山西省朔州市怀仁市第一中学校2024-2025学年高三上学期摸底考试 数学试题（含解析）

2024～2025学年怀仁一中高三年级摸底考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）．A． B． C． D．2．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（）．A．3种 B．4种 C．5种 D．6种3．与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（）．A． B．C． D．4．设，则，，，的极差是（）．A． B．C． D．5．记单调递增的等差数列的前n项和为，若且，则（）．A．70 B．65 C．55 D．506．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，若点P的轨迹与圆有且仅有三条公切线，则（）．A． B．1 C．2 D．37．已知且，则“”是“函数为偶函数”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，P为平面上一点，O为的重心，则的面积的取值范围为（）．A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i为虚数单位，复数，为方程的两个根，则下列选项中正确的有（）．A． B．C．复数在复平面上对应的点在第二象限 D．10．如图，已知三棱柱，平面，，，D，E分别是，的中点，则下列说法正确的是（）．A．平面B．平面C．直线AD与直线DE的夹角为D．若，则平面与平面的夹角为11．已知函数，则（）．A．在R上是增函数B．的极大值点为，C．有唯一的零点D．的图象与直线相切的点的横坐标为，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．样本数据24，8，35，23，7，10，11，30的60％分位数为__________．13．若实数，且，则的最小值为__________．14．已知数列满足，，对有，k为正整数，使成立的k的值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A；（2）若，求的周长的最大值，并求出此时角B，角C的大小．16．（本小题满分15分）某大学研究机构选择了网络游戏这一项目进行研究，来了解网络游戏对大学生的影响．该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：（1）完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？玩过网游没玩过网游总计男生女生总计（2）视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为X，求和．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817．（本小题满分15分）如图，平面ABC，，，，点P是AB的中点，连接PE．（1）证明：平面BCD；（2）求PE与平面BDE所成角的正弦值．18．（本小题满分17分）已知函数，定义城为．（1）讨论的单调性；（2）求当函数有且只有一个零点时，a的取值范围．19．（本小题满分17分）如图，已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，O为坐标原点．（1）求双曲线的标准方程；（2）直线与双曲线的右支交于点，（在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一列点，，…，，，．证明：①，，…，共线；②为定值，，．2024～2025学年怀仁一中高三年级摸底考试数学参考答案、提示及评分细则1．B∵，，∴，故选B．2．D由题意可知共有种方式．故选D．3．C由题意，，，所求椭圆方程．4．A因为，得到，所以极差为．故选A．5．B设，d为公差，由于，则，化简得，由于数列单调递增，因此，解出，因此，则．故选B．6．D由题意设，易知，即可得，整理得点P的轨迹方程为，因为点P的轨迹与圆C有且仅有三条公切线，因此两圆外切，圆的圆心坐标为，半径为r，因此，解出．故选D．7．A若函数为偶函数，，因此在定义域R上恒成立，则，即，因此是的充分不必要条件．故选A．8．C设，，，设，与联立得，且，所以，，则，因为O为的重心，所以，求出，则，点到直线l的距离，因此．故选C．9．ABD不妨令的两个根为，，因此，故A正确；，故B正确；复数在复平面上对应的点在第一象限或者第四象限，故C错误；由于，故D正确．故选ABD．10．ABD因为D，E分别是，的中点，所以，又平面，平面，则平面，故A正确；因为平面，所以平面ABC，即，又，且，AB，平面，则平面，即，又，且，BC，平面，则平面，故B正确；由于D为中点，且，，因此是等腰直角三角形，E是的中点，则，故C错误；连接，由于，，易知平面，则，因此平面与平面的夹角为，由于，因此，则，因此，故D正确．故选ABD．11．BC由题意知，令，则，，因此函数存在减区间，故A错误；由上述可知，其极大值点为，，故B正确；函数，由上述可知在单调递增，在单调递减，其中，，，故在存在一个零点，当时，，当时，，因此有唯一的零点，故C正确；设切点为，则，因此切线为，于是，故，，故D错误．故选BC．12．23将样本数据从小到大排列为7，8，10，11，23，24，30，35，其中8×60％＝4.8，所以60％分位数为从小到大排列的第5个数，即为23．13．4由可得，因为，所以，即，则，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为4．14．32由于，则，解出，同理，，，，，…，因此数列是以6为周期的数列，则，解出．15．解：（1）由于，利用正弦定理知，（2分）且，因此，（4分）因为C为的内角，，则，（5分）又因为，故角A为．（6分）（2）利用正弦定理，（7分）因此的周长，（10分）由于，因此当时，的周长取最大值．（13分）16．解：（1）完成列联表如下：玩过网游没玩过网游总计男生221234女生8816总计302050（3分）零假设为：大学生喜欢网游与性别无关，，（6分）根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即认为大学生喜欢玩网游与性别无关．（8分）（2）视频率为概率，该校任意一学生玩过网游的概率为，（10分）由，有，（13分）．（15分）17．（1）证明：取BC中点Q，连接PQ，QD，由于P，Q分别为AB，BC的中点，因此，且，（2分）由题意可知且，因此，即四边形DEPQ为平行四边形，所以，（5分）又因为平面BCD，平面BCD，则平面BCD．（7分）（2）解：由于平面ABC，且，因此AB，AC，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，于是，，（10分）设平面BDE的一个法向量为，有，不妨令，则，（13分）因为，所以PE与平面BDE所成角的正弦值为．（15分）18．解：（1）由题意知，（1分）当时，显然在上单调递增，（2分）当时，二次函数对称轴，令，则，此时在上单调递减，在上单调递增，（4分）当时，在恒成立，因此在上单调递增，（5分）当时，二次函数对称轴，令，则，此时在和上单调递增，在上单调递减，（7分）综上所述，时，在上单调递减，在上单调递增，时，在上单调递增，时，在和上单调递增，在上单调递减．（8分）（2）当时，显然无零点，（9分）当时，，即为，因此，（12分）设，，则，（13分）令，，则，当时，，当时，，因此，（15分）则在上恒成立，在上单调递减，又易知在上恒成立，因此，则，故，（16分）综上所述，．（17分）19．（1）解：由题意得，解得，（2分）所以双曲线的标准方程为．（3分）（2）证明①：设斜率为4，与双曲线右支相交于，两点的直线方程