新课标人教版成都市崇州市九年级上期末数学试卷含答案解析初三数学学案

四川省成都市崇州市20152016学年九年级（上）期末数学试卷

（解析版）

一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分）

1.反比例函数y=-上的图象在（）

x

A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限

2.如果两个相似三角形对应边的比为2：3,那么这两个相似三角形面积的比是（）

A.2：3B.V2：V3C.4：9D.8：27

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（）

主视图左视图

©

俯视图

AB・C-D-

4.已知反比例函数y=K的图象经过点（3,2）,那么下列四个点中，也在这个函数图象上

X

的是（）

A.(3,-2)B.(-2,-3)C.(1,-6)D.(-6,1)

5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）

A.x2-8=0B.2x2-4x+3=0C.9x2-6x+l=0D.5x+2=3x2

6.已知两点A（4,6）,B（6,2）,以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩

小为原来的之后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为（）

A.（2,3）B.（3,1）C.（2,1）D.（3,3）

7.若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=k在同一坐标系中的大致图象可能是（）

8.如图，点P是口ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的

三角形有()

A.0对B.1对C.2对D.3对

9.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元.设平均每次降价的百分

率为x,根据题意可列方程为()

A.200(1-x)2=162B.200(1+x)2=162C.162(1+x)2=200D.162(1-x)2=200

10.将抛物线y=x2+l先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，那么所得到的抛物线的

函数关系式是()

A.y=(x+2)2+3B.y=(x+2)2-3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3

二、填空题(本题4个小题，每小题4分，共16分)

11.如果1一与那么二二B的值等于____.

53a+b

12.在Rt/XABC中，若/C=90°,BC=1,AC=2,tanB=.

13.如图，点P是反比例函数y=-上图象上一点,PMLx轴于M,则△POM的面积为

X

14.如图，ZXABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE〃AC.若BD=4,DA=2,BE=3,

贝UEC=

B

E

三、解答题（15题每小题12分，16题6分，共18分）

15.（12分）（2015秋•崇州市期末）⑴解方程：x?-2x-3=0

（2）计算：（兀-，北）°+（［）1-^27-tan60".

16.已知：如图，ZXABC中，AD=DB,Z1=Z2.求证：AABC^AEAD.

四、解答题

17.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB,且点A,B,C在同一条直线上，小红在D处

观测旗杆顶部A的仰角为47。，观测旗杆底部B的仰角为42。已知点D到地面的距离DE为

1.56m,EC=21m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）.参考数

据：tan47嗅1.07,tan42°«0.90.

EC

18.有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B,游戏规定：转动两个转盘各一次,

指向大的数字获胜.

（1）用树状图或列表格列出两个转盘转出的所有可能出现的结果；

（2）如果由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？

五、解答题（19题10分，20题10分，共20分）

19.（10分）（2015秋•崇州市期末）如图，已知反比例函数y=—与一次函数y=x+b的图

形在第一象限相交于点A（1,-k+4）.

（1）试确定这两函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求AAOB的面积;

（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.

20.（10分）（2015秋•崇州市期末）如图，在AABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点

P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s

的速度向A点运动.设运动时间为x（s）.

（1）当x为何值时，PQ〃:BC；

（2）当AAPQ与ACQB相似时，AP的长为；

（3）当SABCQ：SAABC=1：3,求SAAPQ：S^ABQ的值.

一、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分）

21.已知a、b是方程x2-2015x+l=0的两根，则a2-2014a+b的值为.

22.甲乙两人玩猜数字游戏，规则如下：有四个数分别为1,2,3,4,先由甲在心中任想

其中一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b.若|a-b|Wl,

则称甲乙“心有灵犀现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀"的概率为.

23.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出以下四个结论：①abc=0；②a+b+c

>0；③a>b；④4ac-b2co.其中正确结论有.

24.如图，点A(m,2),B(5,n)在函数y=k(k>0,x>0)的图象上，将该函数图

x

象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A，、B'.图中阴影部

分的面积为8,则k的值为

25.如图，正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3,点F是边BC上不与点B,

C重合的一个动点，把4EBF沿EF折叠，点B落在B，处.若ACDB，恰为等腰三角形，则

DB，的长为

二、解答题

26.某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克〜60千

克之间(含20千克和60千克)时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种

蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元.

