人教版七年级数学上册 4.2整式的加法与减法（第四章 整式的加减 自学、复习、上课课件）

4.2整式的加法与减法第四章整式的加减逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2同类项合并同类项去括号整式的加减知识点同类项知1－讲11.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项，所有的常数项都是同类项.•••••••••••••••••知1－讲2.判断同类项的方法(1)同类项必须同时满足“两个相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可.(2)是不是同类项有“两个无关”：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关，如3mn与－nm

是同类项.••••••••知1－讲特别解读1.同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式.2.同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项.知1－练例1下列各组中的两个式子是同类项的是()A.2x2y

与3xy2B.10ax

与6bxC.a4与x4D.π与－3解题秘方：紧扣同类项定义中的两个“相同”进行识别.解：A中所含字母相同，但相同字母的指数不同；B，C中所含字母不同；D中π是常数，与－3是同类项.D知1－练1-1.[中考·湘潭]下列整式与ab2

为同类项的是()A.a2b

B.－2ab2C.ab

D.ab2cB知1－练[期末·南京浦口区]若单项式3xmy5

与－4x2yn－2是同类项，则m＋n=________．例2解题秘方：根据同类项的定义：所含字母相同且相同字母的指数也相同，列式求解即可．解：因为单项式3xmy5

与－4x2yn－2是同类项，所以m＝2，n－2＝5，即n

＝7.则m＋n

＝9．9知1－练2-1.如果单项式－xyb＋1与xa－2y3是同类项，那么(ab

－7)2

024

的值为()A．－1 B．1C．2024 D．－2024B知2－讲知识点合并同类项21.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项.2.合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.••••••••知2－讲3.合并同类项的一般步骤知2－讲4.升降幂排列：把一个多项式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母的降幂排列.若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母的升幂排列.••••••••••••知2－讲特别解读1.合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”.其中，“一相加”是指各同类项的系数相加“；两不变”是指字母连同它的指数不变.2.合并同类项的过程是分配律的逆用.3.升(降)幂排列看的是某一个字母指数的大小，而不是项的次数.4.合并同类项的结果一般需要按照某一字母进行升(降)幂排列.▲▲▲▲▲▲▲▲▲知2－练[母题教材P96例1]合并下列各式的同类项：例3解题秘方：合并同类项：将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.知2－练(1)x2－3x－2＋4x－1；解：x2－3x－2＋4x－1=x2＋(－3x＋4x)＋(－2－1)=x2＋(－3＋4)x－3=x2＋x－3；找同类项，要连同该项的符号一同标记上加法的交换律、结合律合并同类项，没有同类项的项，不能漏掉知2－练(2)3a2b－2ab＋2＋2ab－a2b－5.解：3a2b－2ab＋2＋2ab－a2b－5=(3a2b－a2b)＋(－2ab＋2ab)＋(2－5)=(3－1)a2b＋(－2＋2)ab－3=2a2b－3.知2－练3-1.[期末·广州天河区]下列各式中正确的是()A．2x＋2y=4xyB．3x2

－

x2=2C．3xy

－

2xy=xyD．2x＋4x=6x2C知2－练3-2.[中考·黄冈]先化简，再求值：4xy－2xy－(－3xy)，其中x=2，y=－1.解：4xy－2xy－(－3xy)＝4xy－2xy＋3xy＝5xy.当x＝2，y＝－1时，原式＝5×2×(－1)＝－10.知2－练(1)某中学七年级一班数学活动中分为三个组，第一组有a

人，第二组比第一组的一半多5人，第三组人数等于前两组人数的和，则第三组有______人；例4解题秘方：先根据数量关系列出整式，然后合并同类项得到最后结果.

知2－练

解题秘方：先根据数量关系列出整式，然后合并同类项得到最后结果.

