专题04函数奇偶性单调性周期性对称性归类

专题04函数奇偶性、单调性、周期性、对称性归类目录TOC\o"11"\h\u题型一：奇偶性基础 1题型二：单调性基础 5题型三：周期性基础 7题型四：中心与轴对称应用：左右平移 9题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型 11题型六：中心与轴对称应用：轴对称型 14题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称 17题型八：中心与轴对称应用：中心对称 19题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和 22题型十：中心与轴应用：“隐对称点” 24题型十一：双函数型中心、轴互相“传递” 26题型十二：函数型不等式：“优函数”型 30题型十三：类周期型函数 32题型十四：“放大镜”函数类周期性质 36题型一：奇偶性基础判定函数的奇偶性的常见方法：判定函数的奇偶性的常见方法：（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数；（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上.常见的函数奇偶性经验结论（在定义域内）：1.加减型：奇+奇→奇偶+偶→偶奇奇→奇偶偶→偶奇+偶→非奇偶→非2.乘除型（乘除经验结论一致）奇X奇→偶偶X偶→偶奇X偶→奇奇X偶X奇→=偶简单记为：乘除偶函数不改变奇偶性，奇函数改变3.上下平移型：奇+c→非偶+c→偶4.复合函数：若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f[g(x)]为奇函数若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f[g(x)]为偶函数1.（2023·全国·高三专题练习）若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.【详解】若，则，则是偶函数，故A错误；若，则,则是偶函数，故B错误；若，则，则是奇函数，故C正确；若，则，则是偶函数，故D错误.故选：C2.（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇偶函数的定义可得，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题意可得，解得，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.3.（2023春·湖北武汉·高三武汉市开发区一中校考阶段练习）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解.【详解】由题可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立解得，又因为对任意的，都有成立，所以，所以成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，(i)若，则对称轴，解得；(ii)若，在单调递增，满足题意；(iii)若，则对称轴恒成立；综上，，故选：B.4.（2023·吉林延边·高三延边二中校考开学考试）函数是的奇函数，是常数．不等式对任意恒成立，求实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据奇偶性求出，然后判断函数的单调性，结合性质把转化为，求解的最小值可得.【详解】因为是的奇函数，所以，所以；因为，所以可得，此时，易知为增函数.因为所以，即，因为，所以.故选A.5.（2023秋·山西·高三校联考期中）已知函数为奇函数，则的值是（

）A．0 B． C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.【详解】因为函数为奇函数，所以，即，即或，显然函数的定义域为关于原点对称，且当时，有，从而有，当时，有，但，所以，即，所以.故选：D.6.（2024年高考天津卷）下列函数是偶函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，，则，则不是偶函数，故D错误.故选：B.题型二：单调性基础单调性的运算关系：单调性的运算关系：①一般认为，－f(x)和eq\f(1,fx)均与函数f(x)的单调性相反； ②同区间，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)是[a,b]上的增函数； ②eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；(3)复合函数单调性结论：同增异减．1.（2122高三·全国·课后作业）如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0【答案】C【解析】根据函数单调性的定义，对每个选项进行逐一分析即可.【详解】因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).故不正确的是：.故选：.2.（2324高三·福建厦门·模拟）已知定义在上的奇函数满足①；②，，且，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题目条件得到在上单调递增，且为偶函数，，其中，根据函数单调性和奇偶性得到不等式，求出解集.【详解】不妨设，，故在上单调递增，因为为定义在上的奇函数，所以，故定义域为，且，故为偶函数，因为，所以，，所以，解得或.故选：A3.（2223高一上·重庆沙坪坝·期末）已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意确定函数的单调性和对称轴即可求解.【详解】由可得，即，也即，当时，，当时，，所以函数在单调递增，又因为为偶函数，所以的图象关于对称，所以在单调递减，且，所以由得解得,故选:A.4.（2223高三·浙江·模拟）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（

