湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析）

2024-2025学年高二（上）入学考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式，即可化简求值.【详解】原式.故选：A2.若集合，则是（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式求出两个集合，再求两集合的交集即可.【详解】由，得或，解得或，所以或，由，得，所以，所以.故选：B3.已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断.【详解】由题意可知：的定义域为，故B错误；当，先正后负，则有：对于C：因为，则，可知，故C错误；对于D：因为，则，但的符号周期性变化，故D错误；故选：A.4.在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】直接利向量的线性运算求出结果．【详解】在四面体中，由于点，满足，，如图所示：故，故．故选：C5.已知，，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由结合两角差的正切公式求得.【详解】由得，故选：A.6.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（）A.甲：平均数为，中位数为 B.乙：中位数为，众数为C.丙：平均数为，方差为 D.丁：中位数为，方差为【答案】C【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差的定义，通过举例排除ABD，由假设推理判断C．【详解】若甲的5个点数分别是，满足选项A；若乙的5个点数分别是，满足选项B；若丁的5个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D；若丙的平均数为2，又有点数6，则方差，不可能满足C，因此丙不会出现点数6，故选：C．7.在正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边上，射线交球的表面于点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】点的路径是4段长度相等的弧，求出圆心角可得弧长.【详解】因为正四棱柱外接球的直径为其体对角线的长，故（为正四棱柱外接球的半径）.所以.所以为等边三角形，所以.所以劣弧的长为：.所以点经过路径长为：.故选：A8.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题设条件可得，然后利用三角变换公式结合正弦函数的性质可求最大值.【详解】由余弦定理可得，整理得到，，则，整理得到：，而，故，而，故，设，则，其中为锐角且，因为，故，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知复数的虚部与的实部均为2，则下列说法正确的是（）A.是虚数B.若，则C.若，则与对应的点关于x轴对称D.若是纯虚数，则【答案】ACD【解析】【分析】借助虚数定义可得A；借助模长共识计算即可得B；借助共轭复数定义与复数的几何意义可得C；借助复数的乘法运算与纯虚数定义及模长定义即可得D.【详解】可设复数，A选项：根据虚数定义可知A正确；B选项：，所以，则，所以，，所以，故B不正确；C选项：若，所以，所以，，所以，对应的点分别为和，则关于x轴对称，故C正确；D选项：因为，且是纯虚数，所以，所以，，则，所以，故D正确．故选：ACD.10.一口袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）A.从中任取3球，恰有一个红球的概率是；B.从中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为；C.从中不放回取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为；D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.【答案】AC【解析】【分析】A应用古典概型求概率即可；B、D由取到白球服从分布，应用二项分布概率公式求出对应事件的概率；C由题设第二次取球时剩余4个红球、2个白球即可判断.【详解】A：任取3球恰有一个红球的概率，正确；B：由每次取到红白球概率分别为，则取到白球服从分布，则恰好有两个白球的概率，错误；C：第一次取到红球，则剩余4个红球、2个白球，故第二次取到红球的概率为，正确；D：由B分析知：，错误.故选：AC11.已知平行六面体的棱长均为1，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（）A.B.若，则∥面C.若，则面D.若是线段的中点，是线段上的动点，则的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】选项，在，，中依次使用余弦定理即可解得；B选项，假设平面成立，由线面平行的性质可知，由平行线分线段成比例可知,找出全等三角形,可得；C选项，分别证明，由线面垂直的判定可得平面；D选项，找出全等三角形,可知当最小时，故最小，故此时三点共线，利用余弦定理求的长度即的最小值.【详解】由题设可知，平行六面体的六个面均为一个角是的菱形，连接交于点，​​​​​​​在菱形中易得,又O为中点，则，在直角三角形中有,在中，由余弦定理可得，解得，则，在中，由余弦定理得,则，在中，余弦定理可得,解得，A正确；连接交于G，连接交于H，由于分别是棱和的中点,可得，连接,交于点，则有，故，若平面,平面,平面平面,则，故,易得,故,与题设不符，B错误；设与交于点，连接，因为分别是，的中点,​​​​​​​​​​​​​​则,在菱形中易得，则，又是中点，则，则，过点C作，使，连接,易得，在平面内由余弦定理得，解得，又，，则，则，又，则，因为平面,平面，面，C正确；由平行六面体的对称性可得,则，当最小时，可知最小，故此时三点共线，此时易得N为的中点，由可得,由B选项可知,又，则,在中，由余弦定理可得,解得，故的最小值是，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：空间中的最值问题，一般情况下会利用转化到同一个平面内，将其化简为代数类问题解决往往比较容易.