山东省青岛第二中学2025届高三上学期8月月考数学试卷（解析）

青岛市第二中学2024-2025学年8月份阶段练习-高三数学试题学生版一、单选题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据真数要大于0和集合交集的运算法则即可求解．【详解】，故．故选：D．2.某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：.则该组数据的中位数和平均数分别为（）A.60，58 B.60，60 C.55，58 D.55，60【答案】B【解析】【分析】根据中位数定义，以及平均数公式即可求得.【详解】将样本数据从小到大排列为.易得中位数为60，平均数为.故选：B3.已知为实数，则（）A. B.2 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用为实数求出，再根据复数的模的公式求解．【详解】由题意可得，由为实数，得，即，则，故．故选：D．4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求导，根据导数的几何意义写出切线斜率，然后利用点斜式写出方程.【详解】因为，所以在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即.故选：C.5.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式可得，再根据角的范围以及余弦函数单调性即可得出结论.【详解】因为，所以，又因为为锐角，则，而在上单调递减，从而，即.故选：A.6.过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题知曲线是以为圆心，1为半径的半圆，结合图形，利用过两点直线的斜率和直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线，曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示），设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点，则应位于直线和切线之间，所以，因为，易知，又与曲线相切，由，解得，所以，所以直线斜率的取值范围为.故选：B.7.已知椭圆右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别联立直线和椭圆，利用的坐标相等建立齐次方程，求解离心率即可.【详解】设Ax1,y1线段的中点是直线与直线的交点，联立，解得，所以，另一方面，联立，得易知，由韦达定理得，解得，所以，故离心率，故D正确.故选：D.8.如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，利用共线定理设，表示出，，根据建立等式求解，分别求出各边的长度，然后即可求解．【详解】由，知为锐角，又因为，所以．设，即，．由，得，又，故．则，因此，即．在中，由正弦定理，以及，整理计算得．故选：B．二、多选题9.已知双曲线，则（）A.的取值范围是B.时，的渐近线方程为C.的焦点坐标为D.可以是等轴双曲线【答案】ACD【解析】【分析】选项A，利用双曲线的标准方程，即可求解；选项B，根据条件，利用求双曲线渐近线的求法，即可求解；选项C，由选项A知焦点在轴上，再由，即可求解；选项D，利用等轴双曲线的定义，即可求解.【详解】对于选项A，因为表示双曲线，所以，解得，所以选项A正确；对于选项B，当时，双曲线方程为，其渐近线方程为，所以选项B错误；对于选项C，由选项A得0，所以焦点在轴上，设的半焦距为，则，解得，故其焦点坐标为，所以选项C正确；对于D，若为等轴双曲线，则，解得，所以选项D正确，故选：ACD.10.下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】转化为选项所给函数与一次函数是否存在3个交点，且其中一个交点是另外两个交点的中点，即可满足题意，A选项，根据为奇函数，过原点的直线满足要求，A正确；BC选项，不会有3个交点，舍去；D选项，判断出为奇函数，与过原点的直线会和函数有三个交点，且原点是另外两个交点的中点，D正确.【详解】该题可转化为判断选项所给函数与一次函数是否存在3个交点，且其中一个交点是另外两个交点的中点，即可满足题意，A选项，为奇函数，过原点的直线与有多个交点（包含原点），其中原点为两个对称交点的中点，满足题意，故A正确；B选项，由于与一次函数最多两个交点，不可能有三个交点，故B错误；C选项，为偶函数，且与二次函数图象形状类似，与一次函数最多两个交点，不可能有三个交点，故C错误；D选项，令，解得，故的定义域为−1,1，又，故奇函数，在上单调递增，且在上单调递增，由复合函数单调性可知，fx在上单调递增，且，时，趋向于，故过原点的直线可以与奇函数存在三个交点，其中一个为原点，且原点是另外两个交点的中点，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A.的图象关于点对称B.是以8为周期的周期函数C.D【答案】ABC【解析】【分析】根据函数奇偶性以及表达式可知满足，可判断A正确；化简可得可知B正确；又可得，即C正确；利用赋值法可求得，可知D错误.【详解】对于A，由题意，且，即①，用替换中的，得②，由①+②得，所以的图象关于点对称，且，故A正确；对于B，由，可得，，所以，所以是以8为周期的周期函数，故B正确；对于C，由①知，则，所以，故C正确；对于D，又因为，所以，令，则有2，令，则有，令，则有，所以，所以，故D错误故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数性质综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两条性质去推导第三个性质，再将3个性质综合运用即可实现问题求解.