）①若单调递增，单调递增，则单调递增；②若单调递增，单调递减，则单调递增；③若单调递减，单调递增，则单调递减；④若单调递减，单调递减，则单调递减.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】利用函数单调性定义证明②③正确，举反例说明①④错误.【详解】对于命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误；对于命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确；对于命题③，设，则，，∴，∴，故单调递减，命题③正确.对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误.故选：C5.（2324高三·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解.【详解】由题意知：，可得，且，即，令，不妨设，可得，则，即，所以在上单调递减，则不等式，且，转化为，因为，所以，则，解得，所以不等式的解集为.故选：D.题型三：周期性基础周期性周期性①若f(x＋a)＝f(x－b)⇔f(x)周期为T＝a＋b.②常见的周期函数有：f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)或f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期均为T＝2a.1.（2223高三·重庆沙坪坝·模拟）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（

）A． B．1C．0 D．1【答案】D【解析】将用替换，用替换，可得，从而可得，进而可得，可求出函数的周期，再令，可求出，由即可求解.【详解】将用替换，用替换，由对任意实数，都有，可得，由，所以，即，所以，所以函数的周期，令，则，因为，所以，所以，故选：D2.（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是()A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数【答案】A【分析】根据对称性可判断周期，结合周期可得奇偶性.【详解】∵为偶函数，∴，又故，因此可得，所以是以10为周期的周期函数，结合周期可得。是一个偶函数．故选：A.3.（2324高三·湖南衡阳·阶段练习）已知函数满足，对任意实数x，y都有成立，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】令，得，然后做恒等变形，得出函数的周期，然后求出一个周期内的各个值即可.【详解】因为且，令，得，则，所以，即，所以，所以，故函数是周期为6的周期函数.令，，得，则，令，，得，则，由，得，，，，所以，又，故由函数的周期性知，，故选：D.4.（2223高三安徽·阶段练习）已知是定义在上的函数，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知关系式可推导得到，可知周期为，结合的值可求得，由可得结果.【详解】，，是周期为的周期函数，，，.故选：B.5.（2122高三·贵州六盘水·）函数的定义域为，若且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题首先可根据题意计算出、、、的值，然后根据计算出的值得出规律，并根据得出的规律求出的值.【详解】因为，，所以，则，，，由上述函数值可知：当、、、、、时，函数的值按照、、、循环，故，故选：D.题型四：中心与轴对称应用：左右平移图形变换图形变换时，对称轴和堆成中心也跟着平移(1)平移变换：上加下减，左加右减(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)； ②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)．1.（2023·四川南充·阆中中学校考模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据为奇函数，为偶函数，可得函数的周期，且为偶函数，根据时，，求的值得此时解析式，即可求得的值.【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，又为偶函数，，则关于对称，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，则，所以为偶函数则，所以，所以所以，解得，所以当时，所以.故选：B.2.．（2023·全国·高三专题练习）已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数的周期性，及在上的单调性即可判断作答.【详解】由为奇函数，得，即，又由为偶函数，得，即，于是，即，因此的周期为8，又当时，，则在上单调递增，由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称，，，，，显然，即有，即，所以a，b，c的大小关系为.故选：D3.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定的条件，探求函数的性质，再逐项分析判断作答.【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即，又为奇函数，则，即有，亦即，因此，即，由，得，则有，即函数是上的偶函数，又，从而是周期为6的周期函数，显然，而没有条件能求出，即CD错误；，没有条件能求出，A错误；由，得，即，所以，B正确.故选：B4.（2023·陕西·统考二模）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（

）A．3 B． C． D．6【答案】A【分析】利用函数的奇偶性得出函数的周期，从而求值.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，所以有，由为偶函数可得：，故有即，，故，所以周期，故故选：A5.（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据奇偶性可确定图象关于直线和点对称，由此可推导得到结果.【详解】为偶函数，，图象关于直线对称，；为奇函数，，图象关于点对称；.故选：A.题型五：中心与轴对称应用：伸缩变换型带系数：系数不为带系数：系数不为1，类比正弦余弦的带系数形式，提系数平移平移变换：左右或者上下左加右减1.（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（

