苏科版八年级数学上册重难点专题提优训练专题23一次函数与二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式(原卷版+解析)

专题23一次函数与二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式考点一两直线的交点与二元一次方程组的解考点二图象法解二元一次方程组考点三求直线围成的图形面积考点四已知直线与坐标轴交点求方程的解考点五由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点考点六利用图象法解一元一次方程考点七由直线与坐标轴的交点求不等式的解集考点八根据两条直线的交点求不等式的解集考点一两直线的交点与二元一次方程组的解例题：（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期中）已知函数与的交点坐标为，则方程组的解为______．【变式训练】1．（2022·山东省临邑县宿安中学八年级阶段练习）已知直线与的交点为，则方程组的解是___________．2．（2022·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）如果直线与直线的交点坐标是，则方程组的解是____________．考点二图象法解二元一次方程组例题：（2022·陕西·无八年级期中）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B． C． D．2．（2022·山东·夏津县万隆实验中学八年级阶段练习）如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=mx+n相交于点P（2，4），则关于x，y的方程组的解为___________．3．（2022·江西·赣州市赣县区思源实验学校八年级期末）如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为__________．考点三求直线围成的图形面积例题：（2022·江西·南城县教育体育事业发展中心八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．(1)求点的坐标及直线的解析式；(2)求四边形的面积．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市第三中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AC交轴于点，交直线于点，有一动点M在线段和线段上运动．(1)求直线的表达式．(2)分别求出与的面积．(3)是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出点M的坐标．2．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点、，的图象与轴，轴分别交于点、，且两个函数图象相交于点．(1)填空：______，______；(2)求的面积；(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)点在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．考点四已知直线与坐标轴交点求方程的解例题：（2022·四川·西昌市川兴中学八年级阶段练习）如图，已知直线，则方程的解等于（

）A．0 B．2 C．4 D．1【变式训练】1．（2022·山东·夏津县万隆实验中学八年级阶段练习）直线过点（2，0）和点（0，），则关于x的方程的解是___________．2．（山东省济南市高新区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）一次函数的图像如图所示，则方程的解是___________．3．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，直线AB是一次函数的图象，若关于x的方程的解是，则直线AB的函数关系式为_________．考点五由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点例题：（2022·四川·江油外国语学校八年级期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为_____．【变式训练】1．（2021·湖北·思源实验学校八年级阶段练习）已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是______．2．（2022·山东滨州·八年级期末）已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为___________．考点六利用图象法解一元一次方程例题：（2022·辽宁·辽阳市第二十六中学九年级阶段练习）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是___________.【变式训练】1．（2022·广东·吴川市第一中学八年级期末）如图，一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3），则关于x的方程的解是_____．2．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）已知一次函数y＝﹣x+2．(1)求该直线与坐标轴的交点坐标；(2)画出一次函数的图象；(3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为．考点七由直线与坐标轴的交点求不等式的解集例题.（2022·山东省临邑县宿安中学八年级阶段练习）如图，一次函数，的图象经过、两点，则关于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）如图，直线与轴的交点坐标是，则时，的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海奉贤·九年级阶段练习）如图，直线与x轴交于点，那么不等式的解集为_____．3．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象解决下列问题：(1)求方程的解；(2)求不等式＜0的解集；(3)若，求y的取值范围．考点八根据两条直线的交点求不等式的解集例题：（2022·安徽安庆·八年级期中）如图，一次函数与一次函数的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式的解集是（）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·安徽合肥·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式组的解集是D．方程组的解是2．（2022·江苏·如皋市石庄镇初级中学八年级阶段练习）如图，直线和交于点，直线交x轴于点，那么不等式组的解集是_____．3．（2022·安徽·凤阳县大溪河中学八年级阶段练习）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点．(1)求n和k的值；(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．一、选择题1．（2022·浙江·杭州外国语学校九年级期中）函数和的图象交于点，则不等式的解集为()A． B． C． D．2．（2022·全国·八年级单元测试）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（