三、填空题12.二项式的展开式中的系数为__________.【答案】15【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，再依题意求解.【详解】由二项式的展开式的通项为，令，得其展开式中的系数为.故答案为：1513.已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，利用正弦型函数的极值点可得即可求解.【详解】由题意可得，当时，，由函数在内恰有两个极值点，可知，解得.故答案为：14.将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为__________.【答案】##【解析】【分析】分为奇数和偶数，按照最优分解定义，求数列的通项，再求和.【详解】当时，，则，当时，，则，故数列的前2023项和为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对新概念的理解，并对分奇数和偶数两种情况进行讨论，从而得到数列的通项公式.四、解答题15.在中，内角、、的对边分别为、、，且.（1）求；（2）若，且，则的面积为，求、.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而可求的值；（2）由题意利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立方程即可求解，的值.【小问1详解】因为，由正弦定理得：，所以，可得：，因为，所以，所以，因为，所以【小问2详解】因为，且，则的面积为，所以，又由余弦定理可得：，所以，由，解得：，或因为，所以16.已知直线交抛物线于两点，为的焦点，且．（1）证明：；（2）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）联立方程消元，利用根的判别式来证明；（2）设，根据建立等式，将代入等式得出关于，利用偶次方的非负性解不等式即可．【小问1详解】由题意联立得，；【小问2详解】设，由（1）得，，，即，即，整理得，将代入并整理得，，，且，解得：或．17.如图，点O为正四棱锥的底面中心，四边形为矩形，且，.（1）求正四棱锥的体积；（2）设E为侧棱PA上的点，且，求直线BE与平面PQC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求棱锥的体积即可；（2）以O为原点，分别以、、的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面PQC的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】由已知可得，，故底面正方形ABCD的边长，所以正四棱锥的体积为；【小问2详解】以O为原点，分别以、、的方向为x、y与z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，易得、、、、.设平面PQC的一个法向量为，则，所以.又，，即，解得，可取，依题意可得，设，则，则有，故，故，从而，设直线BE和平面PQC所成角为，则，因为，所以，故直线BE和平面PQC所成角的大小为.18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，.)（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）（2）（i）分布列见解析，；（ii）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i）先求出的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：．即，，所以，因为质量指标值近似服从正态分布，所以，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.【小问2详解】（i），所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为：0123所以的数学期望.（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，设每箱产品的利润为元，由题意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，所以，所以，所以.令，由得，，又，，单调递增，，，单调递减，所以当时，取得最大值.所以当时，每箱产品利润最大.19.定义：若对于任意，数列满足：①；②，其中的定义域为，则称关于满足性质.（1）请写出一个定义域为的函数，使得关于满足性质；（2）设，若关于满足性质，证明：；（3）设，若关于满足性质，求数列的前项和.【答案】（1）（注：所有的定义域为的偶函数均符合题意）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）设，得到任意，，且，故满足要求；（2）因为，所以，变形得到，利用基本不等式得到结论；（3）求导，结合基本不等式，求出导数恒大于0，故在R上单调递增，而，故ℎx在上单调递减，在上单调递增，不妨设，因为，结合性质，得到，求出数列的前项和.【小问1详解】令，定义域为R，显然任意，，且，故满足要求，（注：所有的定义域为R的偶函数均符合题意）【小问2详解】因为，所以，移项得，因为，所以，故，由基本不等式，当且仅当时取到等号，而，故，即.【小问3详解】由题意，，故，设，则，故在R上单调递增，而，故时，时，ℎ'x<0因此ℎx在上单