全解与精炼高考数学11 解答题的突破方法

全解与精炼高考数学专题11解答题的突破方法

1.设数列｛aj的前n项和为S”，对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立，记bn=

鬻(neN*).

(1)求数列｛斯｝与｛5｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝的前n项和为Rn,是否存在正整数k,使得Rk>4k成立？若存在，找出一

个正整数k；若不存在，请说明理由.

2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P41平面力BCD,PB与底面ABCD所成的角为45。，底

面ABCD为直角梯形，BC//AD,/.ABC=/.BAD=90°,AD=2PA=2BC=2.

(1)求证：平面PAC_L平面PCO；

⑵在线段PD上是否存在点E,使CE与平面PAD所成的角为45。？若存在，求出所有的值;

若不存在，说明理由.

3.已知椭圆M:[+盘=l(a>b>0)的四个顶点构成边长为5的菱形，原点。到直线AB的距

a2b2

离为Y，其中力(0,a),B(-b,0).直线l:x=my+n与椭圆M相交于C,D两点，且以CD

为直径的圆过椭圆的右顶点P(其中点C,D与点P不重合).

(1)求椭圆M的方程和离心率；

(2)试判断直线I与%轴是否交于定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

4.今有一个量经"建模”后得到关系式为w=i[?==+7==],其中a,b,c,a,t都取正值，u<

1,tvl,并且满足约束条件at+bu=c,/+请你设计出一种方法，求出量

3的最小值来.

5.设Sn=l+：+：+…+3(neN*),/(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围，但对于

neN*,n>1,不等式/(n)>[logmO-1)/一半log(m_i)m「恒成立.

6.已知37n和几是正整数，且1Vi工？nVri.

(1)证明：兀认盆V加人宗

(2)证明：(l+rn)n>(l+n)m.

7.己知函数/(%)==.

7X+1

(1)求证：当X21时，不等式In%>/(x)恒成立；

(2)求证：[1x2x3x…x(n+I)]2>(n+1)-en-2(neN*).

8.设数列a1，0,2<1,,>的前n项和Sn和a；,的关系是Sn=~ban+1—其中b

是与n无关的常数，且6Hl.

(1)求斯和an-i的关系式；

(2)写出用n和b表示an的表达式.

9.设a0为常数，且即=3"T-2an_i(n6N*).

n711nnn

(1)证明对任意n>1,an=1[3+(-I)--2]+(-l)-2a0；

(2)假设对任意n>1,都有a„>an_1(求a0的取值范围.

10.已知函数/(%)=xlnx,g(%)=%3+ax2—%4-2.

(1)如果函数g(x)的单调减区间为(一],1)，求函数g(x)的解析式；

(2)在(1)的条件下，求函数y=g(x)的图象在点P(-l,l)处的切线方程；

(3)若不等式2f(x)4g，(x)+2的解集为P,且(0,+8)aP,求实数a的取值范围.

n

11.已知数列的前项和Sn满足：Sn=a(Sn-an+1)(a为常数，且a40,a41).

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设bn=a^+Snan,若数列｛%｝为等比数列，求a的值；

⑶在满足条件(2)的情形下，设包=三7-一:，数列｛7｝的前n项和为%,求证：

外+1%+1一1

Tn>2n-^.

12.设数列｛。九｝的前n项和为Sn,且靠一(an+2)Sn+1=0,1-Sn=anbn(n6N*).

(1)求的,a2的值；

(2)求｛斯｝的通项公式：

⑶若正项数列｛7｝满足cnw币/5£N*,O<a<1),求证：EkI含<1.

13.设函数/"(X)=(x-a)21nx,aGR.注：e为自然对数的底数.

(1)若x=e为y=/(x)的极值点，求实数a；

(2)求实数a的取值范围，使得对任意的xe(0,3e],恒有/(x)<4e2成立.

14.如图所示，在棱长均为4的三棱柱4BC-AiBiG中，D,D1分别是BC和的中点.