）A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】解：（法一）根据为奇函数，得到关于对称，再由是上的奇函数，得到过，然后由为偶函数，得到关于对称，再结合推出的周期为4即可.（法二）举例判断；【详解】解：（法一）因为为奇函数，所以关于对称，又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有；又为偶函数，所以，所以关于对称；所以有，又，所以，所以周期为4，所以由，得，所以为奇函数，所以①②④正确.（法二）举例：符合题意，再验证得到①②④正确.故选：D.2.（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据所给条件结合函数的奇偶性赋值求解.【详解】因为是奇函数，所以，令可得，又因为是偶函数，所以，令则有，中令可得，所以，故选:A.3.（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C． D．的一个周期为8【答案】C【分析】根据是奇函数，可得，判断B;根据是偶函数，推出，判断A;继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C.【详解】由题意知是奇函数，即，即，即，故的图象关于点对称，B结论正确；又是偶函数，故，即，故的图象关于直线对称，A结论正确；由以上可知，即，所以，则，故的一个周期为8，D结论正确；由于，令，可得，而的图象关于直线对称，故，C结论错误，故选：C【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.4.（2023秋·湖北恩施·高三校联考模拟）已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及，再利用复合函数的导数推出的周期以及，进而可求解.【详解】因为为偶函数，所以，即，即函数图象关于对称，则，因为为奇函数，所以，即函数图象关于点对称，则，所以，则，所以函数以4为周期，，因为，所以，即，即，也即，令，则有，所以，由得，所以以4为周期，所以，所以，C正确，对于其余选项，根据题意可假设满足周期为4，且关于点对称，，故A错误；，B错误；，D错误，故选:C.5.（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数．设，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据为奇函数，得到，两边同时求导得到的图象关于直线对称，同理由为偶函数，得到函数的图象关于点对称，两者联立得到为周期函数，且周期为求解.【详解】解：因为为奇函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以的图象关于直线对称．因为为偶函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以函数的图象关于点对称．所以，，，所以，函数为周期函数，且周期为，则有，，所以．故选：B.题型六：中心与轴对称应用：轴对称型1.（2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数关于直线对称，则．【答案】【分析】先通过定义域关于直线对称求出，再通过求出，证明函数关于直线对称后，代入值求即可.【详解】函数的定义域为，又函数关于直线对称，即定义域也关于直线对称，，，解得，证明：关于直线对称，，故关于直线对称，.故答案为：.2.（2023上·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若方程有且仅有三个根，且为其一个根，则其它两根为.【答案】、【分析】利用函数的对称性可得出方程另外两根.【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称，因为方程有且仅有三个根，且为其一个根，则为该方程的一根，在等式中，令，可得，因此，方程的另外两根为、.故答案为：、.3.（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）已知函数满足，且当时，，设，则的大小关系是．【答案】【分析】根据条件判断出在上是增函数，进而利用单调性即可求出结果.【详解】因为，所以，当时，，所以在上是增函数.因为，所以，即，所以.故答案为：.4.（广东省七校联合体20202021学年高二下学期2月联考数学试题）若函数有且只有一个零点，又点在动直线上的投影为点若点，那么的最小值为__________.【答案】【分析】易知：为偶函数，若要若函数有且只有一个零点，则，解得：，根据题意，直线过定点：，则点在以线段为直径的圆上，再根据圆外一点到圆上最短距离即可得解.【详解】由可得为偶函数，若要若函数有且只有一个零点，根据偶函数的性质有，解得：，故点直线过定点，定点：，由点在动直线上的投影为点则点在以线段为直径的圆上，圆心为，半径，所以.故答案为：.5（四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2021届高三第一学期11月月考）.已知，，，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性的定义可知在为R上的偶函数，再利用导数可知在区间单调递增，于是，，即为，由函数的性质可得，，从而等价转化为，恒成立，不等号两侧分别构造函数，求得构造的左侧函数的最大值及右侧函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．解：函数的定义域为，为R上的偶函数，又，，在R上单调递增，又，∴当时，，在区间单调递增．