）A． B． C． D．3．（2022·山东省平邑赛博中学八年级期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，一次函数和的图象如图所示，则二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．5．（2022·重庆市潼南区教育科学研究所八年级期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n<0；③方程的解是x＝1；④不等式的解集是x＞0；⑤不等式的解集是x≤-2．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．（2022·山东济南·八年级期中）如图，直线（）过点，则关于的方程的解为___________；7．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，直线交坐标轴于，，当时，y的取值范围是________．8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，直线与直线交于点，则方程的解为______．9．（2021·山东师范大学第二附属中学八年级期中）如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为_________．10．（2022·四川·渠县东安雄才学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线（k，b是常数，）与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为________．三、解答题11．（2022·全国·八年级专题练习）已知直线和直线，(1)当时，与相交于一点，这个点的坐标是；(2)当时，，此时方程组的解的情况是；(3)当时，与重合，此时方程组的解的情况是．12．（2022·甘肃酒泉·八年级期中）在平面直角坐标系中作出函数的图象，根据图象回答下列问题：(1)方程的解为；(2)时，的取值范围是．13．（2022·安徽合肥·八年级期中）如图，直线AB：与坐标轴的交点分别为，，直线与坐标轴交于C，D两点．(1)求直线AB与直线的交点E的坐标．(2)直接写出不等式的解集．(3)求四边形的面积．14．（2022·安徽省安庆市外国语学校八年级期中）如图所示，直线：，过点，交y轴于点B，将直线向上平移6个单位得到直线与y轴交于点C，已知直线：与直线交于点D，且过点C，连接．(1)求直线的解析式和点D的坐标；(2)直接写出关于x的不等式的解集；(3)求的面积．专题23一次函数与二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式考点一两直线的交点与二元一次方程组的解考点二图象法解二元一次方程组考点三求直线围成的图形面积考点四已知直线与坐标轴交点求方程的解考点五由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点考点六利用图象法解一元一次方程考点七由直线与坐标轴的交点求不等式的解集考点八根据两条直线的交点求不等式的解集考点一两直线的交点与二元一次方程组的解例题：（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期中）已知函数与的交点坐标为，则方程组的解为______．【答案】##【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标为两个函数解析式组成的方程组的解，即可得出答案．【详解】解：方程组可变为：，函数与的交点坐标为，方程组的解为：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是掌握两个一次函数图象的交点坐标与两个函数解析式组成的方程组的解之间的关系．【变式训练】1．（2022·山东省临邑县宿安中学八年级阶段练习）已知直线与的交点为，则方程组的解是___________．【答案】【分析】由两个一次函数的交点坐标同时满足两个一次函数的解析式，从而可得方程组的解．【详解】∵方程组的解是直线与的交点的交点坐标，∴方程组，即的解是．故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数图像的交点坐标与方程组的解的联系，掌握“两个一次函数的交点坐标是由函数解析式组成的方程组的解”是解本题的关键．2．（2022·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）如果直线与直线的交点坐标是，则方程组的解是____________．【答案】【分析】根据两条直线的交点坐标应该是，联立两个一次函数解析式所组方程组的解，即可直接得到答案．【详解】解：∵直线与直线的交点坐标是，∴方程组的解是，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握一次函数与方程组的关系．考点二图象法解二元一次方程组例题：（2022·陕西·无八年级期中）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．【详解】解：根据函数图可知，直线与交点的横坐标为1，把代入，可得，可变形为，可变形为，故关于x、y的二元一次方程组的解为，故选：C．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．【变式训练】1．（2022·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可．【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2），∴方程组的解是，故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．2．（2022·山东·夏津县万隆实验中学八年级阶段练习）如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=mx+n相交于点P（2，4），则关于x，y的方程组的解为___________．【答案】##【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两函数的交点，从而得到答案．【详解】与相交于点，关于x，y的方程组的解为，故答案为．【点睛】此题主要考察了二元一次方程组和一次函数的关系，掌握方程组的解就是两函数交点这一规律是此题的解题关键．3．（2022·江西·赣州市赣县区思源实验学校八年级期末）如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为__________．【答案】【分析】根据函数的图像即可得．【详解】解：由图像得，两直线相交于点（2，3），∴方程组的解为：，故答案为：．【点睛】本题考查了函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是掌握函数的图像．考点三求直线围成的图形面积例题：（2022·江西·南城县教育体育事业发展中心八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，与轴交于点，经过点的另一直线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．