R

(1)求证：①必〃平面AB】。；

(2)若平面ABC1平面BCG/,4B/C=60。，求三棱锥Br-ABC的体积.

15.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=l(a>b>0)的离心率e=且椭圆C

上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.

(1)求桶圆C的方程：

(2)在椭圆C上，是否存在点M(m,n),使得直线I：mx+ny=1与圆。：x2+y2=1相交

于不同的两点A,B,且4OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的4OAB

的面积；若不存在，请说明理由.

16.已知三个函数y=|x|+l,y=y/x2-2x+2+t,y=|(x+(x>0)的最小值恰好是方程

x3+ax2+bx+c=0的三个根，其中0ct<1.

(1)求证：a?=2b+3；

(2)设Qi，M),(%2，N)是函数/'(X)=/+a/+以+C的两个极值点.

(i)若\Xi-x2\=求函数/(x)的解析式;

(ii)求1M-N[的取值范围.

17.如图所示，在三棱锥D-ABC中，已知4BCD是正三角形，力BJ.平面BCD,AB=BC=a,E

为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC.

D

(1)求三棱锥D-ABC的表面积；

(2)求证AC1平面。EF；

⑶若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N,使M/V〃平面OEF?若存在，说明点N

的位置；若不存在，试说明理由.

18.如图所示，椭圆E:捻+《=l(a>b>0)的左焦点为Fi，右焦点为%，离心率e=；过&

的直线交椭圆于4,B两点，且4ABF2的周长为8.

⑴求椭圆E的方程；

(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线%=4相交于点

Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，

求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

19.我们知道，函数2*满足：21=2,2，x2y=2x+y(xeR,yeR).现以函数2,为模型，则

可以构造函数g(x),满足：g(l)=2,g(x)g(y)=g(x+y)(xeR,y€R).同理，对于函数

log2x满足log2l=0,log2(xy)=log2x+log2y(x,y为正实数)，则以函数log2x为模型可

以构造函数/(x).

(1)类比于g(x)写出/(%)所满足的条件；

⑵对于函数/(%),求证：对于任意正实数x,y都有/g)=/(x)-/(y)；

⑶若当x>1时，/(X)>0,/(4)=2,

(i)求使函数/i(x)=f(ax-1)在［1,+8)为增函数的实数a的取值范围;

/(%2)+y^,-1<%<0

(ii)设F(x)=n,解不等式：尸(%)>“一%)+5.

-/(X2)0<X<1

20.设函数/(%)定义在(0,+8)上，/(1)=0,导函数f(x)=Kg(x)=/(%)+/'(%).

(1)求g(x)的单调区间和最小值；

(2)讨论g(x)与sQ)的大小关系；

⑶是否存在q>0，使得ig(x)-gQo)1<5对任意x>0成立？若存在，求出%0的取值

范围；若不存在，请说明理由.

答案

1.【答案】

(1)当71=1时，=5。1+1,所以=—；，

==

3^.CLJI5S^+1,Qyi+l55日+1+1,

所以an+l~an=5Q九+1，即。九+1=—

所以数列｛an｝是等比数列，其首项即=一；，公比q=-；，

所以"=(一?”•

干基h-4+厮-4+(3):

十无,儿一…一”(了.

(2)不存在正整数k,使得Rk>4k成立，下面用反证法给出证明:

假设存在正整数k,使得Rk>4k成立.

5

由(1),知5=4+

(-4尸一1

因为

O_|_________________I_______n

^2t-l+b2t丁(_4)2I_I干(-4)2J

=8+三品

15x16^40

=8-<8(t6N)

(16^1)(16^4)

所以当n为偶数时，设n=2m(m6N*)»

则Rn=(瓦+&2)+M+b4)+…+(h2m-i+b2m)<8m=4n；

当n为奇数时，设n=2m-l(mGN*),

则b2m_1=4+=4-在三<4,

Rn=(瓦+匕2)+(力3+。4)+…+32m-3+。2m-2)+》2mT

<8(m—1)+4

=8m—4

=4n,

所以对于一切的正整数n,都有Rn<4n成立，

与假设矛盾，故假设不成立，则原命题成立.

