4.2.2 等差数列的前n项和（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练选择性必修二

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4.2.2等差数列的前n项和（精练）1等差数列基本量的计算1．（2022·四川省）等差数列的前项和为，已知，，则公差为（

）A．-1 B．2 C．3 D．-2【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，由题意可得：

，解得：.故公差为3.故选：C2.（2022·六盘山）《算法统宗》是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，数列是以为公差的等差数列，因为，解得，所以.故选：C.3．（2022·江苏·高二课时练习）在等差数列中，(1)已知，，求；(2)已知，求；(3)已知，，求；(4)已知，，，求．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)设公差为d，则，解得，所以.(2)由，而，所以.(3)由题设，，而，则，若公差为d，则，可得，所以.(4)由，又，，所以，可得.4．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．(1)已知，公差，，求和；(2)已知，公差，，求n和；(3)已知，，，求公差d和；(4)已知，，，求和公差d．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【解析】(1)等差数列中，公差，，，；(2)等差数列中，，由，可得，(3)等差数列中，，由，可得，(4)等差数列中，，，由，可得2等差数列前n项和与中项性质1．（2022·天津·高二期末）若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.【答案】【解析】依题意可得；故答案为：2．（2022·全国·高二课时练习）已知、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，则______．【答案】2【解析】因为、都是等差数列，为的前n项和，为的前n项和，且，所以，故答案为：23．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．【答案】【解析】因为为等差数列，所以，所以.故答案为：3等差数列前n项和性质1．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（

）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故选：D.2．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列是等差数列，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，设，则，因为数列是等差数列，所以，……，是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，，所以，故选：A3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若，，则（

）.A．110 B．120 C．130 D．140【答案】C【解析】设公差为d，则，所以，所以.故选：C4．（2021·安徽滁州·高二阶段练习）已知为等差数列的前n项和，且，，则（

）．A．35 B．50 C．80 D．110【答案】C【解析】由为等差数列的前n项和，则，，，也成等差数列，所以5，15，，成等差数列，即，，所以．故选：C5．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．∵a1＝﹣2018，，∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．6．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（

）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018【答案】A【解析】因为为等差数列的前项和，令，则也为等差数列，设其公差为，由得，又得.故选：A．7．（2022·广东）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【解析】奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．8．（2021·全国·高二专题练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，，所以，所有奇数项的和为，于是可得.故选：A.9．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________【答案】【解析】由题设成等差数列，所以，则，所以.故答案为：10．（2022·辽宁·高二期末）等差数列中，，前项和为，若，则______.【答案】【解析】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为，，，，，则故答案为：11．（2022·全国·高二）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.【答案】2【解析】由,得,所以＝5d＝10，所以d＝2.故答案为：2.12．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．【答案】29【解析】】因为为奇数，所以，解得．所以，所以．故所求的中间项为29．故答案为：294等差数列前n项和的最值1．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）（多选）已知递减的等差数列的前项和为，，则（

）A． B．最大 C． D．【答案】ABD【解析】因为，故，所以，因为等差数列为递减数列，故公差，所以，故AB正确.又，，故C错误，D正确.故选：ABD.2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6＜S7，S7＝S8＞S9，则下列结论中正确的是（

）A．d＞0 B．a8＝0C．S10＞S6 D．S7，S8均为Sn的最大项【答案】BD【解析】∵S6＜S7，S7＝S8＞S9，∴，a8＝0，d＜0，且a1＞0，∴S7，S8均为Sn的最大项，故A错误，B和D正确；∵Sn是关于n的二次函数，且开口向下，对称轴为7.5，∴S10＜S6，故C错误，故选：BD.3．（2022·四川）已知等差数列的前项和为，则（

）A．若，，则， B．若，，则，C．若，，则， D．若，，则，【答案】B【解析】设等差数列的公差为，A选项，若，，，，则，，则，，无法判断符号，A选项错误.B选项，，则，所以，所以.，则，所以，，B选项正确.C选项，若，，，，则，，则，则，，C选项错误.D选项，若，，则，当时，所以，但，所以D选项错误.故选：B4．（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）（多选）已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为，，所以，，故等差数列首项为负，公差为正，所以，，故A正确，B错误；由，可知，所以，故C错误；因为，所以，故D正确．故选：AD5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（

）A． B．C．数列的最大项为 D．【答案】ABD【解析】因为，，所以，A正确；，所以，B正确；因为，，所以数列的最大项为，C不正确；因为，，，所以，即，D正确．故选：ABD．6．（2022·云南·昆明一中高二期末）（多选）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则是中的最小项【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，得，所以A正确，对于B，因为，所以，得，因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，所以D错误，故选：AC7．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列的通项公式为，则其前项和的最大值为____________.【答案】【解析】根据题意，，所以当时，有最大值且最大值为：.故答案为：8．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2021＜0，S2022＞0，则当Sn最小时，n的值为__．【答案】1011【解析】因为等差数列{an}的中，S20212021a1011＜0，S2022＝1011（a1+a2022）＝1011（a1011+a1012）＞0，所以a1011＜0，a1011+a1012＞0，则当Sn最小时，n＝1011．故答案为：1011．5含有绝对值等差数列求和1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：；

条件②：；

条件③：.）选择条件和．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，并求数列的前项的和【答案】(1)(2)当时，当时【解析】（1）选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，选①③，无法确定数列.（2），其中,当，时，当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.2．（2022·辽宁·高二期中）已知在前n项和为的等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前20项和．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，则，由，则，所以，即，故，则.(2)由（1）知：，可得，即，故时，所以.3．（2022·四川省）已知数列{an}是等差数列，公差为d，Sn为数列{an}的前n项和，a1+a7=-2，S3=15.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.【答案】(1)(2)Tn=【解析】(1)解法一∵{an}是等差数列，公差为d，且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).解法二∵{an}是等差数列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).(2)令an≥0，则-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，∴当n≤3时，an>0;当n≥4时，an<0.∵a1=8，an=-3n+11，∴当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，∴Tn=4．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）等差数列的前项和为．已知，为整数，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：设等差数列的公差为，因为，则，可得，即，解得，因为，则，，因此，.此时，故当时，取得最大值，合乎题意，所以，.(2)解：由（1）知，所以，因此，.5．（2021·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）记为等差数列的前项和，已知.(1)求的通项公式.(2)记，求.【答案】(1)(2)【解析】(1)设公差为d，则，又，所以，，故，所以，所以(2)当时，，当时，，所以当时，，当时，综上：6．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)求数列的前项和.【答案】(1)，(2)，【解析】（1）设的公差为，则，解得，所以，.（2）由，得，所以当时，；当时，，所以当时，；当时，，所以，.7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知数列中，，（，），数列满足．(1)证明是等差数列，并求的通项公式；(2)求；(3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①时，=；②时(3)，；理由见解析【解析】（1）证明