不等式，由偶函数性质可得：，即，由函数的单调性可得：，，，恒成立，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，；令，，，，故在区间单调递减，，，故选：B题型七：中心与轴对称应用：斜直线对称轴变换，又叫直线镜面变换：轴变换，又叫直线镜面变换：1.（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是.【答案】【分析】求出的解析式，然后利用复合函数的单调性求解.【详解】函数的图像与函数的图像关于直线对称，则，定义域为，且在上单调递减，令，由，得，当时，单调递增；当时，单调递减，则函数的单调递增区间是.故答案为：（也正确）.2.（2023·高三单元测试）函数与的图象关于直线对称,,则．【答案】【分析】根据两个图象关于直线对称,即与互为反函数,即是将解出的的值,解出即可.【详解】解:由题意知与的图象关于直线对称,故与互为反函数,的值即是纵坐标为5时的的值,令,解得或(舍),即.故答案为:3.（2022下·辽宁·高二瓦房店市高级中学校联考模拟）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则．【答案】2【分析】由奇函数性质可得，进而得到关于对称，结合已知与的对称关系，确定的对称中心，即可得结果.【详解】由题设，若，则，所以关于对称，又与关于直线对称，则关于对称，所以.故答案为：24.（2023上·上海闵行·高三校联考期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是.【答案】【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案.【详解】设是在点处的切线，因为曲线与函数的图像关于直线对称，所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，所以的方程为故联立方程得，即，则，即所以，解得所以的取值范围为.故答案为：5.（2022·湖南永州·统考三模）已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则．【答案】【分析】先求与关于直线对称的直线，再利用切点是切线与曲线的公共点以及导数的几何意义即可求解【详解】在直线：上取两点，点，关于对称的点分别为，点关于直线对称的点为）设直线关于直线对称的直线为，则过点，则，直线的方程为，即由得,因为函数存在切线与关于直线对称，即存在切线方程为设切点为，则解得故答案为：题型八：中心与轴对称应用：中心对称中心对称：中心对称：（1）若函数满足，则的一个对称中心为（2）若函数满足，则的一个对称中心为（3）若函数满足，则的一个对称中心为.函数变换，又叫原点变换：1.（湖北省武汉二中20222023学年高三下学期4月第三次测试数学试题）已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为，利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】是奇函数，，易知均为减函数，故且在上单调递减，不等式，即，结合函数的单调性可得，即，设，，故单调递减，故，当，即时取最大值，所以.故选：.2.（四川省达州市大竹县大竹中学20202021学年高一下学期5月月考数学试题）已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________.【答案】【分析】证明函数图象关于点对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果．【详解】显然函数定义域是，，∴的图象关于点对称，原不等式可化为，即，(*)设，则，∵，∴，∴，∴，即，，由得，∴，∴是增函数，不等式(*)化为，(**)令，∵，∴，不等式(**)化为，，问题转化为存在，使不等式成立，当时，的最小值为2．∴．故答案为：．3.函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.【答案】【分析】先化简，然后分析的奇偶性，将的最大值和小值之和转化为和有关的式子，结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.【详解】，令，定义域为关于原点对称，∴，∴为奇函数，∴，∴，，由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，∴，，，∴，∴，故答案为：.4.（广东省深圳市人大附中学深圳学校20222023学年高三数学试题）已知函数满足，若函数与图像的交点为，则____________.【答案】10【分析】由已知得到函数是关于点对称，函数经过化简也关于对称，由此可知两个函数的交点就关于对称，根据点的对称性，就可以得到的值.【详解】因为函数满足，即满足，所以是关于点对称，函数关于点对称，所以函数与图像的交点也关于点对称，故交点成对出现，且每一对点都关于对称，故.故答案为：10.5.（江苏省南京师范大学附属中学20222023学年高三模拟检测2数学试题）已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】令，判断函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为，分离参数可得，令，，利用对勾函数的单调性可得，结合题意即可求解的取值范围．【详解】函数，若存在使得不等式成立，令，，所以，为奇函数．不等式，即，即，所以，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得，令，，由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，（1），（4），所以，，所以由题意可得，即实数的取值范围是．故答案为：．题型九：中心与轴应用：类比“正余弦”求和类比正弦：类比正弦：①两中心②两垂直轴③一个中心，一条轴1.（2022·广东惠州·模拟）已知是定义在上的奇函数，且，若，则（

