广东省江门市新会区陈经纶中学2025届高三上学期9月月考数学试题（解析版）

新会陈经纶中学2024—2025学年高三上学期9月月考数学卷本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟（命题人：李振华，审核人：郑小辉）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用复数乘除法运算化简.【详解】.故选：A.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果.【详解】解不等式可得，又可得只有当时，的取值分别为在集合中，所以.故选：C3.已知，则（）A B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可.【详解】因为，，所以.所以.故选：A4.已知且，则的最小值为（）A.4 B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.【详解】且，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为8.故选：D5.命题p：，，则“”是“p为真命题”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，，所以，得，因为当时，不一定成立，而当时，一定成立，所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件.故选：B6.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可.【详解】的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除A选项；取，则，排除C、D选项；故选：B.7.已知为等比数列的前项积，若，且（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等比中项的性质求解即可.【详解】由等比数列的性质，得，所以.故选:B.8.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性解方程组求解可得，然后可得.【详解】因为函数为偶函数，则，即①，又因为函数为奇函数，则，即②，联立①②可得，所以．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.B.C.与的夹角余弦值为D.在方向上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法验证即可.【详解】由，，则与不平行，故错误；，，则，故正确；，，，故正确；，即在方向上的投影向量为，故正确.故选：.10.若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（）A. B.点是函数的对称中心C.函数在上单调递增 D.直线是函数图象的对称轴【答案】AB【解析】【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得函数的解析式，即可判断选项A；整体代入法验证选项BD，利用正弦函数图像性质判断选项C.【详解】∵的两条相邻对称轴距离为.∴，∴.∴.∵，∴，又，则.∴.∴选项A正确；选项B：由，可得函数对称中心的横坐标：.当时，对称中心为.B正确；选项C：当时，，，∴在上不递增，C错误；选项D：由，.可得对称轴：，.∴不对称轴.或验证法把代入得，∴不是对称轴.∴D错误；故选：AB.11.已知函数，若方程有四个不同的零点，，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】在同一直角坐标系内作出y=fx和的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到且，，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，所以A正确；对于B中，因为，且函数关于对称，由图象得，且，所以，可得，则，所以，其中，令，当且仅当时，取得最小值，所以，所以B正确；对于C中，是两个根，所以，即，所以，由是的两个根，所以，所以，所以C不正确；对于D中，由，可得，令，可得函数hx在上单调递增，所以，即，，所以D正确.故选：ABD.【点睛】知识方法点拨：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略：1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象；2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”.3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则______．【答案】1【解析】【分析】根据自变量确定代入哪段，结合对数性质计算即可.【详解】因为，，所以．故答案为：113.已知向量与的夹角为，，，则______.【答案】6【解析】【分析】根据模长公式结合数量积的定义和运算律即可求解.【详解】由题意，向量与的夹角为，，，所以，所以,故答案为：614.已知函数，若，则__________.【答案】【解析】【分析】由题设易得函数的对称轴，再结合二次函数图像对称轴对比即得.【详解】因，函数的对称轴为直线，而由可知其对称轴为直线，故，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在上的最大值与最小值．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【小问1详解】由得,又,所以函数在处的切线方程为:,即【小问2详解】由,令解得令解得,所以在上单调递减,在上单调递增.所以当时,最小,且最小值为,,,故最大值为16.已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意列方程组算出即可；（2）由裂项相消法求解即可.小问1详解】设等差数列an的公差为，则，解得，．∴．【小问2详解】由（1）知，，∴，∴．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求c．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解【小问1详解】变形为：，所以，因为，所以，【小问2详解】因为，且，所以由正弦定理得：，即，解得：18.已知为数列的前项和，若.（1）求证：数列为等比数列；（2）令，若，求满足条件的最大整数.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系式可得，即，即可得证.（2）由（1）可得，则，设，根据等比数列的前项和公式可得，令，结合，即可求解.【小问1详解】证明：由可得，当时，，解得，当时，，即，则，即，即，即，又，所以数列是首项为6，公比为2的等比数列.【小问2详解】由（1）得，则，设，则令，得，即，即，又，，，所以满足条件的最大整数为为5.19.已知函数.（1）若，求的极值；（2）若，不相等的实数满足，求证：.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解；（2）令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性将双变量问题转化为单变量问题，再构造新的函数，利用导数证明即可.【小问1详解】依题意，，则，令，解得，故当时，f'x<0，当时，f故函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的极小值为，无极大值；【小问2详解】令，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在0,+∞上单调递增，所以，又，所以，所以在R上单调递增，，即，因，所以，要证，即证，只需证，即，即，令函数，则，令，则，所以为R上的增函数，当时