(1)求点的坐标及直线的解析式；(2)求四边形的面积．【答案】(1)点的坐标为，(2)【分析】（1）待定系数法求得直线的解析式为：，继而求得点的坐标，待定系数法求解析式求得的解析式；（2）过点作，垂足为，根据即可求解．【详解】（1）解：把代入得，，解得：，直线的解析式为：，当时，，点的坐标为，把点代入得，，解得：，点的坐标为，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，直线的解析式为：；（2）过点作，垂足为，点的坐标为，，，，，，，，，四边形的面积为．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求三角形面积，数形结合是解题的关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市第三中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AC交轴于点，交直线于点，有一动点M在线段和线段上运动．(1)求直线的表达式．(2)分别求出与的面积．(3)是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出点M的坐标．【答案】(1)(2)，(3)存在，或【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求利用三角形的面积公式即可求解；（3）当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．【详解】（1）解：设直线的关系式为，将代入中得：，①代入②得，∴；（2）解：，当时，，∴，∴，∴；（3）解：设直线的关系为，将代入得，∴解析式为：，设的横坐标为∵，∴，∴，∴，又∵M在线段和线段，∴，当时，代入得：，当时，代入，得，∴或．【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法、坐标与图形等知识，利用面积求出M点横坐标再分别求解是解题关键．2．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点、，的图象与轴，轴分别交于点、，且两个函数图象相交于点．(1)填空：______，______；(2)求的面积；(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)点在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．【答案】(1)，(2)(3)存在的坐标为(4)，【分析】（1）根据一次函数，相交于点，将点戴如意解析式，解方程组即可求解；（2）先求得的坐标，求得的长，继而根据三角形面积公式即可求解；（3）根据的面积与四边形的面积比为，求得，即可就得点的坐标，（4）当点在线段上时，是锐角，若是直角三角形，则或，分类讨论，即可求解．【详解】（1）∵一次函数，相交于点．∴解得；（2）一次函数，令，得，令，得，∴，∴一次函数中，当，∴∴，∴即的面积为；（3）存在一点，使得的面积与四边形的面积比为则，∴，即，∴，∴，即的坐标为；（4）当点在线段上时，是锐角，若是直角三角形，则或①当时，∴轴∵∴②如图，当时∵，，∴，设则，∵是直角三角形，，∴∴解得∴综上所述，点的坐标为，．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，直线围成的三角形的面积，掌握一次函数的性质是解题的关键．考点四已知直线与坐标轴交点求方程的解例题：（2022·四川·西昌市川兴中学八年级阶段练习）如图，已知直线，则方程的解等于（

）A．0 B．2 C．4 D．1【答案】A【分析】观察图形可直接得出答案．【详解】解：根据图形知，当y=-1时，x=0，即ax+b=-1时，x=0．∴方程ax+b=-1的解x=0，故选A．【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法．【变式训练】1．（2022·山东·夏津县万隆实验中学八年级阶段练习）直线过点（2，0）和点（0，），则关于x的方程的解是___________．【答案】【分析】一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标是（2，0），∴关于x的方程的解是x=2．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．2．（山东省济南市高新区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题）一次函数的图像如图所示，则方程的解是___________．【答案】【分析】根据一次函数图像可知，当时，即一次函数图像与轴的交点，由此即可求解．【详解】解：根据题意得，当时，一次函数图像与轴的交点是，∴方程的解是，故答案是：．【点睛】本题主要考查一次函数图像与坐标轴的交点，根据一次函数图像在坐标轴中与轴，轴的交点即可求解一次函数的解析式，解决本题的关键是理解一次函数图像与轴，轴的交点．3．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，直线AB是一次函数的图象，若关于x的方程的解是，则直线AB的函数关系式为_________．【答案】【分析】将代入进行求解即可得到解答．【详解】解：∵的解是，∴将其代入得，解得，∴直线AB的函数关系式为，故答案为：．【点睛】本题考查了求解一次函数，将代入已知方程进行求解是解决本题的关键．考点五由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点例题：（2022·四川·江油外国语学校八年级期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为_____．【答案】（−2，0）【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标．【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0，∴ax−b＝1，∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0），故答案为：（−2，0）．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【变式训练】1．（2021·湖北·思源实验学校八年级阶段练习）已知方程的解是，则函数与轴的交点坐标是______．【答案】【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系交点坐标即可．【详解】解：方程的解是，函数与轴的交点坐标是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确把握方程与函数之间的关系是解题关键．2．（2022·山东滨州·八年级期末）已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为___________．【答案】（-5，0）【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可．【详解】解：∵关于的方程的解为，∴一次函数的图象与轴交点的坐标为（-5，0），故答案为：（-5，0）．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．