(1)根据题意，填写如表：

蔬菜的批发量

...25607590...

(千克)

所付的金额（元）...125300...

（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是

一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；

（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定

为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？

27.（10分）（2015•天津）将一个直角三角形纸片ABO,放置在平面直角坐标系中，点A

（炳,0）,点B（0,1）,点0（0,0）.过边OA上的动点M（点M不与点O,A重合）

作MNLAB于点N,沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A'设OM=m,折叠后的

△AM，N与四边形OMNB重叠部分的面积为S.

（I）如图①，当点A，与顶点B重合时，求点M的坐标；

（II）如图②，当点A一落在第二象限时，A，M与OB相交于点C,试用含m的式子表示

S；

28.（12分）（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c（aWO）的顶

点为B（2,1）,且过点A（0,2）,直线y=x与抛物线交于点D,E（点E在对称轴的右

侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EFLx轴，垂足为F,点P在抛

物线上，且位于对称轴的右侧，PQJ_x轴，垂足为点Q,APCQ为等边三角形

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求点P的坐标；

(3)求证：CE=EF；

(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使ACQU与4CPE全等？若存在,

试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.[注：3+2&=(、历+1)2].

20152016学年四川省成都市崇州市九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分）

1.反比例函数y=-工的图象在（）

x

A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限

【考点】反比例函数的性质.

【分析】根据反比例函数y=K（kWO）的图象是双曲线；当k>0,双曲线的两支分别位于

x

第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0,双曲线的两支分别位于第

二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行解答.

【解答】解：：k=-l,

图象在第二、四象限，

故选：C.

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数图象的性质.

2.如果两个相似三角形对应边的比为2：3,那么这两个相似三角形面积的比是（）

A.2：3B.我：yC.4：9D.8：27

【考点】相似三角形的性质.

【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解.

【解答】解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2=4：9.

故选C.

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解.

（1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（）

主视图左视图

俯视图

B.C,D.盲

WL…ki二J

【考点】由三视图判断几何体.

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【解答】解：由主视图和左视图可得此几何体上面为台，下面为柱体，

由俯视图为圆环可得几何体为冒.

故选D.

【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象

能力方面的考查.

4.已知反比例函数y=K的图象经过点（3,2）,那么下列四个点中，也在这个函数图象上

x

的是（）

A.（3,-2）B.（-2,-3）C.（1,-6）D.（-6,1）

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断.

【解答】解：把（2,3）代入反比例解析式得：k=6,

二反比例解析式为y=2,

x

则（-2,-3）在这个函数图象上，

故选B.

【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）

A.x2-8=0B.2x2-4x+3=0C.9x2-6x+l=0D.5x+2=3x2

【考点】根的判别式.

【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的根的判别式，进而作出判断.

【解答】解：A、x2-8=0,△=32>0,方程有两个不相等的实数根，此选项错误；

B、2X2-4X+3=0,△=42-4X2X3=-8<0,方程没有实数根，此选项错误；

C、9x2-6x+l=0,△=(-6)2-4X9Xl=0,方程有两个相等的实数根，此选项正确；

D、5X+2=3X2=,△(-5)2-4X3X(-2)=49>0,方程有两个不相等的实数根，此选项

错误；

故选C.

【点评】本题考查了根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

(1)AAOe方程有两个不相等的实数根；

(2)△力。方程有两个相等的实数根；

(3)△<0。方程没有实数根.

6.已知两点A(4,6),B(6,2),以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩

小为原来的二后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()

2

A.(2,3)B.(3,1)C.(2,1)D.(3,3)

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【分析】由两点A(4,6),B(6,2),以原点0为位似中心，在第一象限内将线段AB

缩小为原来的《后得到线段CD,根据位似的性质，即可求得答案.

2

【解答】解：：A(4,6),以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的

寺后得到线段CD,

...点A的对应点C的坐标为：(2,3).

故选A.

【点评】此题考查了位似变换的性质.注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为

位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

7.若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=k在同一坐标系中的大致图象可能是()

【考点】反比例函数的图象；正比例函数的图象.

【分析】根据ab<0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0,b<0和a<0,

b>0两方面分类讨论得出答案.