）A．3 B．0 C．3 D．2018【答案】C【分析】先分析推理得到即得函数的周期为4，再求得，再求的值.【详解】为的奇函数，且，又，，是周期为4的函数，又，，，，.故选：C2.（2022·广西南宁·一模）定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，．则的值为（）A．2017 B．1010 C．1008 D．2【答案】B【分析】由偶函数可得，结合可得函数是周期为2的周期函数，于是，由周期性可得所求的值．【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，因为，所以，∴是周期为2的周期函数，∴，又，∴于是，∴．故选：B．3.（2023·山东·一模）已知是定义在上的奇函数,且为偶函数,若,则（

）A．4 B．2 C．0 D．2【答案】C【分析】，得，的周期为4，又由，，进而求解即可.【详解】是定义在上的奇函数，①，为偶函数，②，在②式中，令用替代，则，③，在①式中，令替代，则④，，再根据②式关系，得综上所述，得，的周期为4，由已知得，是定义在上的奇函数，则，，，，，得，=答案选C【点睛】本题属于函数的周期性和单调性的综合运用，难点在于从等式中得到以下关系：，有一定的运算量，属于一般题.4.（2223高三上·湖南永州·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则（

）A． B．0 C．2 D．2020【答案】B【解析】根据奇偶性与可得函数的周期为4,再根据性质计算即可.【详解】因为奇函数满足,即.故周期为4.故,因为.故原式.令,则.令,则.又奇函数故.故.故选：B5.（2023·广东梅州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（

）A．10 B．20 C．15 D．5【答案】A【分析】首先由条件确定，即可判断函数的周期，再结合特殊值，，即可求和.【详解】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于对称，又因为是定义在上的奇函数，所以，即，即，则，那么，所以2是函数的一个周期，因为是定义在上的奇函数，所以，且，所以，，所以.故选:A题型十：中心与轴应用：“隐对称点”两两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，具有综合性，难度较大．1.（2122高三·云南红河·模拟）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，关于原点对称的函数解析式，，根据题意只需，与，有交点，参变分离后，结合基本不等式求出，从而求出实数m的取值范围.【详解】当时，，设，关于原点对称的函数解析式为，当时，，，故，故，，要想存在“隐对称点”，则，与，有交点，联立得，，即，而，当且仅当时取等号，故实数m的取值范围是.故选：B2.（2022广西柳州·一模）已知函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【分析】将题中的问题转化为方程在上有解，即方程在有解的问题处理，然后再转化为两函数的图象有公共点求解，借助导数的几何意义和图象可得所求范围．【详解】函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，∴方程在上有解，即方程在上有解，∴方程在有解．设，，则两函数的图象有公共点．由得．若为的切线，且切点为，则有，解得，结合函数图象可得若两函数的图象有公共点，则需满足．所以实数的取值范围是．故选A．3.（2022辽宁沈阳·模拟预测）函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（

）(为自然对数的底)A． B． C． D．【答案】C【分析】因为关于轴对称的函数为转化为与的图象有交点，即方程有解，对、、进行讨论可得答案.【详解】因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，时符合题意；时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.故选：C.4.（2023·河北衡水·一模）若函数图象上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为A．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【详解】分析：由题可知当时，与恰有两个交点.根据函数的导数确定的图象，即可求得实数的值.详解：由题可知，当时，与恰有两个交点.

