沪科版七年级数学上册 4.5 角的比较与补(余)角（第4章 几何图形初步 自学、复习、上课课件）

4.5角的比较与补(余)角第四章几何图形初步逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2角的大小比较角的和、差角平分线补角和余角余角、补角的性质作一个角等于已知角知1－讲感悟新知知识点角的大小比较11.度量法用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.感悟新知2.

叠合法把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条边重合在一起，另一条边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5-1.知1－讲感悟新知使用叠合法比较角的大小时要注意两点：(1)

重合，即顶点重合，一条边重合；(2)

同侧，即另一条边放在重合边的同一侧.知1－讲感悟新知知1－讲特别解读角的大小可以从“数”“形”两个角度进行比较：1.“数”的角度：角的大小和角的度数大小一致，比较其度数大小可得角的大小.2.“形”的角度：角的开口越大角越大，可以通过直接观察比较角的大小，但不够精准，一般利用叠合法比较.3.用叠合法比较角的大小时，一定要把角的另一边落在重合边的同侧.知1－练感悟新知[母题教材P158练习T1]根据图4.5-2，回答下列问题：(1)比较∠FOD

与∠BOD的大小；(2)

比较∠AOD

与∠BOD

的大小；(3)

借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.例1知1－练感悟新知解：∠FOD

与∠BOD

有重合边和重合顶点，且射线OF

在∠BOD

的内部，所以∠FOD<

∠BOD.解题秘方：利用角的大小的比较方法比较大小.(1)比较∠FOD

与∠BOD的大小；知1－练感悟新知解：因为∠AOD

是钝角，∠BOD

是锐角，所以∠AOD>∠BOD.(2)

比较∠AOD

与∠BOD

的大小；(3)

借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.用量角器测量得∠AOE=30°，∠DOF=30°，所以∠AOE=∠DOF.知1－练感悟新知1-1.如图，用“<”把∠AOD

，∠BOD，∠COD连接起来：_______<_______<________．∠COD

∠BOD

∠AOD感悟新知知2－讲知识点角的和、差2角的和与差文字描述数学语言图示角的和∠AOC是∠AOB与∠BOC

的和∠AOC=∠AOB+∠BOC角的差∠AOB

是∠AOC

与∠COB的差∠AOB=∠AOC－∠COB

知2－讲感悟新知特别提醒两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.感悟新知知2－练[母题教材P158例1(2)]根据图4.5-3，回答下列问题：(1)

∠AOC

是哪两个角的和？(2)

∠AOB是哪两个角的差？(3)

如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC

与∠DOB相等吗？例2

知2－练感悟新知解题秘方：根据图中角的位置关系得到角的和差关系.解：∠AOC=∠AOB+∠BOC.(1)∠AOC

是哪两个角的和？知2－练感悟新知解：∠AOB=∠AOD－∠BOD=∠AOC－∠BOC.(2)

∠AOB是哪两个角的差？(3)

如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC

与∠DOB相等吗？因为∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.在等式的两边分别加上相等的量，所得结果仍是等式.知2－练感悟新知2-1.如图，∠BOC

可以写成哪两个角的差？还可以用哪些角的和、差来表示？解：∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠BOD－∠COD.∠BOC＝∠AOD－∠AOB－∠COD＝∠AOC＋∠BOD－∠AOD.感悟新知知2－练

[期中·宿州]如图4.5-4，∠AOC=∠BOD=90°，且∠DOC=15°，则∠AOB=()A.160°B.150°C.140°D.165°例3知2－练感悟新知解题秘方：根据角的和差关系，用已知角的和差表示出未知角.解：因为∠AOC=90°，∠DOC=15°，所以∠AOD=∠AOC－∠COD=75°.又因为∠BOD=90°，所以∠AOB=∠AOD+∠BOD=75°+90°=165°.答案：D知2－练感悟新知

C感悟新知知3－讲知识点角平分线31.角的平分线在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.感悟新知知3－讲

感悟新知知3－讲2.角的n等分线(拓展)类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫作角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等.知3－讲感悟新知特别解读角平分线的“三要素”：(1)

是从角的顶点引出的射线；(2)在角的内部；(3)将已知角平分.角的平分线只有一条，而角的n等分线有(n－1)条.知3－练感悟新知[期末·池州贵池区]如图4.5-6，∠AOB=90°，∠BOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是()A.20°B.25°C.30°D.35°例4

知3－练感悟新知解题秘方：先根据角的和差和角平分线的定义求出∠AOD的度数，再根据角的和差求出∠BOD的度数．

答案：A知3－练感悟新知4-1.

[期末·安庆]如图，直线AB，CD

相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD=2∠BOD.(1)求∠BOE的度数；知3－练感悟新知(2)求∠BOF的度数．知3－练感悟新知如图4.5-7，O为直线AB

上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠EOD=90°.(1)求∠BOD的度数；(2)小明发现OE

平分∠BOC，请你通过计算说明理由.例5知3－练感悟新知解题秘方：利用∠BOD=180°－∠AOD

求解即可；

(1)求∠BOD的度数；知3－练感悟新知解题秘方：分别求出∠COE

和∠BOE

的度数即可.解：因为∠DOE=90°，∠DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－25°=65°.又因为∠BOE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC.(2)小明发现OE

平分∠BOC，请你通过计算说明理由.知3－练感悟新知5-1.如图，点A，O，B在同一条直线上，∠BOC=78°，∠DOE=77°，OD是∠BOC的一条靠近OC

边的三等分线．(1)求∠COE

的度数．知3－练感悟新知知3－练感悟新知(2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由.解：OE是∠AOC的平分线．理由：因为∠COE＝51°，∠BOC＝78°，所以∠AOE＝180°－∠COE－∠BOC＝180°－51°－78°＝51°.所以∠AOE＝∠COE，即OE是∠AOC的平分线．感悟新知知4－讲知识点补角和余角41.补角如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补.数学语言：如果∠3+∠4=180°，就说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，∠3与∠4互为补角，如图4.5-8.感悟新知知4－讲2.余角 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余.