【解答】解：:abVO,.♦.分两种情况：

(1)当a>0,b<0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图

象在第二、四象限，无此选项；

(2)当a<0,b>0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、

三象限，选项B符合.

故选B.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性

质才能灵活解题.

8.如图，点P是口ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的

【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质.

【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃DC,AD〃BC,

.-.△EAP^AEDC,AEAP^ACBP,

/.△EDC^ACBP,

故有3对相似三角形.

故选：D.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的

判定方法是解题关键.

9.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元.设平均每次降价的百分

率为x,根据题意可列方程为()

A.200(1-x)2=162B.200(1+x)2=162C.162(1+x)2=200D.162(1-x)2=200

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【分析】此题利用基本数量关系：商品原价X(1-平均每次降价的百分率)=现在的价格,

列方程即可.

【解答】解：由题意可列方程是：200X(1-x)2=168.

故选A.

【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价X(1-平均每次降价的

百分率)=现在的价格.

10.将抛物线y=x2+l先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，那么所得到的抛物线的

函数关系式是()

A.y=(x+2)2+3B.y=(x+2)2-3C.y=(x-2)2+3D.y=(x-2)2-3

【考点】二次函数图象与几何变换.

【分析】根据平移规律："左加右减，上加下减"，直接代入函数解析式求得平移后的函数解

析式.

【解答】解：抛物线y=x2+l先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得

y=(x+2)2-3,

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加

下减.并用规律求函数解析式.

二、填空题(本题4个小题，每小题4分，共16分)

11.如果卷一之，那么二二回的值等于上.

53a+b

【考点】比例的性质.

【分析】根据比例的性质，可用b表示a,根据分式的性质，可得答案.

【解答】解：由晟=£,得2=拶.

5b2b

,--kb—

当2=生时，=2-----

3a+b5bM8b4

33

故答案为：-y.

4

【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，分式的性质.

12.在RtZ\ABC中，若NC=90°,BC=1,AC=2,tanB=2.

C

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】由正切的定义可知tanB=黑，代入计算即可.

BC

【解答】解：；NC=90。，AC=4,BC=2,

.-.tanB=—=—=2,

BC1

故答案为：2.

【点评】本题主要考查三角函数的定义，掌握正切的定义是解题的关键.

13.如图，点P是反比例函数y=-2图象上一点，PMJ_x轴于M,则△POM的面积为1

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值|k|,APOD

的面积为矩形面积的一半，即兴

【解答】解：由于点P是反比例函数y=-2图象上的一点，

所以APOD的面积S得k|得-2|=1.

故答案为：L

【点评】主要考查了反比例函数y=k中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y

x

轴垂线，所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点.这里体现了数形结合的思想，做

此类题一定要正确理解k的几何意义.

14.如图，ZkABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE〃AC.若BD=4,DA=2,BE=3,

则EC=].

【考点】平行线分线段成比例.

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可直接求解.

【解答】解：VDE/7AC,

•BDBE

••—，

ADEC

即宜具，

2EC

解得：EC=4.

2

故答案为:

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是解题的关键.

三、解答题（15题每小题12分，16题6分，共18分）

15.（12分）（2015秋•崇州市期末）⑴解方程：x2-2x-3=0

（2）计算：（H-«）°+4）-1--727-tan60°.

【考点】实数的运算；解一元二次方程因式分解法.

【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可；

（2）原式利用零指数幕、负整数指数幕，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

【解答】解：（1）分解得：（x-3）（x+1）=0,

可得X-3=0或x+l=O,

解得：xi=3,x2=-1；

（2）原式=1+2-373-近=3-4T.

【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是

解本题的关键.

16.已知：如图，/XABC中，AD=DB,Z1=Z2.求证：△ABCsz^EAD.

【考点】相似三角形的判定.

【分析】根据相似三角形的判定，解题时要认真审题，选择适宜的判定方法.

【解答】证明：VAD=DB,

/.ZB=ZBAD.

ZBDA=Z1+ZC=Z2+ZADE,

又：/l=N2,

；.NC=/ADE.

/.△ABC^AEAD.

【点评】此题考查了相似三角形的判定：

①有两个对应角相等的三角形相似；

②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；

③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.

