量方程只能选择同一个基准，否则能量方程就不能成立。

b）计算压强水头2，既可选择绝对压强也可选用相对压强，但两个断面必须选用一

致。实际工程计算中一成采用相对压强更为方便。

c）因为渐变流过水断面上各点的（z+-）值相等，在过水断面上要选好计算点，便

P/

于计算测压管水头（z+—）。对于管流，计算点通常取在管轴线上；对明渠水流，计算点

y

取在自由表面上，这里的相对压强为零，所以（z+K）=Z。

Y

d）选取过水断面除了满足渐变流条件外，还应使所选断面上未知量仅可能少，这样

可以简化能量方程的求解过程。

e）求解能量方程必须确定动能修正系数a。a值与断面流速分布有关，流速分布越

均匀，a值趋向于1,断面流速分布不同，a值也不同。严格地讲两个断面上的a।与a?是

不相等的，但是实际工程中的动能修正系数大多在1.05~1.10之间，一般可以取a产a2=l

计算。对于流速分布相当不均匀的水流（例如层流运动），动能修正系数远大于1,这将在

第4章讨论。

f）能量方程中水头损失心是十分重要又非常复杂的一项，不能正确地计算液体流动

的能量方程难以解决实际问题。关于心的讨论和计算也将在第四章专门讨论。

g）当一个问题中有2~3个未知数的时候，能量方程需要和连续方程、动量方程组成方

程组联合求解。

【思考题】

3-1描述液体运动有哪两种方法？两种方法有什么区别？

3-2什么是流线和迹线？流线具有什么性质？

3-3什么是过水断面和断面平均流速？为何要引入断面平均流速？

3-4叙述流动的分类和其特征？

3—5有人说“均匀流一定是恒定流，急变流一定是非恒定流”，这种说法是否正确？为

什么？

3-6动水压强与静水压强有什么不同？在推导恒定总流能量方程时，为什么过流断面

必须位于渐变流段？

3—7在使用能量方程时应注意哪些问题？

3-8应用能量方程判断下列说法是否正确：(1)水一定从高处向低处流动；(2)水一

定从压强大的地方向压强小的地方流动；(3)水总是从流速大的地方向流速小的地方流动？

3-9什么是水头线和水力坡度？总水头线、测压管水头线和位置水头线三者有什么关

系？沿程变化特征是什么？

【解题指导】

思3—5提示：流动均匀与否是对于空间分布而言，流动恒定与否是相对时间而言，这

是判别流动的两个不同标准。因此，这种说法是错误的。

思3-6解答：静水压强具有下列特性：即静水液体内任何点的(z+2/y)=常数。而动

水压强只在一定条件下才具有这个特性，即在均匀流过水断面上的各点其(z+p/y)=常数。

对于渐变流，可以近似将(z+p/y)=常数，这在推导能量方程时，可以将它作为常数提出积

分号外，使积分运算变的十分简便。

思3—8提示：三种说法均是不正确的。由于水流在流动过程中总有能量损失，因此水

流只能从能量大的地方流向能量小的地方，而位置的高低、压强的大小、流速的大小不是确

定液体流动方向的依据。

例题3-1请参阅教材上的例3-2至3—9,

例题3—2如图所示水泵管路系统,已知：流量。=101m'/h,管径仁150mm,管路的总水

头损失心|一2=25.4m,水泵效率/7=75.5%,试求:

(1)(1)水泵的扬程4

(2)(2)水泵的功率Np

解：

(1)计算水泵的扬程看

P］彳。2vl

z,+」+-!-+”=z+7+『同一2

1y2gp2

以吸水池水面为基准写1-1,2-2断面的能量方程

即0+0+0+Hp=102+0+0+hwi-2

Hp=102+hwi-2=102+25.4=127.4m

7yQH9800x101/3600x127.4

N=1=-------------------=46.4AW

P〃0.755

(2)计算水泵的功率Np

此题主要说明在水流中有能量输入或输出时能量方程的应用。由于水泵是输给水流

能量，因此％前取正号，这样才能与2-2断面的能量相等。同时要搞清楚水泵扬程4

概念，Hp=z+hwi.2»