于是，不存在正整数k,使得Rk>4k成立.

2.【答案】

(1)由题意，易得NPBA=45。，从而可得AB=PA=BC=1,

故AC=7AB2+BC2=V2,/.CAD=45°,

又AD=2,可得^.ACD=90°,即AC1CD.

又P41平面4BC。，所以PA1CD.

又ACClP4=4,所以CD_L平面PAC.

又CDu平面PCD,所以平面P4cl平面PCD.

(2)假设存在点E,使CE与平面PAD所成的角为45°.

取AD的中点M,连接CM,则CM14D,CM=1.

又P41CM,PAQAD=A,

所以CM1平面PAD,

连接ME,则/CEM就是CE与平面PAD所成的角，即zCEM=45°.

因为CM=1,所以ME=1.

在△PAD中，MD=1,所以当点E与点D重合时满足条件，此时北=L

不难求到另一个点E的位置为距离点P最近的线段PD的五等分点处，此时皆=:，所以线段

PD上存在点E,使CE与平面PAD所成的角为45。，此时费的值为1或

PD5

3.【答案】

(1)由已知，得a2+b2=52,

由点2(0,a),8(—6,0),知直线AB的方程为即ax-by+ab=0,又原点。到

直线AB的距离为各即写第=各，

5y/a2+b25

所以a2=16,b2=9,c2=16-9=7.

故椭圆M的方程为5+3=1，离心率e=*=W，

169a4

(2)由(1),知P(3,0),设0(%2，丫2)，将X=my+n代入£+1=1,

整理,得(16m2+9)y2+32mny+16n2—144=0,

i,-32mn16n2-144

则ri1l为+先=高不，乃先=-^所-

因为以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P,贝I」PCPD=0f又PC=(x1-3,y1)f丽=

(右一3,力)，

所以(%i-3)•(上-3)+yty2=0.又/=my±+n,x2=my2+n,

所以(myi4-n-3)•(jny2+n-3)+yry2=0.

22

整理得(m+1)力%+m——3)(yi+y2)+(n-3)=0,

16n21442

即(m2+1).；+m(n-3)-+(n-3)=0,

即16(m2+l)(M-9)_—+(n_3)2=0.

167n2+916m2+9'7

易知九。3,

所以16（巾2+1）（九+3）-32m2n+（16m2+9）（n—3）=0.

整理，得25几+21=0,即n=—11.

所以直线I与x轴交于定点，定点的坐标为（-H，0）-

4.【答案】因u,te（0,1），故可令u=cosa,t=cospf其中a,/?为锐角.

以HC为一公共直角边（H为直角顶点），

在"C的两侧分别构造RtAAHC,RtABHC,并使AC=b,BC=a,乙4=a,乙B=仇

则at4-bu=acosB+bcosA=BH+HA=AB.于是AB=c.显然这样的设计还满足题设的另一个约

束条件：a2+2bcu=b24-c2（此式就是余弦定理a2=b2+c2—2bccosA的变形）.

故a=/+方当f]=}1+/总）=（（6R+2R）=:.（其中，R为二角形外接圆的半径）

由于cW2R,故①之4.

另一方面，当a=8,b=6,c=10,u=I，t满足题设全部条件，且a>=4,故o）的最

小值为4.

【答案】因f（n）=；，

-n-+-2-H---n-+-3T+…+-----

则f(n+1)--TH---；+…+----J

n+3n+4

所以/(n)>f(n-1)>>/(3)>/(2)(n6N*,n>2),而/(2)=

由单调性,知/⑵=,>[logm(m-1)产

解得一1VlogmCm-1)<1且10gm(rn-1)H0,

解之m>^―,且6H2,

所以，所求m的取值范围为空，且血工2.

6.【答案】

(1)对于1<i<即Nm=m•(m—1)...(m—i+1),

A%_mm-1m-i+1

mmm

A%_nn-1n-i+1

同理

nnn

由于m<n,对于正整数fc=有—>—,

nm

所以纯〉为，

nl

即>nfA^.

