4.3.2第2课时等比数列前n项和的性质及应用

第2课时等比数列前n项和的性质及应用必备知识基础练1.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前3项和S3=21,则a3+a4+a5等于()A.33 B.72C.84 D.1892.已知数列{an}是等比数列,且公比q不为1,Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论一定正确的为()A.S8B.2S8≠S4+S12C.S8D.(S2nSn)2=Sn(S3nS2n)(n∈N*)3.(2021江苏南京师大附中高二期末)已知{an}是等比数列,{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别是A,B,C,则()A.A+B=CB.3B3A=CC.B2=ACD.B(BA)=A(CA)4.已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=()A.11 B.12 C.13 D.145.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层有灯()A.2盏 B.3盏 C.5盏 D.6盏6.(2021天津河西高二期末)已知等比数列的首项为1,前n项和为Sn,若S10S5=3132A.2 B.2 C.12 D.7.(多选题)(2021江苏常州高二期中)记数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,下列四个命题中不正确的有()A.对于∀n∈N*,an+12=anan+2,则数列{anB.若Sn=Aqn+B(非零常数q,A,B满足q≠1,A+B=0),则数列{an}为等比数列 C.若数列{an}为等比数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n,…仍为等比数列 D.设数列{an}是等比数列,若a1<a2<a3,则{an}为递增数列8.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,则S10S4=.

9.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2020=.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=13Sn,n∈N*,求(1)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;(2)a2+a4+a6+…+a2n的值.关键能力提升练11.(2021河南驻马店高二期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n1)(n∈N*),a1a2a3=27,则a5=()A.81 B.24 C.81 D.2412.(2021陕西商洛高三期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3=5,S4=20,则S8-2SA.9 B.10 C.12 D.1713.某工厂购买一台机器价格为a万元,实行分期付款,每期付款b万元,每期为一个月,共付12次,如果月利率为5‰,每月复利一次,则a,b满足()A.b=aB.b=aC.b=aD.a12<b<14.等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为8532,偶数项之和为2116,这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1),则Tn的最大值为(A.14 B.12 C.1 D15.(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()A.q=2B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8=510D.数列{log2an}是公差为2的等差数列16.(多选题)在《算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是()A.此人第三天走了四十八里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第二天走的路程占全程的1D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍17.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=bn+12(b>0,b≠1),则a4=.

18.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前n个内切圆的面积和为.

19.已知正项等差数列{an}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{bn}的前三项,a2=3.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,kTn+32≥3n6恒成立,学科素养创新练20.(2021江苏南京师大附中高二期末)王先生今年初向银行申请个人住房贷款150万元购买住房,月利率为0.4%,按复利计算,并从贷款后的次月初开始还贷,分25年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式:①等额本金:在还款期内把本金总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息;②等额本息:在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式,已知第一个还贷月应还11000元,最后一个还贷月应还5020元,试计算王先生该笔贷款的总利息;(2)若王先生采取等额本息的还贷方式,银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半,已知王先生家庭月收入为18000元,试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)参考数据:1.004299≈3.30,1.004300≈3.31,1.004301≈3.32.