考点六利用图象法解一元一次方程例题：（2022·辽宁·辽阳市第二十六中学九年级阶段练习）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是___________.【答案】【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．【详解】解：直线与相交于点，，，，当时，，关于的方程的解是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．【变式训练】1．（2022·广东·吴川市第一中学八年级期末）如图，一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3），则关于x的方程的解是_____．【答案】x=1【分析】根据已知得到两函数的交点P的坐标，然后利用两个一次函数图像的交点的横坐标就是方程的解，即可解答．【详解】解：∵一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3）∴关于x的方的解是．故答案为：．【点睛】本题主要考查两个一次函数的交点与一元一次方程的解的关系，两个一次函数的交点的横坐标即为对应一元一次方程的解．2．（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）已知一次函数y＝﹣x+2．(1)求该直线与坐标轴的交点坐标；(2)画出一次函数的图象；(3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为．【答案】(1)与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴的交点坐标为（0，2）(2)见解析(3)x=4．【分析】（1）分别令x=0和y=0即可求出与y轴和x轴的坐标；（2）根据（1）中结果即可画出图象；（3）直接根据图象解答即可．（1）解：当x=0时，y＝0+2=2，∴与y轴的交点坐标为（0，2）．当y=0时，0＝﹣x+2，∴x=4，∴与x轴的交点坐标为（4，0）．（2）解：如图，（3）解：图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为x=4．故答案为：x=4．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数图象，以及利用函数图象解方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．考点七由直线与坐标轴的交点求不等式的解集例题.（2022·山东省临邑县宿安中学八年级阶段练习）如图，一次函数，的图象经过、两点，则关于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式表示的含义是：一次函数图象在x轴下方部分所对自变量x的取值范围，结合图象即可作答．【详解】∵一次函数，的图象经过、两点，如图，∵不等式表示的含义是：一次函数的图象在x轴下方部分所对自变量x的取值范围，∴结合图象可知：的解集为：，故选：B．【点睛】此题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的图象及性质与一元一次不等式的解集的关系是解决此题的关键．解答此类题目时要注意数形结合的思想．【变式训练】1．（2022·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）如图，直线与轴的交点坐标是，则时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察函数图象可知：y随x的增大而增大，结合直线与x轴交于点，即可得出当时x的取值范围．【详解】解：观察函数图象，可知：y随x的增大而增大．∵直线与x轴交于点，∴当时，．故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，观察函数图象，找出y随x的增大而增大是解题的关键．2．（2022·上海奉贤·九年级阶段练习）如图，直线与x轴交于点，那么不等式的解集为_____．【答案】【分析】利用数形结合即可得出结论．【详解】解：∵直线与x轴交于点，∴关于x的不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．3．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并利用图象解决下列问题：(1)求方程的解；(2)求不等式＜0的解集；(3)若，求y的取值范围．【答案】(1)图见解析，x=2(2)(3)【分析】（1）令求得一次函数与坐标轴的交点坐标，过两点作出函数图象即可，结合函数图象即可求解；（2）根据一次函数与轴的交点坐标，结合函数图象即可求解；（3）分别求得与时的函数值，然后根据函数图象即可求解．（1）解：当时，当时，，在坐标系中画出的图象，如图，∵与轴的交点坐标为，∴方程的解为：；（2）根据函数图象可知，当时，＜0，∴不等式＜0的解集为：（3）∵时，，当时，，根据函数图象可知，随的增大而减小，∴当时，．【点睛】本题考查了画一次函数，根据一次函数与坐标轴的交点，求不等式的解集，求一次函数的值，数形结合是解题的关键．考点八根据两条直线的交点求不等式的解集例题：（2022·安徽安庆·八年级期中）如图，一次函数与一次函数的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式的解集是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由图象可知当时，，整理后得到，即可得到答案．【详解】解：由图象可知当时，，则，即，∴关于x的不等式的解集是．故选：C．【点睛】此题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．【变式训练】1．（2022·安徽合肥·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式组的解集是D．方程组的解是【答案】D【分析】A．根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，正确；B．根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，正确；C．把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，正确；D．根据方程组的解才是，得到此结论错误．【详解】A．∵直线与直线相交于点，∴方程的解是，∴此结论正确，不符合题意；B．∵不等式的解集是，不等式的解集是，∴不等式和不等式的解集相同，∴此结论正确，不符合题意；C．把代入，得，，解得，，∴，∴时，，∴不等式的解集是，∵不等式的解集是，∴不等式组的解集是，∴此结论正确，不符合题意；D．∵方程组的解才是，∴此结论错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数，解决问题的关键是熟练掌握一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式（组）的关系．2．（2022·江苏·如皋市石庄镇初级中学八年级阶段练习）如图，直线和交于点，直线交x轴于点，那么不等式组的解集是_____．【答案】【分析】根据图象，找出直线和的交点坐标和直线交x轴的交点坐标，即可解答．【详解】解：由图可知：当时，，当时，，∴当时，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据一次函数交点坐标以及与坐标轴的交点，求解不等式的解集，解题的关键是具有数形结合的思想．