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是______．【答案】0【解析】【分析】根据解析式分析的单调性并画出大致图象，将问题化为与仅有一个交点，数形结合求参数值.【详解】由函数解析式，在上递减，、上递增，且在处连续，所以大致图象如下，由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点，由图知：.故答案为：013.《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，岁至岁儿童青少年超重肥胖率高达为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按，，，，，分成六组，得到的频率分布直方图如图所示，根据调查的数据，估计该地中学生体重的分位数是______．【答案】【解析】【分析】先根据频率分布直方图判断分位数的位置，然后列方程求解即可.【详解】因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以分位数在内，设分位数为，则，解得.故答案为：14.已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球(圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上)的体积为________．【答案】【解析】【分析】结合题意计算可得，，，再设出该圆台的外接球球心，借助球的性质得到，再代入数据计算即可得.【详解】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影，为该圆台的外接球球心，由该圆台的侧面积为，则有，即，由下底面半径比上底面半径大，则有，由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即，又，即有，则，即，则，则有，即，即，即，设该圆台的外接球半径为，则,故该圆台的外接球体积.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出该圆台外接球球心，从而借助勾股定理得到.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，组：12，13，15，14，．假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？【答案】（1）（2）不相互独立【解析】【分析】（1）列举符合条件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解，（2）分别求解,即可根据相互独立事件满足的关系求解.【小问1详解】如果，从两组随机各选1人，样本空间，，共有25种，甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共有8种，所以概率为；【小问2详解】当时，，事件的情况有，共4种所以事件：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间和为25天”的情况为．故所以事件不相互独立．16.如图所示，已知底面，，，且，为的中点．（1）若，求三棱锥的体积．（2）求证：；【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用体积变换法求（2）先证明DE⊥面，即证.【小问1详解】根据题意可得，，所以，由，得平面，所以【小问2详解】连接，交DE于F，因为CE⊥面ABC，，所以所以和为直角三角形，又，，所以所以，又已知CE⊥底面ABC，，所以CE⊥AB，AB⊥BC，面，所以AB⊥面，面，所以AB⊥DE，又，所以，，面，所以DE⊥面，又面，所以DE⊥．【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查体积的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.（2）空间几何体体积的计算常用的有公式法、割补法和体积变换法.17.已知函数.（1）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；（2）设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数零点的定义，利用转化法进行求解即可；（2）把公共点的问题转化为方程的解的问题，结合换元法进行求解即可.【小问1详解】，当时，函数存在零点，即在时有解，设，即，即实数的取值范围为.【小问2详解】若函数与的图象只有一个公共点，则关于的方程只有一解，只有一解，令，得关于的方程有一正数解，①当时，方程的解为，不合题意；②当时，则恒成立，此方程有一正一负根，负根舍去，满足题意；③当时，满足的情况下，因为，同号，所以得满足，只需,且，解得；综上：实数的取值范围为18.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）点在边上，且，，求面积的最小值．【答案】（1）A；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简得到，再利用余弦定理得，根据角的范围求出即可；（2）设，求得，再通过求得，进而得到,过点做的垂线，交于点，求得，结合三角形面积公式及三角恒等变换即可求解.【小问1详解】由题意及正弦定理得，，由余弦定理得，，整理得，所以，又，故A；【小问2详解】设，则，因为，，，由于，则，在中由正弦定理得，，解得，因此，过点做的垂线，交于点，设三角形的面积为，，所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，即三角形面积的最小值为．19.已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数