四、解答题

17.如图，某建筑物BC顶部有一旗杆AB,且点A,B,C在同一条直线上，小红在D处

观测旗杆顶部A的仰角为47。，观测旗杆底部B的仰角为42。已知点D到地面的距离DE为

1.56m,EC=21m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度（结果保留小数后一位）.参考数

据：tan47°^1.07,tan42°«0.90.

A

【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题.

【分析】根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度,

进而求得BC的高度.

【解答】解：根据题意得DE=1.56,EC=21,ZACE=90°,ZDEC=90°.

过点D作DF±AC于点F.

贝|J/DFC=9O°/ADF=47°,ZBDF=42°.

:四边形DECF是矩形.

.-.DF=EC=21,FC=DE=1.56,

AR

在直角ADFA中，tanNADF*£,

DF

AF=DF*tan47°^21X1.07=22.47(m).

在直角4DFB中，tan/BDF=更，

DF

.•.BF=DF»tan42°^21X0.90=18.90(m),

"3.6(m).

BC=BF++心20.5(m).

答：旗杆AB的高度约是3.6m,建筑物BC的高度约是20.5米.

【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角

三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解.

18.有两个构造完全相同（除所标数字外）的转盘A、B,游戏规定：转动两个转盘各一次,

指向大的数字获胜.

（1）用树状图或列表格列出两个转盘转出的所有可能出现的结果；

（2）如果由你和小明各选择一个转盘游戏，你会选择哪一个，为什么？

【考点】列表法与树状图法.

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）由转盘A获胜的有5种情况，转盘B获胜的有4种情况，即可求得其概率，继而求得

答案.

【解答】解：（1）画树状图得：

259

ZK/1\ZN

348348348

则共有9种等可能的结果；

（2）选择转盘A.

理由：：转盘A获胜的有5种情况，转盘B获胜的有4种情况，

/.P（转盘A）=-,P（转盘B）=—,

99

••.选择转盘A.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

五、解答题（19题10分，20题10分，共20分）

19.（10分）（2015秋•崇州市期末）如图，已知反比例函数y=K'与一次函数y=x+b的图

x

形在第一象限相交于点A（1,-k+4）.

（1）试确定这两函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求AAOB的面积;

（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】（1）根据反比例函数丫二三与一次函数y=x+b的图形在第一象限相交于点A（1,

x

-k+4）,可以求得k的值，从而可以求得点A的坐标，从而可以求出一次函数丫=*+1）中b

的值，本题得以解决;

（2）将第一问中求得的两个解析式联立方程组可以求得点B的坐标，进而可以求得AAOB

的面积;

（3）根据函数图象可以解答本题.

【解答】解；（1）...反比例函数y=K与一次函数y=x+b的图形在第一象限相交于点A（1,

X

-k+4),

-

k+4=牛,

解得，k=2,

.•.点A(1,2),

2=1+b,得b=l,

即这两个函数的表达式分别是：尸2,y=x+l;

X

2

y=—

(2)X

y=x+l

x二一2x=l

解得，尸或

y=2

即这两个函数图象的另一个交点B的坐标是（-2,-1）；

将y=0代入y=x+l,得x=-1,

.-.OC=|-1|=1,

1X2,1X13

•'•SAOB=SAAOC+SABOC=-

A2F7

即AAOB的面积是系

2

（3）根据图象可得反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围是x<-2或0<x<l.

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题.

20.（10分）（2015秋•崇州市期末）如图，在ZiABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点

P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s

的速度向A点运动.设运动时间为x（s）.

（1）当x为何值时，PQ〃:BC；

（2）当AAPQ与ACQB相似时，AP的长为殁cm或20cm；

9

（3）当S△BCQ：SAABC=1：3,求SAAPQ：S^ABQ的值.

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】（1）当PQ〃:BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP,PQ,AB,

AC的比例关系式，我们可根据P,Q的速度，用时间x表示出AP,AQ,然后根据得出的

关系式求出x的值.

（2）本题要分两种情况进行讨论.已知了NA和NC对应相等，那么就要分成AP和CQ

对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；

（3）当SABCQ：SAABC=1：3时，察=1,于是得到翳三，通过相似三角形的性质得到

AvJcy1

券茶=2,即可得到结论.