数学语言：如果∠1+∠2=90°，就说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，∠1与∠2互为余角，如图4.5-9.3.互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.知4－讲感悟新知特别解读1.互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2.若两个角互余，则两个角都是锐角；若两个角互补，则两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角.3.互余、互补只与角的度数有关，与位置无关.一个角的余角或补角可以有多个.感悟新知知4－练[期中·宿州]一个角的余角比它的补角的一半少30°，则这个角的度数为_________.例6

60°知4－练感悟新知解题秘方：根据余角和补角的定义设未知数列方程求解即可.

知4－练感悟新知6-1.

[月考·宿州]α的补角是它余角的3倍，则α的度数为(

)A.45°B.60°C.90°D.120°A感悟新知知4－练如图4.5-10，点O

为直线AB上一点，∠AOC=∠DOE=90°.(1)图中互余的角有几对？各是哪些？(2)图中互补的角有几对？各是哪些？例7知4－练感悟新知解题秘方：由已知条件，结合互为余角、互为补角的定义解答.知4－练感悟新知解：因为点O

为直线AB

上一点，所以∠BOC+∠AOC=180°.因为∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=180°－∠DOE=90°，∠3+∠4=∠BOC=180°－∠AOC=180°－90°=90°，所以图中互余的角有4对，分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠1和∠4，∠3和∠4.(1)图中互余的角有几对？各是哪些？知4－练感悟新知解：由已知得∠1+∠BOD=180°，∠4+∠AOE=180°.由(1)可知∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠BOD=180°，∠2+∠AOE=180°.又因为∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠DOE=180°，∠DOE+∠BOC=180°，(2)图中互补的角有几对？各是哪些？知4－练感悟新知所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC

和∠BOC，∠AOC

和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.知4－练感悟新知7-1.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=∠COF=90°，则图中与∠BOC

互补的角有(

)

A.1个

B.2个C.3个D.4个C知4－练感悟新知7-2.如图，点O为直线BE上一点，∠AOE=∠COD=90°，则图中与∠BOC互余的角有(

)A.1个

B.2个C.3个

D.4个B感悟新知知5－讲知识点余角、补角的性质51.余角的性质 (1)同角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.(2)

等角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.同一个角.度数相等的角.感悟新知知5－讲2.补角的性质(1)

同角的补角相等.如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.(2)

等角的补角相等.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.知5－讲感悟新知特别解读1.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2.余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据.感悟新知知5－练如图4.5-11，已知O

是直线AB

上的一点，OC是一条射线，OD

平分∠AOC，∠DOE=90°，则OE

平分∠BOC吗？为什么？例8

解题秘方：紧扣角平分线的定义判断，利用余角的性质说明两个角相等.知5－练感悟新知解：OE

平分∠BOC.理由如下：因为∠DOE=90°，所以∠DOC+∠COE=90°.又因为∠AOB=180°，所以∠AOD+∠BOE=90°.因为OD

平分∠AOC，所以∠AOD=∠DOC，所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC.知5－练感悟新知8-1.

[期末·台州]如图，点O在直线AE

上，∠AOB=∠COD=90°，则图中除了直角外，一定相等的角有(

)A.3对

B.2对C.1对D.0对B感悟新知知5－练如图4.5-12，直线AB与∠COD

的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1+∠2=180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由.例9知5－练感悟新知解题秘方：利用补角的性质找出与∠2相等的角.解：因为∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，所以∠3=∠2.因为∠1+∠4=180°，∠1+∠2=180°，所以∠4=∠2.因为∠2+∠5=180°，∠6+∠5=180°，所以∠2=∠6.所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.知5－练感悟新知9-1.如图，点O

在直线AB上，∠BOC=90°，∠BOD和∠COD互补.(1)请说明∠AOD=∠COD；解：因为∠BOD和∠COD互补，所以∠BOD＋∠COD＝180°.因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°，所以∠BOD＋∠AOD＝180°.所以∠AOD＝∠COD.(同角的补角相等)知5－练感悟新知(2)求∠AOD

的度数．感悟新知知6－讲知识点作一个角等于已知角6方法一先用量角器量出已知角的度数，再画一个等于这个已知角的度数的角.感悟新知知6－讲方法二(尺规作图)

已知：∠AOB(如图4.5-13①)

.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.作法：(1)

在∠AOB上以点O

为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N(如图4.5-13①)；感悟新知知6－讲(2)

作射线O′M′，并以点O′为圆心，OM

长为半径画弧，交O′M′于点A′；(3)

以点A′为圆心，MN

长为半径画弧，与第(2)

步中所画弧交于点B′；(4)作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角(如图4.5-13②)

.知6－讲感悟新知特别解读尺规作图的关键是要掌握作图的