(11)图示一跨河倒虹吸管，正方形断面面积A=0.64n?,长1=50m,两个30折角、

进口和出口的局部水头损失系数分别为C1=0.2,《2=0.5,U3=1.0,沿程水力摩擦系数人

=0.024,上下游水位差H=3m.求通过的流量Q

H=h+£^―-

w乙

解:"4R2g

/?=—=0.2m,Y^=1.9

v=4.16nYs,Q=vA=2.662m3/s

第3章水动力学基础(二)

【教学基本要求】

1、掌握恒定总流的动量方程及其应用条件和注意事项，掌握动量方程投影表达式和矢

量投影正负号的确定方法，会进行作用在总流上外力的分析。

2、能应用恒定总流的动量方程、能量方程和连续方程联合求解，解决工程实际问题。。

3、了解液体运动的基本形式：平移，变形(线变形和角变形)，旋转。

4、理解无旋流动(有势流动)和有旋流动的定义。

5、初步掌握流函数、势函数的性质和流网原理。

【学习重点】

1、掌握恒定总流动量方程的矢量形式和投影形式，掌握恒定总流动量方程的应用条件

和注意事项。重点注意和影响水体动量变化的作用力。

2、能应用恒定总流的连续方程、能量方程和动量方程进行水力计算。

【内容提要和学习指导】

3.6恒定总流动量方程

恒定总流动量方程是动量定理在液体流动中的表达式，它反映水流动量变化与作用力之

间的关系。

恒定总流动量方程主要用于求解水流与固体边界之间的相互作用力，如水流对弯管的作

用力，水流作用在闸门和建筑物上的动水压力以及射流的冲击力等。

(1)恒定总流动量方程

根据动量定理可导出恒定总流的动量方程式为

"=「。仇°2一空)(3-9)

恒定总流动量方程的物理意义表明：单位时间内流出控制体与流入控制体的水体动量之

差等于作用在控制体内水体上的合外力。

恒定总流的动量方程是个矢量方程，把动量方程沿三个坐标轴投影，即得到投影形式的

动量方程：

'EFx=PQ(£2V2x-0\V1X)

VEFy=PQ(£2V2y-£lV”)(3—10)

、£Fz=0Q(PlVaz-^Iviz)

式中：EFx、EFy、EFz是作用在控制体上所有外力的合力沿X'y、z轴方向的分量；

Vix>V2x、Viy、V2，、Viz,V2z分别是控制体进出口断面上的平均流速在x、y>z轴上的分量；

小、生为进出口断面处的动量修正系数，已知断面上的点流速〃分布规律时，可以按下式

计算

(3—11)

£值一般约为1.02-1.05,通常取£|=色=1.0计算。

（2）恒定总流动量方程的应用条件和注意事项

a）水流是恒定流，并且控制体的进出口断面都是渐变流，但两个断面之间可以是急

变流。这与恒定总流能量方程的条件相同，这样在应用能量方程和动量方程进行联解时不会

出现适用范围的不一致。

b）动量方程是矢量方程，方程中的流速和作用力都具有方向的。因此，应用动量方

程解题必须建立坐标系。坐标系可以任意选择，但所选的坐标系应使流速和作用力的投影分

量越少越好，这样可以减少方程中的未知数。还必须注意，当流速或者作用力的投影分量与

坐标方向一致时，则为正值，否则应为负值。这一点在解题中经常容易发生错误，学员应特

别注意。

c）动量方程式的右端应该是流出液体的动量减去流入液体的动量。

d）E片包括作用在控制体上的全部外力，不能遗漏，也不能多选，这也是解题中常

会发生错误的地方。

外力通常包括重力（质量力）、压力和周围固体边界对水体的反作用力。求水流与固体

边界之间的作用力是应用动量方程解题的主要任务，当所求的力的方向不能事先确定时，可

以先假设其方向进行求解。如果求出该力为正值，表示假设方向正确；否则表示该力的实际

作用方向与假设方向相反。

e）动量方程只能求解一个未知数，如果方程中的未知数多于1个，必须与连续方程、

能量方程联合求解。

f）对于有分岔的管道，动量方程的矢量形式为

z八z（pem）流出-z仿Q/劝流入（3—⑵

3.7液体微团的运动形式

在理论力学中，刚体有两种基本运动形式，即平移和绕某瞬时固定轴的转动。而液体能

够流动，发生变形，因此液体微团具有四种基本运动形式，即:

（1）平移运动：平移的速度为“X,Uy,Hz.

dU

（2）线变形运动：线变形速度为q_&，X._yp/Uz(3—13)

"一丁⑸一百z-京

（3）角变形运动：角变形速度为

1du8〃vidudui加du

外T育+房4T暂黄。zT走才(3—14)

（4）旋转运动：旋转角速度为

()

1v1du5ui2“va“3—15

八1/2N\八/_XZ\,、1Z)X、21"

CD=­(-----------------),a)=—(--------------),(o=—(--------------)

X2dy8zy2dzdxz2axdy

式中：门一边线变形速度，仰一角变形速度，％—旋转角速度。

在液体上述四种基本运动形式中，我们最关心的是旋转运动，它对讨论液体的运动和

运动的求解十分重要。

如果液体微团的旋转角速度。x=%=%=0,则液体是无旋流动或有势流动(存在流

速势函数)；当。X、孙、必有一个不为0，则液体作有旋流动或有涡流动。

3.8平面势流的流函数和流速势函数

(1)(1)流函数：平面流动中的流线方程广“＞，dx=0能够进行积分的条件是：

它必须是某函数沙(x,y)的全微分，我们把＜P称为流函数。

流函数力存在的充分必要条件是满足连续性方程，也就是说，对于连续的平面运动，

流函数＜!＞总是存在的。

流函数与流速之间的关系可以表示为:

叱=_〃，型二"(3-16)

dxydyx

流函数具有四个重要的性质：

1)I)在平面无旋运动中，流函数满足拉普拉斯方程，即

.2.2

O11/OU/

--+―-=0(3—17.

△2

oxdy

在数学上把满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，所以力是调和函数。

2)2)等流函数线就是流线，即中=常数，它代表一条流线。

3)3)两条流线的流函数值之差等于两条流线之间通过的单宽流量。

4)流函数的增值方向是流速矢量方向逆时针旋转90°的方向。

(2)流速势函数：有势流动的流场中必定存在一个流速势函数火x,y,z),流速势函数

。对各个坐标轴的偏导数等于流速向量在该坐标轴上的投影，即

ddfd(/)即

dxydydzJ07

也可以表示为duxdx+Uydy(3—19)

流速势函数具有下面四个性质：

1)1)某瞬时流速势函数0对某方向的偏导数等于流速在该方向上的投影。

2)2)流速势函数也满足拉普拉斯方程，即6也是调和函数。

3)3)当势函数0=常数，它表示一条等势线。

4)流速势函数的增值方向与流速方向一致。

3.9流网原理

在平面势流中，流速势函数。等于不同常数时构成了一组等势线，流函数沙为不同常数

时代表一组流线，这些等势线和流线构成的网格即是流网。

流网有下列特征：

1）1）流线与等势线处处正交，也就是说流网是正交网格。

2）如果取△□=△见则流网构成正交方格。利用组成流网的流函数与流速势函数的性

质，可以求解流场内任何一点的流速和压强。

【思考题】

3-10建立动量方程有哪些条件？应用时要注意哪些问题？

3-11建立动量方程时如何建立坐标可以简化计算过程？

3—12为什么边界对水流的作用力方向可以任意假设？

3-13液体运动的基本形式有哪几种？

3—14什么是平面流动？

3—15什么是有势流动和有旋流动？有势流动如何判别？

3—16什么是流函数和流速势函数？它们存在的条件是什么？有哪些性质？

3—17流网是怎么构成的？它具有什么性质？