知2－练

3n－64xym2知3－讲知识点去括号31.去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.特别地，当括号前没有数字时，看作是“1”或“－1”与括号相乘.知3－讲2.去括号的注意事项(1)括号内的每一项都包含前面的符号，特别是括号外的数是负数时，注意符号；(2)不要漏乘括号内的项，特别是常数项.知3－讲特别解读1.去括号的根据是乘法分配律.2.括号内多项式本来是和的形式，所以乘括号外的数所得的结果要相加.知3－练

例5解题秘方：直接运用去括号的方法进行化简.解：(1)2(0.5－2x)=2×0.5－2×2x=1－4x；

知3－练5-1.下列去括号正确的是(

)A.a2－(2a

－1)=a2－2a－1B.a2＋(－2a－3)=a2－2a＋3C.3a－[5b－(2c－1)]=3a－5b＋2c－1D.－(a＋b)＋(c－d)=－a－b－c＋dC知3－练

例6解题秘方：先利用去括号法则去括号，然后再合并同类项.知3－练

知3－练

解：－3(2s－5)＋6s＝－6s＋15＋6s＝15；知3－练

－3(2x2－xy)＋4(x2＋xy－6)＝－6x2＋3xy＋4x2＋4xy－24＝－2x2＋7xy－24.[期末·天津河北区]已知2a2－3b＋5＝0，则9b－6a2＋3的值为()A．18B．15C．－12D．16例7解题秘方：逆用去括号，变化出已知条件，整体代入求值.知3－练解：由2a2－3b＋5＝0，得2a2

－3b

＝－5.9b－

6a2＋3＝－3(2a2

－3b)＋3＝－3×(－5)＋3＝18.A知3－练添括号法则(拓展)类比去括号法则,可以得到添括号法则，所添括号前面是“＋”,括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“－”，括到括号里的各项都要改变符号.简记为“加不变,减全变”.例a＋b＋c=a＋(b＋c)；a－b－c=a－(b＋c).知3－练7-1.[新考法整体代入法]若x－3y=4，则(x－3y)2＋2x－6y－10的值为_______

．14知3－练为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙种读本的价格为8元/本，若购买甲种读本m本.例8解题秘方：先求出购买乙种读本的数量，再求出甲、乙两种读本分别花费的钱数，便可解决问题.知3－练(1)购买甲、乙两种读本的总费用是多少？解：由10m＋8(100－m)=10m＋800－8m=800＋2m，可知购买甲、乙两种读本的总费用为(800＋2m)元.知3－练(2)甲种读本比乙种读本多花多少钱？解：由10m－8(100－m)=10m－800＋8m=18m－800，可知甲种读本比乙种读本多花的费用为(18m－800)元.知3－练8-1.[期中·鄂州梁子湖区]某商店有一种商品，每件成本为a元，原先按成本增加b元定价出售，售出30件后，由于库存积压减价，按售价的90%出售，又销售70件．知3－练(1)该商店销售100件这种商品的总销售额为多少元？(2)销售100件这种商品共盈利了多少元？解：30(a＋b)＋70(a＋b)×90%＝93a＋93b，即销售100件这种商品的总销售额为(93a＋93b)元．93a＋93b－100a＝－7a＋93b，即销售100件这种商品共盈利了(－7a＋93b)元．知4－讲知识点整式的加减41.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.2.整式的化简求值的步骤一化：利用整式加减的运算法则将整式化简.二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子.三计算：依据有理数的运算法则进行计算.••••••••••知4－讲特别提醒整式加减的结果要最简：1.不能有同类项；2.含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数；3.一般不含括号.知4－练[母题教材P101例8]先化简，再求值：5(3x2y－2xy2)－2(3x2y－5xy2)，其中x=－1，y=3．例9解：原式=15x2y－10xy2－6x2y

＋10xy2=9x2y.当x=－1，y=3时，原式=9×(－1)2×3=27．知4－练

知4－练

例10解题秘方：将已知的多项式代入要求的式子中，然后去括号、合并同类项.知4－练

提醒：要带上括号知4－练

知4－练(2)若3y－x=2，求A－2B

的值.知4－练有一道题：“先化简，再求值：17x2－(8x2＋5x)－(3x2＋x－3)＋(－5x2＋6x－1)－3，其中x=－2024.”小明做题时把“x=－2024”错抄成了“x=2024”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因.例11解题秘方：将多项式进行化简后，再根据化简结果说明原因.知4－练解：17x2－(8x2＋5x)－(3x2＋x－3)＋(－5x2＋6x－1)－3=17x2