⑵根据二项式定理有：

n2n

(1+m)=1+C}1m4-C^mH----FC„m,

m

(1+n)m=1+既n+鬣1n2+…+C^n,

由(1)知mzAn>nfA^(l<i<m),

而%=牛,以=牛,

所以加C}>nlC}n(l<m<n),

所以mQCn=n0C„=1,mCn=nC温=m-n,

7n2C„>n2C^,•••,mmCJP>mm+1CJp+1>0,…，mnCJJ>0,

2n2m

所以1+G1m+CnTn4----FCJJm>1+%n+C^n4----卜C^n,

即(l+rn)n>(l+n)m成立.

7.【答案】

(1)记g(%)=Inx-舒(％N1),

则gD'(X)=-x-(x+21)2=x(:x+1l)I2>0，

所以g(x)在[1,+网上单调递增，从而g(x)>5(1)=0,

所以不等式Inx2f(x)恒成立.

(2)由(1)知，当x'1时，lnx23=l一二->1一三，

x+2x+1X

所以ln(lx2)>1—嗯,ln(2x3)>1-

ln(3x4)>1----,…，ln[n(7i+1)]>1----；—

上述不等式叠加得ln[lx22x32x...xn2(n+1)]>n-2[^-+-i-+-

即ln[lx22x32x...xn2(n4-1)]>n—2+>n—2,

从而1x2?x32x...xn2(n+1)>e11-2,

所以［1x2x3x...x(71+1)F>(n+1).en-2(neN*)成立.

8.【答案】

⑴an=Sn~=-b(ctn_即_1)_+(1+6尸_1

=-b(.an-a„_i)+(i：)”(n>2),

由此解得an=盘+(i+；)“+i5—2)。

(2)由4=Si=-ba!+1-匕，得%=0：川

再由(1)的结果可得

b,bb+b2

/1+b1(1+b)3(1+匕尸

bb_b^b2+b3

=(i+6)*"

经过归纳，可猜想即=端法二……①

下面用数学归纳法证明猜想成立.

(i)当n=l时，式①显然成立；

(ii)假设n—k(k21)时，式①成立，即ak=+:花7,

于是

以+i=百纵+(1+0产2

_b匕+庐+…+力"b

-1+b(l+d)k+1(1+Z))fc+2

_b+b2+--+bk+1

=­(1+研+2--

即当n=k+l时式①成立.

根据数学归纳原理，对于任意正整数n,式①都成立.

d(l-dn)

所以斯一(l-b)(l+b)n+i'n6N*.

9.【答案】

(1)略.

n

(2)由册通项公式，得斯-an-l=2x3"T+(-；)nT3x2-T+(_］尸3X2一1％.

?l-1..

©(n6N*)....①

2k-2

(i)当几=2k-l,k=l,2,…时，式①即为(-l)2k-2(5a°_i)v2x(|)

7/o\2k-21__

即为a0<-(-)...②

式②对k=l,2,…都成立，有a0<|x(|)°+|=|.

©2k—1

即为ao>_|x(|)"+,……③

x211+

式③对k=1,2,-都成立，有«0>-|(I))<!=

综上所述，式①对任意nGN*成立，有一|<的<|.

故a0的取值范围为

10.【答案】

(1)g'(%)=3%2+2ax—1.

由题意3x2+2ax-1<0的解集是(/1)，

即3/+2以一1=0的两根分别是一表1.

将％=1或一：代入方程3/+2ax-1=0得a=-1.

所以g(x)=x3-x2-x+2.

(2)由(1)知g'M=3x2-2x-l,则式-1)=4,

所以点P(-Ll)处的切线斜率k=5'(-1)=4,

所以函数y=g(x)的图象在点P(-l,l)处的切线方程为y-l=4(x+l),

即4x-y+5=0.

