人教版高中数学精讲精练选择性必修二第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试（基础）（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第五章一元函数的导数及应用章末测试（基础）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2023春·新疆伊犁·高二统考期中）设，若，则（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】D【解析】.故选：D2．（2023秋·山东潍坊）函数在点处的切线的斜率是（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【解析】因为，所以函数在点处的切线的斜率是.故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，，∴所求的切线方程为，即.故选：D4．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）下列求导不正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】根据导数公式及求导运算法则，可判断A，C，D选项正确；对B选项，是常数，其导数是0，故B选项错误.故选：B.5．（2023春·陕西西安·高二期中）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．和【答案】C【解析】，令，得，所以函数的单调递减区间是.故选：C.6．（2023秋·陕西）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）

A．有2个极值点 B．在处取得极小值C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减【答案】C【解析】由题意及图得，在上单调递增，在上单调递减，∴有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确，故选：C.7．（2023·陕西渭南·高二统考期末）已知函数的定义域为，且其导函数在内的图像如图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（

）

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负，结合图象可知，函数在区间的极大值点只有.故选：C.8．（2023秋·青海西宁）已知直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设切点为，则，解得，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：A二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2023秋·江西）已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（

）

A．在上单调递减 B．在处取得极大值C．在处切线的斜率小于0 D．在处取得极小值【答案】AD【解析】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，A正确；不是极值，B错；由知C错；又时，，递减，时，，递增，所以是极小值，D正确．故选：AD．10．（2023秋·广东珠海）已知函数，则（

）A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点【答案】AD【解析】由题意，在中，定义域为，，∴为上的增函数，A正确；，∴为奇函数，B错误；∵当时，解得：，此时，∴斜率为0的切线为，不可能为直线，∴C错误；为上的增函数，，∴有唯一的零点，D正确.故选：AD.11．（2023秋·山东威海）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（

）

A．的单调递增区间是B．是的极小值点C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．是的极小值点【答案】ABC【解析】根据图象知当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．故A、C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误．故选：ABC．12．（山西省2024届高三上学期10月月考数学试题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数在上单调递增B．是函数的极值点C．过原点仅有一条直线与曲线相切D．若，则【答案】ACD【解析】对于A项，由已知可得，令，则.解可得，，所以在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，恒成立，即恒成立，所以函数在上单调递增，故选项A正确；对于B项，由A可知，在上单调递增，故B项错误；对于选项C，设切点的坐标为，根据导数的几何意义可知，切线的斜率，所以过的切线方程为.又切线经过原点，所以有，整理为.令，有，当时，，有；当时，，有.所以恒成立，函数单调递增.又由，，根据零点存在定理可得函数在区间内有且仅有一个零点.故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确；对于D选项，若，有，由函数单调递增，有，.令，有．令，有（当且仅当时取等号），可得恒成立，所以函数单调递增.又由，所以时，，，所以在上单调递减；时，，，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，所以，故成立，选项D正确．故选：ACD．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2023·安徽）已知函数在点处的切线与直线平行，则实数.【答案】【解析】由题设，则，故.故答案为：14．（2023春·四川绵阳·高二期末）过点作曲线的切线，则切线方程为．【答案】【解析】因为点不在曲线上，设切点，且，则，①又，则切线斜率为，②由①②解得，，所以，切线的斜率为，切线方程为，即.故答案为：.15．（重庆市西南大学附中、重庆育才中学拔尖强基联盟2024届高三上学期十月联考数学试题）写出一个同时具有下列两个性质的函数：．①的值域为；②当时，．【答案】【解析】由题意可得，函数在上单调递增，且最小值为，由指数函数在上单调递增且，将其向上平移2个单位可得，符合题意.故答案为：16．（2023秋·安徽）若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是．【答案】【解析】，则，函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，又，则，所以在区间上有解，所以，，令，，则，令，则在区间恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）已知函数的图象经过点．(1)求曲线在点A处的切线方程．(2)曲线是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．【解析】（1）依题意可得，则,∵，∴，∴曲线在点（1，5）处的切线方程为，即；（2）设过原点的切线方程为，则切点为，则,消去k，整理得，解得或，所以曲线存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为或．18．（2023春·北京丰台·高二统考期中）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极值．【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为(2)极大值16，极小值【解析】（1）函数的定义域为，导函数，令，解得，则，随的变化情况如下表：200取极大值取极小值故函数的单调增区间为和，单调减区间为;（2）由小问1知，当时，函数取得极大值16;当时，函数取得极小值．19．（2023春·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求在上的最值.【答案】(1)函数递增区间为和，递减区间为(2)最大值，最小值．【解析】（1）函数，．当或时，；当，故函数递增区间为和，递减区间为.（2）由(1)可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，，则在上的最大值，最小值．20．（2023秋·江苏常州）已知函数，其中．(1)若是函数的极值点，求的值；(2)若讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1），因为是函数的极值点，所以，解得，经检验，符合题意，故．（2），当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，令，解得或，当时，因为当时，当或时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，因为当时，当或时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，时，所以在上单调递减综上，当时在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．21．（2023秋·山西晋中）已知函数，当时，函数取得极值.(1)若在上为增函数，求实数m的取值范围；(2)若时，方程有两个根，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，则，因为时，取到极值，所以，解得.又当时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极值，符合题意.要使在上为增函数，则或，所以或.即实数的取值范围为.（2）令，由（1）得，且，故，，则，当时，令，解得，令，解得，所以的递增区间为，递减区间为，故，而，，故.要使有两个根，则.即实数的取值范围为.22．（2023秋·江苏常州）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若在上单调递增，求实数的取值范围；(3)当时，判断在零点的个数，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)仅有一个零点，理由见解析；【解析】（1）由可得，此时切线斜率为，而；所以切线方程为，即；即曲线在点处的切线方程为；（2）根据题