5.2 导数的运算（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5.2导数的运算（精讲）考点一导数公式求函数的导数【例1】（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）（2）（3）（4）（5）【一隅三反】1．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由，可得；（2）由，可得；（3）由，可得；（4）由，可得.2．（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【答案】(1)0(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】（1），.（2）.（3）.（4），.（5），.（6）.（7）.（8）.考点二运算法则求函数的导数【例2】（2023秋·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【一隅三反】1．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）（2）（3）．（4）．2．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）．（2）．（3）．3．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解析】（1），（2），（3），（4），（5）（6）考点三求复合函数的导数【例3】（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）函数可以看作与复合而成，根据复合函数求导法则有．（2）函数可以看作与复合而成，根据复合函数求导法则有．（3）函数可以看作与复合而成，根据复合函数求导法则有.【一隅三反】1．（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）令，则，所以，，所以.（2）令，则，所以，，所以.（3）令，则，所以，，所以.（4）令，则，所以，，所以.2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以（4）因为，所以考点四切线方程【例4】（2023·云南）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】(1)(2)，切点为【解析】（1）由，得，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）设切点为，由（1）得，所以切线方程为，因为切线经过原点，所以，所以，．则，所以所求的切线方程为，切点为．【一隅三反】1．（2023春·广东惠州·高二统考期中）已知函数.(1)曲线在点处的切线方程；(2)曲线过点的切线方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为，所以，又，所以曲线在处的切线方程为，即；（2）解：设切点为，则，所以切线方程为，

因为切线过点，所以，即，解得，

故所求切线方程为．2．（2023秋·高二课时练习）已知曲线.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过原点的切线方程及切点坐标.【答案】(1)(2)，【解析】（1），在点处的切线的斜率为，切线的方程为，即；（2）设切点为,，则直线的斜率为，直线的方程为，又直线过点，，整理得，，，，．直线的方程为，切点坐标为．考点五切线方程的应用【例5-1】（2022·高二课时练习）已知和曲线相切的直线的倾斜角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，得,因为，当且仅当时，等号成立，所以，即和曲线相切的直线的斜率的取值范围为，即，又，所以的取值范围为．故选：D．【例5-2】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则．【答案】5【解析】由，得，由，解得，则直线与曲线相切于点，∴，得，∴直线是曲线的切线，由，得，设切点为，则，且，联立可得，解得，所以．∴．故答案为：5．【例5-3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考阶段练习）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设与直线平行的直线的方程为，∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，设切点，，所以，，，，点，直线的方程为，两点间距离的最小值为平行线和间的距离，两点间距离的最小值为.故选：.【一隅三反】1．（2023·北京）已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为.【答案】2【解析】设是图像上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，所以.故答案为：2．（2023春·安徽亳州·高二涡阳四中校考阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则.【答案】【解析】由可得：设直线与曲线相切于，则有.所以切线方程可表示为，即.由可得：设直线与曲线相切于，则有.所以切线方程可表示为，即.所以，消去s，整理得：，解得：，所以.所以斜率.故答案为：3．（2023秋·高二课时练习）点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最短距离为【答案】【解析】由题，令，解得或（舍）．曲线上距离最近的点坐标为，则所求距离为：.故选：D.4．（2023·高二课时练习）已知曲线．(1)求曲线在点处切线的方程；(2)设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为，则，则，所以，曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：因为，即，又因为，所以，，故的取值范围是.考点六实际应用【例6】（2022·高二课时练习）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（

）A．20天 B．30天 C．45天 D．60天【答案】D【解析】由得，因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，即，解得，则，当该放射性同位素含量为贝克时，即，所以，即，所以，解得.故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）已知一罐汽水放入冰箱后的温度x（单位：）与时间t（单位：h）满足函数关系．(1)求，并解释其实际意义；(2)已知摄氏度x与华氏度y（单位：）满足函数关系，求y关于t的导数，并解释其实际意义．【答案】(1)，实际意义见解析；(2)，实际意义见解析.【解析】（1）由，求导得，所以，在第1时，汽水温度的瞬时变化率为，说明在第1附近，汽水温度大约以的速率下降.（2）依题意，，求导得，所以y关于t的导数为，在第时，汽水温度的瞬时变化率为，说明在第附近，汽水温度大约以的速率下降.2．（2023秋·高二课时练习）吹一个球形的气球时，气