函数求导（）易得时取得极小值；时取得极大值另可知，所得函数图象如图所示.当，即时与恰有两个交点.当时，恰好有两个“孪生点对”，

故选A.5.（2223高三下·上海宝山·期中）若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”．设（），若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是…A． B． C． D．【答案】A【详解】若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则对于任意，有解，即有解．即有解，因为（）具有对称性，故有，即有m<t，即有，由于,故，选A.题型十一：双函数型中心、轴互相“传递”双函数性质：双函数性质：1.双函数各自对应的对称中心和对称轴等性质2.双函数之间存在着互相转化或者互相表示的函数等量关系传递中心，对称轴，与周期若函数关于轴对称，关于中心对称，则函数的周期为，若函数关于轴对称，关于轴对称，则函数的周期为，若函数关于中心对称，关于中心对称，则函数的周期为.1.（2223高三上·江西·阶段练习）已知函数的定义域均为R，且满足则（

）A．3180 B．795 C．1590 D．1590【答案】D【分析】根据递推关系可得且，进而有，构造易知是周期为2，分别求得、，再求、，根据周期性求，最后求和.【详解】由，则，即，由，则，即，又，即，所以，故，综上，，则，故关于对称，且有，令，则，即的周期为2，由知：关于对称且，所以，即，则，由，可得，则，所以则；则，依次类推：，，……，，所以.故选：D2.（2324高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，且，，若的图像关于对称，，则（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】根据的图象关于对称得到，，然后结合，得到的周期为4，再通过赋值得到，，，，最后根据周期求值即可.【详解】因为的图象关于对称，所以，，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以的周期为4，当时，，所以，，当时，，所以，当时，，，所以，，所以.故选：B.3.（2023·辽宁·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是．（只填序号）①为偶函数；②为奇函数；③；④.【答案】①④【分析】结合已知条件和是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件得出为偶函数，进而判断选项A；根据函数是奇函数，周期为4即可判断选项B；根据的性质分析可得，再根据的周期性即可判断选项C；结合函数的周期即可判断选项D.【详解】因为，所以，又因为，则有，且是奇函数，则，可得，即，则，即，所以是周期为4的周期函数，因为，则，可得，故也是周期为4的周期函数．对于①：因为，则，即，所以，所以为偶函数．故①正确；对于②：∵，∴，故②错误；对于③：因为，令，即，则，又因为，令，所以，令，则，即，即，所以，所以③错误；对于④：因为，所以，所以，所以④正确．故答案为：①④．4.（2023·河南·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，是的导函数，，，则以下命题：①是偶函数；②；③的图象的一条对称轴是；④，其中正确的序号是．【答案】①②④【分析】①根据奇函数的定义，利用复合求导公式，可判断①正确；②根据题意，赋值即可求出②正确；③利用与的关系，结合复合函数求导公式可推出的对称中心是，③错误④可证明是周期为的周期函数，进一步求出即可求得答案.【详解】对于①，由为定义在上的奇函数可知，则，即，，即，为偶函数①正确；对于②，对赋值x＝1，得，故②正确；对于③，由与可知，，则（c为常数），令x＝1，则c＝0，所以，故，则关于中心对称，由题意可知不是常函数，故不是其对称轴，③错误；对于④，为定义在上的奇函数，则，又，，则，，，则的周期T＝4，故，故④正确．故答案为：①②④．5.（2023·四川南充·二模）设定义在上的函数和.若，，且为奇函数，则.【答案】【分析】由，，可得，再结合为奇函数，可得，从而可得函数是以为周期的一个周期函数，求出即可得解.【详解】因为，所以，即，又因，所以，即，因为为奇函数，所以，且，所以，则，所以函数是以为周期的一个周期函数，由，得，则，所以.故答案为：.题型十二：函数型不等式：“优函数”型有有，则称为优函数。类似这类函数不等式，可以借助“类周期”思维进行放缩。1.（2024年高考1卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B2.