浙教版九年级下册《2.2 切线长定理》同步练习卷

浙教版九年级下册《2.2切线长定理》2024年同步练习卷一、选择题1．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（）A．35° B．45° C．60° D．70°2．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连接AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角（不包括∠PAB本身）有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝（）A．50cm B．25cm C．cm D．50cm4．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和点B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（）A．40° B．60° C．70° D．80°5．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（）A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC•PO6．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若AB＝10，BC＝4，则AD的长（）A．4 B．5 C．6 D．77．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（）A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化8．如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A．65° B．115° C．65°和115° D．130°和50°9．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3 B． C．6 D．10．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）A．2 B．3 C．4 D．4﹣11．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝5，则PB＝（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题12．如图，从P点引⊙O的两切线PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为．13．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．14．在△ABC中，AB＝AC＝5，（如图）．如果圆O的半径为，且经过点B，C，那么线段AO的长等于．15．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝．16．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若AB＝5cm，AC＝13cm，则Rt△MBN的周长为cm．三、解答题17．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠AOB＝120°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝6时，求AP的长．18．如图，⊙O的直径AB＝2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙于E，交AM于D，交BN于C．设AD＝x，BC＝y．（1）求证：AM∥BN．（2）探究y与x的函数关系．19．在四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O分别与AD、AB、CD相切于E、F、G，连接OA、OD、OE．求证：∠AOE＝∠ADC．20．已知，如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是上任意一点，过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，设AO＝d，BO＝r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，以AD为直径的半圆O与BC相切．（1）求证：OB⊥OC；（2）若AD＝12，∠BCD＝60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积．

参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解．【解答】解：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PBA＝∠PAB＝55°，所以∠P＝70°．故选：D．2．【分析】由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，可得PA＝PB，即可得∠PAB＝∠PBA，由切线的性质与圆周角定理，可得∠ABC＝∠OAP＝90°，然后由同角的余角相等，证得∠PAB＝∠C，同理可得∠PAB＝∠AOP．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PA＝PB，OA⊥PA，∴∠PBA＝∠PAB，∠OAP＝90°，∴∠PAB+∠BAC＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠C＝90°，∴∠PAB＝∠C；∵OP⊥AB，∴∠BAC+∠AOP＝90°，∴∠AOP＝∠PAB．故选：C．3．【分析】钢管放在V形架内，则钢管所在的圆与V形架的两边相切，根据切线的性质可知△OMP是直角三角形，且∠OPM＝∠OPN＝30°，根据三角函数就可求出OP的长．【解答】解：∵圆与V形架的两边相切，∴△OMP是直角三角形中∠OPN＝∠MPN＝30°，∴OP＝2ON＝50cm．故选：A．4．【分析】由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．【解答】解：连接OB，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝140°，由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝70°，故选：C．5．【分析】由切线长定理可判断出A、B选项均正确．易知△ABP是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的特点，可求出AB⊥OP，故C正确．而D选项显然不符合切割线定理，因此D错误．【解答】解：连接OA、OB，AB，∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，由切线长定理知，∠1＝∠2，PA＝PB，∴△ABP是等腰三角形，∵∠1＝∠2，∴AB⊥OP（等腰三角形三线合一），故A，B，C正确，根据切割线定理知：PA2＝PC•（PO+OC），因此D错误．故选：D．6．【分析】连接OC，OD，设⊙O的半径为r，在△AOD和△BOC中，AD和AO，BO和BC上的高都为r，则AO＝AD，BO＝BC，从而得出BA＝AD+BC．【解答】解：连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD和AO的高为r，∴AO＝AD，同理BO＝BC，∴AB＝AO+BO＝AD+BC，又知AB＝10，BC＝4，故知AD＝6，故选：C．7．【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故选：A．8．【分析】连接OC，OB，当点P在优弧BC上时，由圆周角定理可求得∠P＝65°，当点P在劣弧BC上时，由圆内接四边形的对角互补可求得∠BPC＝115°．故本题有两种情况两个答案．