－8x2

－5x－3x2

－x＋3－5x2＋6x－1－3=x2

－1.因为当x=－2024和x=2024时，x2－1的值相等，所以小明将x=－2024错抄成x=2024，计算的结果却是正确的.知4－练11-1.有这样一道题：“当x=－2023，y=2024时，求多项式7x3－6x3y＋3(x2y

＋

x3＋2x3y)－(3x2y＋10x3)的值”.有一名同学看到x，y

的值就怕了，你能帮他解决这道题吗？知4－练解：原式＝7x3－6x3y＋3x2y＋3x3＋6x3y－3x2y－10x3＝(7x3＋3x3－10x3)－(6x3y－6x3y)＋(3x2y－3x2y)＝0.因为所得结果与x，y的值无关，所以无论x，y取何值，多项式的值都是0.知4－练某小区有一块长为40m、宽为30m的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图4.2－1的“十”字形花圃，在花圃内种花，其余部分种草.例12解题秘方：解本题的关键是用整式表示出花圃的面积.知4－练(1)求花圃的面积；解：依题意，得40x＋30x－x2=70x－x2，即花圃的面积为(70x－x2)m2

.知4－练(2)若建造花圃及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元，则美化这块空地共需多少元？解：依题意，得100(70x－x2)＋50［30×40－(70x－x2)］=7000x－100x2＋60000－3500x＋50x2=－

50x2＋3500x＋60000，即美化这块空地共需(－50x2＋3500x＋60000)元.知4－练12-1.如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案(阴影部分)，设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x，y，剪去的小长方形的长和宽也分别为x，y.知4－练(1)求“囧”字图案的面积S(用含a，x，y

的式子表示)；知4－练(2)当a=20，x=5，y=4时，求S

的值.解：当a＝20，x＝5，y＝4时，S＝202－2×5×4＝400－40＝360.整式的加法与减法整式的加减计算法则合并同类项同类项去括号顺序[新考法逆向思维法]老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：＋2(a2－4ab＋4b2)＝3a2＋2b2．求所捂的多项式.题型整式的加减运算1例13解题秘方：根据“加式=和－另一个加式”求解.解：根据题意，得(3a2＋2b2)－2(a2－4ab＋4b2)=3a2＋2b2－2a2＋8ab－8b2=a2＋8ab－6b2

.故所捂的多项式为a2＋8ab－6b2

.特别解读解决问题的过程中，要把每一个多项式看成一个整体来寻找关系.书写时，通常把多项式放在括号里.已知(a＋2)2＋｜b＋3｜=0，求3a2b－［2a2b－(3ab－a2b－4a2)］－2ab

的值.题型整式的化简求值2例14思路引导：解：因为(a＋2)2＋｜b＋3｜=0，且(a＋2)2

≥0，｜b＋3｜≥0，所以a＋2=0且b＋3=0，解得a=－2，b=－3.原式=3a2b－2a2b＋3ab－a2b－4a2－2ab=(3a2b－2a2b－a2b)＋(3ab－2ab)－4a2=－4a2＋ab=－4×(－2)2＋(－2)×(－3)=－4×4＋6=－10.思路点拨本题没有直接给出a与b的值，需根据已知条件先求出a与b的值.一个数的绝对值与平方都是非负数，已知两个非负数的和为0，则这两个非负数必须同时为0，这样可求出a

与b的值.亮亮在计算多项式A

减多项式2b2－3b－5时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是b2＋3b－1．例15题型整式加减的纠错问题3解题秘方：先利用错误的解法求出A，再正确列式计算并求值.(1)求这个多项式A；解：A=(b2＋3b－1)＋(2b2＋3b＋5)=b2＋3b－1＋2b2＋3b＋5=3b2＋6b＋4.(2)求这两个多项式相减的正确结果，并求b＝－1时正确结果的值．解：(3b2＋6b＋4)－(2b2－3b－5)=3b2＋6b＋4－2b2＋3b＋5=b2＋9b＋9．当b=－1时，原式=(－1)2＋9×(－1)＋9=1－9＋9=1．解题通法对于这种纠错问题，可以先“将错就错”，通过错误的结果求得未知的多项式，然后再列出正确的算式进行计算.已知有理数a，b