(3)因为(0,+8)UP,所以2f(x)Wg'(x)+2,

即2xlnx<3x2+2ax+1对xe(0,+8)恒成立，可得a之Inx-gx—会对％6(0,+8)恒成

立.

设/i(x)=Inx---贝lj/t'(x)=---+-^=-(x-1)(：^+1).

—22%一422*2x2

令ft(x)=0,得％=1或%=一，(舍)，

当0cxV1时，九(X)>0；

当X>1时，h(x)<0.

所以当工=1时，/i(x)取得最大值，h(%)max=-2，所以CL>-2.

所以a的取值范围是［-2,+8).

11.【答案】

(1)因为Si=a(Si-%+1),所以%=a.

当n>2时，Sn=a(Sn-an+1),....①

Sn-i=a(Sn_i-an_x+1),....(2)

由式①-式②，得册=&-即_1，

即上=a,

^n-1

即数列是首项为a1=a,公比为Q的等比数列，

n-1n

所以an=a-a=a.

(2)由(1),知匕=(an)2+^^2.那=色匕?唱丁a"+i,……③

若｛%)为等比数列，则有场=b1b3,

42

而瓦=2a2,b2=Q3(2Q+1),b3=a(2a+a+1),

242

故[Q3(2Q+l)]=2a2.a(2a+a+1),

解得a=1.

n

将a=3代入式③，得bn=(0.

⑶由(2),知垢=g)n,

所以

11

c7

n=7G1)V+1@小n+1―T

2n,2n+1

―2n+l+2n+1-l

11

—9—---------4-------------

2n+l2n+1-1'

所以cn>2+募•

所以

Tn=q+C2+…+d>(2_.+9)+(2_/+8)+…+(2-)+募)

=2n-9+品

>2n--.

2

12.【答案】

(1)令九=1,得S：—(%+2)Si+1=0=a[=%

令71=2,得贤—(a2+2)SZ+1=0=Q2=*

6

(2)由题，S卷一(an+2)Sn+l=0……①，

当时，把代入式①，得

n22an=S”-Sn_jSnSn_1-2Sn+1=0,

I213

由(1)»知Si=],$2=S3==

Z3Z-024

猜想上=」；下面用数学归纳法证明：

(i)当九=1时，显然成立；

(ii)假设当n=k时，Sk=£成立，

则当n=A:+1时，由Sk+1Sk-2Sk+1+1=0,

得Sk+i=/=-Ar=含故当几=k+1时也成立・

z-at2---k--+-l-/C+1+1

综合(i),(13),可知对任意n£N•恒有Sn=-^~成立.

所以当时，花岛，

n220n=S”-Sn-i=

当n=1时也满足.

故斯n=n(二n+lK)(neN*).

(3)由(2)及1-Sn=即益，得%=九，

故"W,、=1―!—<

l+(n-l)a-+n-ln

则第】含<盘=】岛j=l-击<L

13.【答案】

(1)求导得/'(x)=2(x—a)lnx+(*；)=(%-a)^21nx+1-

因为x=e是f(x)的极值点，

所以f(e)=(e-a)(3-^)=0,

解得Q=e或a=3e.

经检验，符合题意，所以Q=e或a=3e.

(2)(加当0Vx工1时，对于任意的实数Q,恒有/(%)<0<4e2成立.

(团)当1VxW3e时，由题意，首先有/(3e)=(3e-a)2ln3e<4e2,

解得3e一焉WaS3e+^・

由(1)知r(x)=(%—a)Qlnx+1—£),

令/i(x)=21nx4-1—p则h(l)=1—a<0,/i(a)=21na>0.

且h(3e)=21n3e+l-£>21n3e+1-厘=2(|n3e一备)>0.

又九(x)在(0,+8)内单调递增，

所以函数/i(x)在(0,+8)内有唯一零点，

记此零点为xQf则1V/V3e,1<x0<a.

从而，当xG(O,xo)时，r(%)>0；当xe(x0,a)时，r(x)V0；

当％W(a,+8)时，/'(%)>0.

即/(%)在(O,xo)内单调递增，在(&4)内单调递减，在(见+8)内单调递增.