3．（2022·安徽·凤阳县大溪河中学八年级阶段练习）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点．(1)求n和k的值；(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．【答案】(1)，(2)P(3)【分析】（1）把点C代入解析式中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入中，即可求出k的值；（2）先根据解析式可求出点A和点B的值，进而可求出的面积，则可求出的面积和的面积，过点P作x轴的垂线，表示出的面积，建立方程即可；（3）根据图象即可求得．【详解】（1）把点C代入解析式中，得，∴C，把点C的坐标代入中，则，解得；（2）∵直线分别与x，y轴交于点A、B，∴A，B，过点C作轴于点M，∴，∴，∴，∵点P在射线上，∴，过点P作轴于点N，∴，∴，∴，令，则，解得，∴P；（3）由图象可知，不等式的解集为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，解题的关键是运用数形结合思想．一、选择题1．（2022·浙江·杭州外国语学校九年级期中）函数和的图象交于点，则不等式的解集为()A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后观察函数图得到当时，的图象都在直线的上方，由此得到不等式的解集．【详解】解：把代入得，解得，所以A点坐标为，把代入得解得如图，∴当时，．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．2．（2022·全国·八年级单元测试）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于x的方程的解．【详解】解：当时，，解得，则，当时，，关于的方程的解为，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键．3．（2022·山东省平邑赛博中学八年级期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象求得交点坐标，根据直线的图象位于直线图象的上方，即可求解．【详解】由题意可知：直线与直线相交于，结合函数图象可知当时，直线的图象位于直线图象的上方，即关于的不等式的解集为：．故选A．【点睛】本题考查了根据两直线交点坐标求不等式的解集，数形结合是解题的关键．4．（2022·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，一次函数和的图象如图所示，则二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是两函数组成的方程组的解．【详解】解：∵一次函数y=kx和y=-x+3的图象交于点（1，2），∴二元一次方程组的解为．故选：A．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系．5．（2022·重庆市潼南区教育科学研究所八年级期末）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n<0；③方程的解是x＝1；④不等式的解集是x＞0；⑤不等式的解集是x≤-2．其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤．【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，∴，故①正确；∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于（-1，0），∴，方程的解是x＝-1，故②正确，③不正确；由函数图象可知不等式的解集是x＞0，故④正确；由函数图象可知，不等式的解集是x≥-2，故⑤不正确；∴正确的一共有3个，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式，熟知一次函数的性质是解题的关键．二、填空题6．（2022·山东济南·八年级期中）如图，直线（）过点，则关于的方程的解为___________；【答案】【分析】方程的解就是当时一次函数与轴的交点横坐标．【详解】解：方程的解，即为函数图像与轴交点的横坐标，∵直线过，∴方程的解是，故答案为：．【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为（为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图像上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．7．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）如图，直线交坐标轴于，，当时，y的取值范围是________．【答案】【分析】根据图象可知：当时，图象在y轴的右侧，此时，即可得解．【详解】解：根据图象可知：当时，图象在y轴的右侧，∵,∴y的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查一次函数取值范围问题，属于基础题，利用数形结合思想判断是解题关键．8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，直线与直线交于点，则方程的解为______．【答案】【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系即可确定．【详解】解：根据题意，可得的解为，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是熟练掌握两者之间的关系．9．（2021·山东师范大学第二附属中学八年级期中）如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为_________．【答案】【分析】首先利用得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．【详解】解：∵直线经过点，∴，解得，∴，∴关于，的方程组的解为：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解．10．（2022·四川·渠县东安雄才学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线（k，b是常数，）与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为________．【答案】【分析】根据题意，可知当时，，然后再观察函数图像，即可写出不等式的解集．【详解】解：由图像可得，关于x的不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题11．（2022·全国·八年级专题练习）已知直线和直线，(1)当时，与相交于一点，这个点的坐标是；(2)当时，，此时方程组的解的情况是；(3)当时，与重合，此时方程组的解的情况是．【答案】(1)；，(2)，；无解(3)，；方程有无数个解【分析】（1）若两条直线有交点，那么它们的倾斜程度是不相等的，故可得，令值相等即可求出的值，从而也可以求出的值；（2）若两条直线平行，那么它们的倾斜程度必然是相等的，且，此