【解答】解：连接OC，OB，则∠ACO＝∠ABO＝90°，∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，应分为两种情况：①当点P在优弧BC上时，∠P＝∠BOC＝65°；②当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝180°﹣65°＝115°；故选：C．9．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出∠OAB＝60°，根据OB＝ABtan∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：D．10．【分析】设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，根据等边三角形的性质得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切线的性质得到∠BAO＝∠CAO＝BAC＝30°，求得∠AOC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：设⊙O与AC的切点为E，连接AO，OE，∵等边三角形ABC的边长为8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，∵圆分别与边AB，AC相切，∴∠BAO＝∠CAO＝BAC＝30°，∴∠AOC＝90°，∴OC＝AC＝4，∵OE⊥AC，∴OE＝OC＝2，∴⊙O的半径为2，故选：A．11．【分析】直接利用切线长定理求解．【解答】解：∵PA，PB均为⊙O切线，∴PB＝PA＝5，故选：D．二、填空题12．【分析】如果连接OA、OB、OP，那么阴影部分的面积可以用两个直角三角形的面积和圆心角为120°的扇形的面积差来求得．【解答】解：连接OA，OB，OP，则∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°，∠AOP＝∠BOP＝60°；由切线长定理知，AP＝PB＝AOtan60°＝2，∴S阴影＝S△APO+S△OPB﹣S扇形OAB；即：S阴影＝2××OA•AP﹣＝4﹣π．13．【分析】根据切线长定理得出∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．【解答】解：连接OB，设切点为D，连接OD，则OD⊥BC，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，∴tan∠OBC＝，∴BD＝＝＝3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB＝＝．故答案为．14．【分析】分两种情况考虑：（i）如图1所示，由AB＝AC，OB＝OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；（ii）同理由AD﹣OD即可求出AO的长，综上，得到所有满足题意的AO的长．【解答】解：分两种情况考虑：（i）如图1所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB＝5，cos∠ABC＝，∴BD＝3，根据勾股定理得：AD＝＝4，在Rt△BDO中，OB＝，BD＝3，根据勾股定理得：OD＝＝1，则AO＝AD+OD＝4+1＝5；（ii）如图2所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OD⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB＝5，cos∠ABC＝，∴BD＝3，根据勾股定理得：AD＝＝4，在Rt△BDO中，OB＝，BD＝3，根据勾股定理得：OD＝＝1，则OA＝AD﹣OD＝4﹣1＝3，综上，OA的长为3或5．故答案为：3或515．【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．【解答】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．16．【分析】根据勾股定理求出AC的长，再设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，证明四边形ODBE是正方形，根据切线长定理得出结论即可．【解答】解：如图所示：连接DO，EO，Rt△ABC中，AB＝5cm，AC＝13cm，则BC＝12cm，设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，∵AD＝AF，BE＝BD，CF＝CE，∵OD⊥AB，OE⊥BC，∴四边形ODBE是正方形，即BD＝BE＝R，∴AB﹣BD＝AF，CB﹣BE＝FC，5﹣R+12﹣R＝13，解得：R＝2，∵切线MN与AB，BC分别交于点M，N，∴MP＝DM，PN＝NE，∴Rt△MBN的周长为：BD+BE＝2+2＝4（cm），故答案为：4．三、解答题17．【分析】（1）由于PA、PB是⊙O的切线，于是∠OAP＝∠OBP＝90°，而∠AOB＝120°，利用四边形内角和等于360°，可求∠PAB；（2）连接OP，由于PA、PB是⊙O的切线，那么PA＝PB，而∠OAP＝∠OBP＝90°，OA＝OB，利用SAS可证∴△AOP≌△ABP，于是∠APO＝∠BPO，结合∠PAB＝60°，易求∠APO＝∠BPO＝30°，在Rt△OAP中，易求OP，再利用勾股定理可求AP．【解答】解：如图所示，（1）∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∵∠AOB＝120°，∴∠PAB＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°；（2）连接OP，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，又∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OA＝OB，∴△AOP≌△BOP，∴∠APO＝∠BPO，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠BPO＝30°，在Rt△OAP中，∠APO＝30°，OA＝6，∴OP＝12，∴AP＝＝6．18．【分析】（1）由AM和BN是⊙O的两条切线，可得AB⊥AD，AB⊥BC，则可证得AM∥BN．（2）首先作DF⊥BN交BC于F，可得四边形ABFD是矩形，然后根据切线长定理得到BF＝AD＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．【解答】（1）证明：∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴AM∥BN．（2）解：作DF⊥BN交BC于F，∵AB⊥AM，AB⊥BN．又∵DF⊥BN，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，∴四边形ABFD是矩形，∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝2，∵BC＝y，∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y，在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+y）2＝（x﹣y）2+22，整理为：y＝，∴y与x的函数关系为：y＝．19．【分析】连接OG、OF．由DC∥AB可知∠CDA+∠DAB＝180°，然后证明△DEO≌DOG，从而得到∠EDO＝∠ADC，同理：∠DAO＝∠DAF，于是可证明∠AOD＝90°，然后利用切线的性质可证明∠OEA＝90°，接下来再证明∠AOE＝∠ADO，故此可得到∠AOE＝∠ADC．【解答】证明：如图连接OG、OF．∵DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°．∵DE、DG是圆O的切线，∴DE＝DG．在△DEO和DOG中，∴△DEO≌DOG．∴∠EDO＝∠GDO．∴∠EDO＝∠ADC．同理：∠DAO＝∠DAF．∴∠EAO+∠EDO＝（∠DAF+∠ADG）＝90°．∴∠AOD＝90°．∵AD是圆O的切线，∴OE⊥AD．∴∠OEA＝