所以要使/(%)<4e2对％W(l,3e］恒成立，

口要1(X。)=(X。-a)21nx0<4e2,...①成立

八［f(3e)=(3e—a)2ln3e<4e2,...②

由—21n%Q+1---=0,

XO

知a=2xolnxo+x0,...③

32

将式③代入式①得4x^lnx0<4e.

又％o>1,注意到函数x2\n3x在［1,+8)内单调递增，故1V4e,

再由式③以及函数2xlnx4-x在(1,+8)内单调递增，可得1VQW3C.

111式②解得‘3e-A-a-3e+彘,

所以3e—<a<3e.

综上所述，a的取值范围为3e-藕Wa«3e.

14.【答案】

(1)证明：如下图所示，连接DDi，在三棱柱ABC-A.B^中，

因为D,D］分别是BC与BiG的中点，

所以B［DJ/BD,且B1D1=BD,所以四边形BABDD1为平行四边形，

所以BBi〃DD「且BB1=DDr,

又AA1//BBl,AAr=BBi，

所以AA^Z/DD-y,AAX=DDX,

所以四边形AA^D为平行四边形，所以A.D^/AD,

又为。1C平面4B］。，ADu平面4B1D,故久5〃平面

(2)方法一：在4ABe中，因为AB=AC,D为BC的中点，所以AD1BC,

因为平面4BCJ.平面BiGCB,交线为BC,ADu平面4BC,

所以4。_L平面BiGCB,即AD是三棱锥A-BXBC的高.

在△ABC中，由AB=AC=BC=4,得AD=273,

在4B\BC中，BAB=BC=4,NBiBC=60。，

所以△B］BC的面积SAB\BC=彳x42=4V3,

所以三棱锥-ABC的体积，

即三棱锥A-B[BC的体积为V=1x473x273=8.

方法二：在4B\BC中，因为B]B=BC,NB/C=60。，

所以4B、BC为正三角形，因此B^D1BC,

因为平面4BC1平面BiGCB,交线为BC,Bi。u平面BiGCB,

所以当。1平面4BC,即B]D是三棱锥Bj-ABC的高，

2

在ZiABC中，由4B=AC=BC=4,得△4BC的面积SA4ec=yx4=473.

在4B[BC中，因为BiB=BC=4,Z_BiBC=60。，所以B1。=28，

所以三棱锥Bi-ABC的体积K=1xS^ABC-1x4V3x2V3=8.

15.【答案】

(1)因为e=(1，所以寸=1,即。2=3炉，

y]3a"3

所以椭圆的方程为x2+3y2=3b2.

设P(x,y)为椭圆C上的任意一点，

则

IPQ1=《%2+⑶一2一

=43b2_3y2+y2一到+4

=V-2(y+l)2+6+3b2

<-6+3-2,

所以-6+3板=3,解得b2=1,

所以a2=3,所以椭圆C的方程为y+y2=l.

(2)存在点M满足要求，使△048的面积最大.假设直线I：mx+ny=1与圆。：%24-

y2=l相交于不同的两点A,B,则圆心。到I的距离d=£=《<1,

因为点M(jn,n)6C,

所以^-+n2=1<m2+n2,于是0<43.

因为IAB|=2Vl-d2=2

y1m2+n2

所以

S^OAB=1'IABI-d

y/m2+n2-l

-m2+n2

=包

1+加

<嗣

2J^

1

=

2

上式等号成立当且仅当I=：7n2=m2=|c(0,3],

因此当血=±苧，n=±乎时等号成立.

所以满足要求的点恰有4个，其坐标分别为俘,日),律，-.)，(-乎，当)和(-*¥)，

此时对应的诸三角形的面积均达到最大值

16.【答案】

(1)三个函数的最小值依次为1,VlTt,

由f(1)—0»得c——CL—b—1.

所以/(%)=(%—l)[x2+(a+l)x+(a+b+1)],

故方程/+(Q+1)%+(Q+b+1)=0的两根是yjl—trJl+t.