（2021·四川德阳·一模）已知函数，若，，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据奇偶性对不等式化简，再判断函数的单调性，然后利用单调性将不等式转化为，从而可求出实数的取值范围【详解】函数的定义域为，因为，所以为奇函数，所以可化为，即，任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以在上为增函数，所以由，得，所以，所以，即实数的取值范围是，故选：D3.（2020高三·全国·专题练习）已知是定义在R上的函数，，且对任意都有：与成立，若，则．【答案】1【解析】根据，得到，再结合与成立，可推理出，，两者结合进而推理出，得到是以1为周期的周期函数求解.【详解】因为，所以．所以，，所以，，所以，所以，所以是以1为周期的周期函数．所以．故答案为：14.（2223高二上·上海浦东新·开学考试）设是定义在上的函数，且对于任意的整数，满足，，则的值为..【答案】【分析】根据，得出，从而求出和的值，再计算的值即可．【详解】解：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以．故答案为：．5.（2223高三·北京顺义·模拟）如果函数满足对任意s，，有，则称为优函数．给出下列四个结论：①为优函数；②若为优函数，则；③若为优函数，则在上单调递增；④若在上单调递减，则为优函数．其中，所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】①计算出，故，得到①正确；②赋值法得到，，依次类推得到；③举出反例；④由在上单调递减，得到，整理变形后相加得到，即，④正确.【详解】因为，所以，故，故是优函数，①正确；因为为优函数，故，即，，故，同理可得，……，，②正确；例如，满足，即，为优函数，但在上单调递减，故③错误；若在上单调递减，任取，，则，即，变形为，两式相加得：，因为，所以，则为优函数，④正确.故答案为：①②④题型十三：类周期型函数1.（2023·上海·统考模拟预测）在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是.【答案】【分析】根据题意整理可得：对，则，分类讨论的取值范围，分析运算.【详解】∵，即对，则，故对，则，∵，则有：1.当时，则，可得，不成立；2.当时，则，可得，则，若，解得，符合题意；特别的：例如，取，则，解得；例如，取，则，解得；故；3.当时，则，可得，不成立；4.当时，则，可得，则，若，解得，符合题意；特别的：例如，取，则；例如，取，则；故；5.当时，则，可得，不成立；综上所述：的取值范围是.故答案为：.2.（2021下·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考期末）已知函数，若对于正数，直线与函数的图像恰好有个不同的交点，则.【答案】【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到的表达式，最后裂项求和即可求得的值.【详解】当时，，即，；当时，，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：与函数恰有个不同的交点，根据图象知，直线与第个半圆相切，故，故，.故答案为：.3.已知fx=12x+a,x≤0,fx-1,x>0,【答案】-2,+∞【详解】构造函数g（x）＝f（x）a＝2作出函数g（x）=2-x，若f（x）＝x有且仅有两个实数解可转化为g（x）与y＝xa的图象有两个交点，结合图象可知，当a≥2时函数有1个交点；当a＜2时函数有2个交点，即a＞2时，函数有两个交点.故答案为-2,+∞4.（2023上·四川资阳·高三统考模拟）已知函数，函数在处的切线为，若，则与的图象的公共点个数为．【答案】2或3.【详解】由题意得，当时，直线的方程为：，其与时的图象只有一个交点，当时，，则将直线的方程代入到中，得，由得，，当时，，在定义域内，此时在时，直线与有两个交点，综合有三个交点；当时，，不在定义域内，此时在时，直线与有一个交点，综合只有两个交点；结合上述两种情况，与的图象的公共点个数为2或3.5.（福建省长汀县第一中学2022届高三上学期第二次月考数学试题）定义在0,+∞上的函数fx满足f（i）f2021（ii）若方程fx-kx=0有且只有两个解，则实数k【答案】-4042-1,-【分析】（i）根据解析式，利用递推法即可得出；（ii）利用图象的平移变换得到函数的图象，利用数形结合方法求得.【详解】（i）f2021=-4042;（ii）∵x≥1时，f(x)=f(x-1)-2所以f(x)的图象由在[0,1)之间的抛物线的一部分逐次向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，如图所示.已知l1由图可知若方程fx则实数k的取值范围是-1,-1故答案为：-4042；-1,-题型十四：“放大镜”函数类周期性质形如形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是