对应的点在数轴上的位置如图4.2－2，化简|2－3b|－2|2＋b|＋|a－2|－|3b－2a|.题型去绝对值符号问题4例16思路引导：解：观察数轴可知，1<a<2，b<－2，所以2－3b>0，2＋b<0，a－2<0，3b－2a<0.所以|2－3b|－2|2＋b|＋|a－2|－|3b－2a|=2－3b－2(－2－b)＋(－a＋2)－(－3b＋2a)=2－3b＋4＋2b－a＋2＋3b－2a=－3a＋2b＋8.方法点拨1.去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内式子的正负性.2.化简含有绝对值式子的关键步骤：(1)去绝对值符号；(2)去括号；(3)合并同类项.易错点列式计算时易忘记带括号而出错

例17

诊误区：当多项式参与列式计算时，作为一个整体应给多项式带上括号，再结合去括号、合并同类项进行计算.考法代数式的意义1[中考·宜宾]下列计算正确的是(

)A．4a－2a=2 B．2ab＋3ba=5abC．a＋a2=a3 D．5x2y－3xy2=2xy试题评析：本题考查同类项的辨析以及合并同类项的方法，题目难度较小.B例18解：A．4a－2a

＝(4－2)a

＝2a，则A不符合题意；B．2ab＋3ba＝(2＋3)ab

＝5ab，则B符合题意；C．a

与a2不是同类项，无法合并，则C不符合题意；D．5x2y

与3xy2

不是同类项，无法合并，则D不符合题意.考法用代数式表示数量关系2[中考·广安]若x2－2x－3=0，则2x2－4x＋1=_____．7例19试题评析：本题考查逆用去括号变形后，整体代入求整式的值，难度较小.解：由x2－2x－3=0，得x2

－2x=3.故2x2

－4x＋1=2(x2－2x)＋1=2×3＋1=7.考法整式的加减计算3[中考·包头]若一个多项式加上3xy＋2y2－8，结果得2xy＋3y2－5，则这个多项式为__________.例20试题评析：本题考查整式的加减法，能根据题意列出算式是解答本题的关键.解：由题意得，这个多项式为(2xy＋3y2－5)－(3xy＋2y2

－8)=2xy＋3y2－5－3xy－2y2＋8=y2

－xy＋3．y2

－xy＋3考法利用整式的加减解决实际问题4[中考·温州]某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a

元；超过部分每立方米(a＋1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为(

)A.20a元 B.(20a＋24)元C.(17a＋3.6)元 D.(20a＋3.6)元D例21试题评析：此题考查列式及整式的加减，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．解：根据题意，得17a＋(20－17)(a＋1.2)=20a＋3.6(元).故应缴水费为(20a＋3.6)元.1.[中考·上海]下列单项式中，a2b3

的同类项是()A.a3b2

B.3a2b3C.a2bD.ab3B2.下列去括号错误的是(

)A．a－(b＋c)=a－b－cB．a＋(b－c)=a＋b－cC．2(a－b)=2a－bD．－2(a－2b)=－2a＋4bC3.[新考法整体代入法中考·潍坊]若m2＋2m=1，则4m2＋8m－3的值是()A.4B.3C.2D.1D4.某校组织若干师生进行社会实践活动．若学校租用45座的客车x

辆，则余下12人无座位；若租用60座的客车则可少租用1辆，且最后一辆还没坐满，则乘坐最后一辆60座客车的人数是()A．72－15x B．132－15xC．72＋15x D．132－60xB

46.[中考·德阳]若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－5，则这个多项式为_______

.y2－17.[母题教材P103习题T7]某三角形的第一条边长是3m＋2n，第二条边长比第一条边长短m，第三条边长是m＋4n，则该三角形的周长是________

.6m＋8n8.若多项式2x3

－8x2＋x－1与多项式3x3＋2mx2

－5x＋3相加后不含二次项，则m

的值为______．4

解：原式＝5x2y－3xy