PDCQ

【解答】解：（1）由题意得，PQ平行于BC,贝l|AP：AB=AQ：AC,AP=4x,AQ=30-3x

.4X_30-3X

,■20一―30~

(2)假设两三角形可以相似，

情况1：当△APQs/^CQB时，CQ：AP=BC：AQ,

即后3x20铲，汨10

即有--=^7一丁角牛得X=—,

4x30-3x9

经检验，x=¥是原分式方程的解.

40

止匕时AP=—cm,

9

情况2：当△APQs/^CBQ时，CQ：AQ=BC：AP,

3x"=5,

即有•

30-3x

经检验，x=5是原分式方程的解.

此时AP=20cm.

综上所述，AP=-^cm或AP=20cm；

故答案为：奇~cm或20cm；

(3)当S^BCQ：SAABC=1：3时，*=;,

AvJ

.AQ2

CQ1

由(1)知,PQ〃BC,

.,.△APQ^AABC,

.APAQ0

PBCQ

.•SAAPQ：SAABQ=2.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是

解题的关键.

一、填空题(本题共5个小题，每小题4分，共20分)

21.已知a、b是方程x2-2015x+l=0的两根，则a2-2014a+b的值为2014

【考点】根与系数的关系.

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-2015a=-1,a2=2015a-1,再根据根与系数

的关系得到a+b=2015,然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可.

【解答】解：：a是方程x2-2015x+l=0的根,

Aa2-2015a+l=0,

.■2-2015a=-1,a2=2015a-1,

Va,b是方程x2-2015x+l=0的两根,

.•.a+b=2015,

.'.a2-2014a+b=a2-2015a+a+b=-1+2015=2014；

故答案为：2014.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根与系数的关系：若方程的两根

为Xi，X2,则xi+x2=-k,XJX2=£.也考查了一元二次方程的解.

aa

22.甲乙两人玩猜数字游戏，规则如下：有四个数分别为1,2,3,4,先由甲在心中任想

其中一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b.若|a-b|Wl,

则称甲乙"心有灵犀现任意找两人玩这个游戏，得出他们"心有灵犀"的概率为

O

【考点】列表法与树状图法.

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与得出他们“心有

灵犀”的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

•••共有16种等可能的结果，得出他们"心有灵犀”的有10种情况，

得出他们“心有灵犀”的概率为：-77-=4-

168

故答案为：

8

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

23.如图，已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=O；②a+b+c

>0；③a>b；@4ac-b2<0.其中正确结论有①⑶⑷.

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】首先根据二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，可得c=0,所以abc=O；然后根据

x=l时，y<0,可得a+b+c<0；再根据图象开口向下，可得a<0,图象的对称轴为x=-?=

2a

-擀，所以b=3a,a>b；最后根据二次函数y=ax?+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△>(),

所以b2-4ac>0,4ac-b2<0,据此解答即可.

【解答】解：•.,二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，

.*.c=0,

.*.abc=O,故①正确；

Vx=l时，y<0,

a+b+c<0,故②不正确；

・・•抛物线开口向下，

•.•抛物线的对称轴是x=-3,

2

.b_3

••2a"2'

；・b=3a,

又■<(),b<0,

.-.a>b,故③正确；

二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，

.'.b2-4ac>0,4ac-b2<0,故④正确；

综上，可得正确结论有3个：①③④.

故答案为①③④.

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要

明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a

VO时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a

与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当a与b异号时(即abVO),对称轴在y轴

右.(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c).

24.如图，点A(m,2),B(5,n)在函数y=k(k>0,x>0)的图象上，将该函数图

X

象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A，、B\图中阴影部

【考点】反比例函数系数k的几何意义；平移的性质.

【分析】利用平行四边形的面积公式得出M的值，进而利用反比例函数图象上点的性质得

出k的值.

【解答】解：：将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点

分别为A，、B',图中阴影部分的面积为8,

.'.5-m=4,

.,.m=l,

.1.A(1,2),

.•.k=lX2=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了平移的性质和反比例函数系数k的几何意义，得出A点坐标是解

题关键.

25.如图，正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3,点F是边BC上不与点B,

C重合的一个动点，把4EBF沿EF折叠，点B落在B，处.若ACDB，恰为等腰三角形，则

DB，的长为16或4班.