参考答案第2课时等比数列前n项和的性质及应用1.C设公比为q,则S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q26=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.2.D若q=1,且n为偶数,则有Sn=0,∴S4=S8=S12=0,此时,A,B,C不成立;根据等比数列的性质也可以得到选项D正确.故选D.3.D若公比q≠1或虽q=1但n为奇数时,A,BA,CB成等比数列,故(BA)2=A(CB),整理得B2AB=ACA2,即B(BA)=A(CA),若公比q=1,且n为偶数时,A=B=C=0,满足此式.故选D.4.B由题意可得所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和的4倍,可知S奇+S偶=4S偶.设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可得S偶=qS奇,∵S偶≠0,∴q=13又前3项之积a1a2a3=a23=64,解得a2∴a1=a2q=12.故选5.B设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a(1-27)1-26.D(方法1)当公比q=1时,S10S5=2,不满足题意,当q≠1时,S10=q10-11-q,S5=q5-11-(方法2)由S10S5=3132可知,设S10=31k,S5=32k(k≠0),则由S10=S5+q5S5可知,31k=S5(1+q5)=32k(1+q7.AC若an=0,满足对于∀n∈N*,an+12=anan+2,但数列{an}不是等比数列,故对于B,当n≥2时,an=SnSn1=Aqn+B(Aqn1+B)=Aqn1(q1)且q≠1,当n=1时,因为A+B=0,则a1=S1=Aq+B=A(q1)符合上式,故数列{an}是首项为A(q1),公比为q的等比数列,故B正确;若数列{an}为等比数列,当公比q=1,且n为偶数时,此时Sn,S2nSn,S3nS2n,…均为0,不是等比数列,故C错误;设数列{an}是等比数列,且公比为q,若a1<a2<a3,即a1<a1q<a1q2,若a1>0,可得1<q<q2,即q>1,则{an}为递增数列;若a1<0,可得1>q>q2,即0<q<1,则{an}为递增数列,故D正确.8.2016依题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10S4=2(1-2109.3·210103∵an+1·an=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又an+2·an+1=2n+1,∴an+2∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S2020=(a1+a3+…+a2019)+(a2+a4+…+a2020)=21010-12-1+10.解(1)由a1=1,an+1=13Sn,n=1,2,3,…,a2=13S1=13a1=a3=13S2=13(a1+a2)=a4=13S3=13(a1+a2+a3)=由an+1an=13(SnSn1)=13an(n≥2),得an+1=43an(∵a2=13,∴an=1343n∴数列{an}的通项公式为an=1(2)由(1)可知,a2,a4,…,a2n是首项为13,公比为432,项数为∴a2+a4+a6+…+a2n=13·111.D由等比数列的性质可得a1a2a3=a23=27,解得a2=设等比数列{an}的公比为q,则S2n=3(a1+a3+…+a2n1)=(q+1)(a1+a3+…+a2n1),所以q=2,所以a5=a2×q3=3×23=24.12.B设等比数列{an}的公比为q,因为S4=a1+a2+a3+a4=a1+a3+a2+a4=a1+a3+q(a1+a3)=(1+q)(a1+a3)=5(1+q)=20,所以q=3.则S8-2S4S613.D显然12b>a,因为b(1+1.005+1.0052+…+1.00511)=a(1+0.005)12,所以12b<a(1+0.005)12,所以b<a(1+5‰)121214.D设数列{an}共有(2m+1)项,由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=8532,S偶=a2+a4+…+a2m=2116,因为项数为奇数时,S奇=a1+S偶·q,即2+2116q=8532,所以Tn=a1·a2·…·an=a1nq1+2+…+n1=故当n=1或2时,Tn取最大值2.15.ABC因为数列{an}为等比数列,又a1a4=32,所以a2a3=32.又a2+a3=12,所以a又公比q为整数,则a2=4,a由上可知an=2n,Sn=2×(1-2Sn+2=2n+1,Sn+1则数列{Sn+2}是等比数列,即选项B正确;S8=292=510,即选项C正确;log2an+1log2an=(n+1)n=1,即数列{log2an}是公差为1的等差数列,即选项D错误.故选ABC.16.ABD根据题意此人每天行走的路程成等比数列,设此人第n天走an里路,则{an}是首项为a1,公比为q=12的等比数列所以S6=a1(1-q6)1a3=a1q2=192×14=48,所以A正确由a1=192,则S6a1=378192=186,又192186=6,所以B正确.a2=a1q=192×12=96,而14S6=94.5<96,所以Ca1+a2+a3=a1(1+q+q2)=192×1+12+14=336,则后3天走的路程为378336而且42×8=336,所以D正确.故选ABD.17.16当n≥2时,an=SnSn1=(b1)·bn.因为a1=S1=b22,所以(b1)b=b22,解得b=2,因此Sn=2n+12,于是a4=S4S3=16.18.1-14nπ根据题意知第一个内切圆的半径为36×3=32,面积为34π,第二个内切圆的半径为34,面积为316π……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为34π19.解(1)设公差为d,根据题意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,∴3d26d=0,∴d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,∴a1=1,an=2n1.∵b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴bn=3n.(2)由(1)知b1=3,公比q=3.∴Tn=b1∴3n+1-32+32k≥3n∵Tn>0,∴k≥2n-43n对n令cn=2n-43n,cncn1=2n-43n-2n-63n-1=-2(2n∴(cn)max=c3=227,故k≥220.解(1)由题意可知等额本金还贷方式中,每月的还贷额构成一个