山东省A7联盟2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学测试卷（一）（本试题考试时间120分钟，满分150分）考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一个选项符合题目要求．1.集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.162.若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.从，，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为（）A. B. C. D.4.已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（）A. B. C.334π D.5.有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（）A. B. C. D.6.对于平面上的动点P，且满足对于Ax1,y1，Bx2,y2；PA、PB长度之比为t（t不为0），则我们称P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若A−2,0，B4,0，．则下列和“完美曲线”有交点的有几个？（1）（2A.2 B.3 C.4 D.17.若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.10.已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（）A. B. C.0 D.811.由倍角公式可知，可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A. B.C D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分12若，，则______.13.已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为_______.14.设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为____________.四、解答题：本题共5小题，满分77分解答题（一）15~17题，每题有2问，（1）问所有考生必须作答，（2）问在（i）（ii）中任选一题作答.考生选的序号不同，题目满分不同.若选择（i），满分为8分；选择（ii），满分4分.若多做，则按第一小题计分.解答时，先在答题卡上将所选序号涂黑，然后作答.15.如图，在中，，，，P内一点，．（1）若，求PA；（2）（i）若，求．（ii）求的取值范围．16.已知数列的前n项和为（n为正整数），若，．（1）求；（2）（i）证明：；（ii）解不等式：．17.如图①，已知三角形是边长为2的等边三角形，是的中点，，如图②，将沿边翻折至．（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）（i）若平面与平面所成的二面角的正切值为，求点到直线的距离．（ii）若点在平面上投影在上，求平面与直线所成角的正弦值．解答题（二）18~19小题，每题17分，考生须作答所有小问.18.已知抛物线.过抛物线焦点F作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点O作直线与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P的纵坐标为时，.（1）求抛物线的方程.（2）若平行于x轴，证明：S在抛物线C上.（3）在（2）的条件下，记的重心为R，延长交于Q，直线交抛物线于（T在右侧），设中点为G，求与面积之比n的取值范围.19.已知集合（，），若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．