E

工c

。FC

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【分析】根据翻折的性质，可得B，E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形

的判定，可得答案.

【解答】解：（i）当B，D=B，C时，

过B'点作GH//AD,则NB'GE=90°,

当BZC=BZD时，AG=DH=—DC=8,

2

由AE=3,AB=16,得BE=13.

由翻折的性质，得B，E=BE=13.

.\EG=AG-AE=8-3=5,

B，G=VByE2-EG2=V132-52=12-

.*.B'H=GH-B'G=16-12=4,

DB-VBZH2+DH2=V42+82=4VS

（ii）当DB，=CD时，则DB，=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）.

（iii）当CB，=CD时，

VEB=EBZ,CB=CBZ,

...点E、C在BB，的垂直平分线上，

.•.EC垂直平分BB，，

由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去.

综上所述，DB，的长为16或4遂.

故答案为：16或4娓.

D

【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定.

二、解答题

26.某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克〜60千

克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种

蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元.

（1）根据题意，填写如表：

蔬菜的批发量

...25607590...

（千克）

所付的金额（元）...125300300360...

（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是

一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式；

（3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定

为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？

【考点】二次函数的应用；一次函数的应用.

【分析】(1)根据这种蔬菜的批发量在20千克〜60千克之间(含20千克和60千克)时,

每千克批发价是5元，可得60X5=300元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折,

则90X5X0.8=360元；

(2)把点(5,90),(6,60)代入函数解析式y=kx+b(kWO),列出方程组，通过解方

程组求得函数关系式；

(3)利用最大利润=y(x-4),进而利用配方法求出函数最值即可.

【解答】解：(1)由题意知：

当蔬菜批发量为60千克时：60X5=300(元)，

当蔬菜批发量为90千克时：90X5X0.8=360(元).

故答案为：300,360；

(2)设该一次函数解析式为y=kx+b(k#0),把点(5,90),(6,60)代入，得

(5k+b=90

I6k+b=60

fk=-30

解得

lb=240

故该一次函数解析式为：y=-30x+240；

(3)设当日可获利润w(元)，日零售价为x元，由(2)知，

w=(-30x+240)(x-5X0.8)=-30(x-6)2+120,-30x+240275,即x<5.5,

当x=5.5时，当日可获得利润最大，最大利润为112.5元.

【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与x的函数关系式是

解题关键.

27.（10分）（2015•天津）将一个直角三角形纸片ABO,放置在平面直角坐标系中，点A

（、打，0），点B（0,1）,点0（0,0）.过边0A上的动点M（点M不与点0,A重合）

作MN1.AB于点N,沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A-设OM=m,折叠后的

△AM，N与四边形OMNB重叠部分的面积为S.

（I）如图①，当点A，与顶点B重合时，求点M的坐标；

（II）如图②，当点A，，落在第二象限时，A，M与OB相交于点C,试用含m的式子表示

S；

【分析】（I）根据折叠的性质得出BM=AM,再由勾股定理进行解答即可；

（口）根据勾股定理和三角形的面积得出^AMN,ACOM和aABO的面积，进而表示出S

的代数式即可；

（ni）把s=43代入解答即可.

24

【解答】解：（］）在Rt^ABO中，点A0）,点B（0,1）,点O（0,0）,

.*.OA=V3>OB=1,

由OM=m,可得：AM=OA-OM=J"^-m,

根据题意，由折叠可知△BMNgAAMN,

BM=AM=^/3-m,

在Rt^MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2,

可得：（\行-m）2=l+ir|2，解得

o

.•.点M的坐标为（逅，0）；

3

（II）在RL^ABO中，tan/OAB=^=L步,

0AV33

.\ZOAB=30°,

由MNJ_AB,可得：ZMNA=90°,

.•.在RtAAMN中，MN=AN・sin/OAB总-m）,

AN=AN«COSZOAB=^（畲-m），

SAAHN与N・AN=**（V5-m）2,

由折叠可知△A'MN以Z\AMN,则NA'=NOAB=30。，

ZA'MO=ZA'+ZOAB=60°,

在RtACOM中，可得CO=OM・tanNA'MO=«m,

S/kCOM专M'CO二号n）2，

SAABO*A,OB冬’

,,S=SAAB0-SAAMN_SAC0I^^-空