初等代数研究(-第2章-)

第二章式§1式的概念§2多项式§3分式§4根式§5指数式与对数式§6三角式与反三角式2024/10/6初等代数研究2一、基本概念§1式的概念2024/10/6初等代数研究3一、基本概念定义1

用运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫做解析式，约定：单独一个数或一个字母也看作是解析式．

代数运算：加、减、乘、除、乘方（指数为有理数）、开方初等超越运算：乘方（指数为无理数）、对数、三角、反三角等）§1式的概念初等运算2024/10/6初等代数研究4二、解析式的分类定义2

只含有代数运算的解析式叫做代数式；含有初等超越运算的解析式叫做初等超越式，简称超越式．§1式的概念代数式初等超越式：指数式（，为无理数），对数式，三角式，反三角式等．无理式有理式整式分式单项式多项式解析式2024/10/6初等代数研究5二、解析式的分类§1式的概念2024/10/6初等代数研究6三、解析式的恒等定义2.如果两个解析式A和B，对于它们的变数字母在公共定义域中所有取值都有相同的值,则称这两个解析式恒等的,记作

A≡B，或A=B。§1式的概念2024/10/6初等代数研究7三、解析式的恒等定义3.一个解析式转化为另一个与它恒等的解析式,这种转换叫做解析式的恒等变换（或恒等变形）.§1式的概念2024/10/6初等代数研究8§2多项式一、基本概念定义1.设n是一个非负整数，形如

f(x)=,,叫做一元多项式。2024/10/6初等代数研究9二、多项式的恒等定理：定理1.如果在给定数域F里，对于变数字母的任意值，多项式的值都等于零，那么这个多项式的所有系数都等于零。定理2（多项式恒等定理）：数域F上的两个多项式恒等⇔它们的次数相同，且同次项系数对应相等．定理3:

如果数域F上有两个次数不大于n的多项式f(x)和g(x)，对于x的n+1个不同的值都有相等的值，那么f(x)≡g(x)。§2多项式2024/10/6初等代数研究10§2多项式2024/10/6初等代数研究11三、待定系数法

P80-81例3以x-2的幂表示多项式

3x3-13x2+8x-2.§2多项式2024/10/6初等代数研究12例4分解因式例5分解因式四、多项式的因式分解1.待定系数法因式分解2.余数定理和综合除法余数定理——多项式f(x)有因式(x-a)的充要条件是f(a)=0。3.其他方法2024/10/6初等代数研究13§3分式

一、基本概念

1.有理分式2.分式的恒等二、分式的性质

既约分式

三、代数延拓原理四、分式的恒等变形

2024/10/6初等代数研究15§3分式四、分式的恒等变形2024/10/6初等代数研究16§4根式一、基本概念

1.根式定义：含有开方运算的代数式叫做根式．当根式的根号内含有变数字母时，就称它为无理式．

2.方根和算术根

，n为奇数，n为偶数2024/10/6初等代数研究17二、根式的运算法则和变形1.根式的运算法则法则1

（根式的基本性质）法则2

法则3

§4根式2024/10/6初等代数研究18法则4

法则5

最简根式

（1）根指数与被开方数幂指数互质；（2）被开方数因式的幂指数小于根指数；（3）被开方数不含分母。3.根式的运算§4根式2024/10/6初等代数研究19三、复合二次根式§4根式四.共轭因式（有理化因式.略）2024/10/6初等代数研究20例1化简例2化简例3证明§4根式2024/10/6初等代数研究21§4根式练习：P120：24～302024/10/6初等代数研究22§5指数式与对数式

在历史上，英国数学家纳皮尔（1614）发表了第一张对数表,而现代指数记号的创设则始于笛卡儿（正整数指数，1637年）和牛顿（分数指数，1676年），18世纪欧拉研究了指数式和对数式的关系．2024/10/6初等代数研究23§5指数式与对数式一、指数式

运算律（a，b>0，m，n∈R）

am·an=am+n；(an)m=anm；(ab)n=an·bn。二、对数式

1.定义：ab=N⇔b=㏒aN

（a>0且a≠1）

2.性质性质8.换底公式

——如何证明？2024/10/6初等代数研究24例1求证：lg2是无理数。

分析：存在两个正整数满足且，，，考察5和2的幂的末位数即知矛盾。练习：P120：33～38§5指数式与对数式2024/10/6初等代数研究25习题：P120～121：33～38§5指数式与对数式解：2a·5b=10=2·5⇒2a-1=51-b

取对数得(a-1)lg2=-(b-1)lg5,

同理得(c-1)lg2=-(d-1)lg5,

两式相乘得-(a-1)(d-1)lg2lg5=-(b-1)(c-1)lg2lg5.P121：342024/10/6初等代数研究26§6三角式与反三角式一、三角式

——只含有三角函数的解析式。二、反三角式

——只含有反三角函数的解析式。练习：39～492024/10/6初等代数研究27§6三角式与反三角式练习：39～4939.化简：（1）（1+tan1°