故Vl—t+>/l+t=-(a+1),V1—t,-1+t=a+b+1,(，1—t+Vl4~t)=(a+l)2，

即2+2(a+b+1)=(Q+1)2,

所以M=2b+3.

(2)f(x)=x3—yj7x24-2x+V7-3；

3

0<|M-N|<黑3一旬工

17.【答案】

(1)因为4B1平面BCD,所以4B_LBC,AB_LBD.

因为△BCD是正三角形，且AB=BC=a,所以AD=AC=V2a.

设G为CD的中点，贝ijCG=\a,AG=-a.

24

所以SAABC=S&ABD=.Q2,S&BCD=S^ACD=

三棱锥D-ABC的表面积为$-8=竺聆。2.

(2)取AC的中点H,因为AB=BC,所以BH1AC.因为AF=3FC,所以F为CH的中

点.

因为E为BC的中点，所以EF//BH.则EFLAC.

因为4BCD是正三角形，所以DELBC.

因为AB1平面BCD,所以AB1DE.

因为4BnBC=B,所以DE_L平面4BC.所以DE1AC.

因为DECiEF=E,所以AC1平面DEF.

(3)存在这样的点N,当CN=1CA时，MN〃平面DEF.

连接CM,设CMCDE=0,连接OF.

由条件知，。为4BCD的重心，CO=|CM.

所以当CF=|CN时，MN//OF.

所以CN=---CA=-CA.

248

18.【答案】

(1)因为|4B|+|AF2l+|BF2l=8,

即\AFr\+IFjfil+\AF2\+\BF2\=8,

又\AFr\+\AF2\=IBFil+\BF2\=2a,

所以4a=8,a=2,

又因为e=；,即£=；,

2a2

所以c=l,

所以b=yja2—c2=V3,

故椭圆E的方程是。+《=1，如图所示.

43

ry=fcx+m,

(2)解法一：由\x2y2,得(4fc2+3)x2+8kmx4-4m2-12=0,

tT+T=1-

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,yo),

所以m0且A=0,

22

即64kzm2-4(4k+3)(4m-12)=0,

化简得4fc2-m2+3=0,……①

，口，4km4k,,3

此时配=一环=_£，'0=依。+m=胃

所以p

\mmJ

由｛；二+m得Q(49+m)，

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，

设M(Xi，O),则MP-MQ=O对满足式①的m,k恒成立，

因为市=("当一X1，力MQ=(4-x1(4/c+m),

由标•丽=0,得•-出+%-4/+*+拦+3=0,

整理，得(4/-4)\+后一轨1+3=0,……②

由于式②对满足式①的m,k恒成立，

所以陛解得1.

故存在定点使得以PQ为直径的圆恒过点M.

y=kx+m,

z2/得(4k2+3)x2+8kmx+47n2-i2=0,

｛T+T=1-

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x°，yo)，

所以m工0且4=0,即64k2m2_4(4fc2+3)(4m2—12)=0,

化简得4k2—m24-3=0.

此时X。=一黑=一手y。=依。+血=1

所以p(-竺；)，

由k2+犯得Q(4,4%+m)，

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，

取k=o,m=V3,此时P(0,V3),<2(4,V3),以PQ为直径的圆为(x-2)2+(y-V3)=4,

交x轴于点Mi(1,0),%(3,0)；

取k=*,m=2,此时P(l,|)，(2(4,0),以PQ为直径的圆为(％-|)2+(>一｛)2=协交

x轴于点M3(I，。)，M4(4,0),

所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0).

以下证明M(l,0)就是满足条件的点：

因为M的坐标为(1,0),

所以市=(一专一1扁,MQ=(3,4fc+m),

从而MP-MQ=---3+—+3=0,

mm

故恒有MP1.MQ,即存在定点M(l,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.

19.【答案】

(1)/(I)=0,f{xy)=/(x)+/(y)(x,y为正实数).

(2)因为对于任意正实数x,y都有/(xy)=/(x)+/(y),

所以