专题01任意角与任意角的三角函数

专题01任意角与任意角的三角函数知识点1：角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．知识点2：弧度制的定义和公式1.定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2.公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))eq\s\up12(°)弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.特殊角的互化0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π提醒：1.有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．2.常见结论（1）轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}（2）象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}知识点3：任意角的三角函数(1)定义设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．拓展：任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点4：单位圆与三角函数几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．知识点5：同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).知识点6：诱导公式公式一：公式二公式三公式四公式五公式六公式七cos(eq\f(3π,2)+α)＝sinαsin(eq\f(3π,2)+α)＝－cosα公式八cos(eq\f(3π,2)－α)＝－sinαsin（eq\f(3π,2)－α）＝－cosα简记：对于角“eq\f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”提醒：诱导公式较多，易错记错用，关键是注意“两个变不变”，即“函数名变不变”、函数值的“符号变不变”.题型归纳【题型1终边相同的角】满分技法利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．1．（2324高一上·安徽芜湖·阶段练习）与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由终边相同的角的性质即可求解.【详解】因为与角终边相同的角是，，所以当时，与角终边相同的角是，D选项符合，其他选项不满足.故选：D2．（2324高一下·江西赣州·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可.【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于y轴对称，所以．故选：D．3．（2324高一下·辽宁·阶段练习）下列与终边相同的角的表达式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由与终边相同即可得答案.【详解】对于AB，因为，所以与终边相同，所以与终边相同的角为，故A正确，B错误；对于CD，当时，，显然与终边不相同，故CD错误.故选：A.4．（2324高一下·河南驻马店·阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合.【详解】由题意知角的终边在直线上，故或，即或，故角的取值集合为.故选：C.5．（多选）（2223高一上·重庆·阶段练习）下列命题正确的是（

）A．终边落在轴的非负半轴的角的集合为B．终边在轴的非负半轴上的角的集合是C．第三象限角的集合为D．在范围内所有与角终边相同的角为和【答案】ABD【分析】ABC：通过写出对应的集合来判断；D：直接按照要求计算角度即可.【详解】终边落在轴的非负半轴的角的集合为，A正确；终边在轴的正半轴上的角的集合是，B正确；第三象限角的集合为，C错误；在范围内所有与角终边相同的角为和，D正确.故选：ABD.【题型2判断角所在象限】满分技法象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．6．（2324高一下·辽宁抚顺·期中）的终边落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据角与角的终边相同，，所以与的终边落在同一象限，判断所在象限即可.【详解】因为，又因为的终边落在第四象限，所以的终边落在第四象限．故选：D7．（2324高一上·山东枣庄·期末）已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果.【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确，又第二象限角的范围为，不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，故选：C.8．（2223高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】由象限角的定义即可求解.【详解】由题意是第二象限角，所以不妨设，所以，由象限角的定义可知是第四象限角.故选：D.【题型3角的范围及其分布图】满分技法(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}；(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．9．（2324高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合.【详解】终边落在阴影部分的角为，，即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．故选：B．10．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出临界位置的终边，结合选项即可得结果.【详解】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上，当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上，按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示．故选：B．11．（2324高一上·全国·课后作业）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是．【答案】【分析】根据图形先求出终边在角的终边所在直线上的角的集合和终边在角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角的取值范围，进而可求得的取值范围【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是，所以角的取值范围是，故答案为：【题型4扇形弧长、面积、圆心角的计算】满分技法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．12．（2324高一上·云南曲靖·阶段练习）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可.【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为.故选：D13．（2324高一上·全国·期末）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R.(1)若，，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数；(3)若扇形的周长为定值C，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大值.【答案】(1)(2)(3)当时，扇形面积有最大值，为【分析】（1）利用弧度制转化角度，根据扇形面积公式，可得答案；（2）根据扇形周长以及面积计算公式，建立方程组，可得答案；（3）根据扇形周长的计算公式表示出半径与角度之间的关系，写出扇形面积的表达式，利用基本不等式，可得答案.【详解】（1）由，则.（2）由，解得或18，因为，所以.（3）由，得，则，由，则，当且仅当时，等号成立，当时，扇形面积有最大值.14．（2324高一上·陕西西安·阶段练习）如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设的长度是，的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，已知，.(1)求；(2)若几何图形的周长为4，则当为多少时，最大？【答案】(1)3(2)【分析】（1）通过弧长比可以得到与的比，再利用扇形面积公式即可求解；（2）由题意得，，然后利用基本不等式求最值即得.【详解】（1）由，则，，所以，即，，.（2）由（1）知，，几何图形的周长为，，当且仅当，即时，最大值为1.【题型5三角函数定义的应用】满分技法（1）已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．（2）已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．（3）已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．（4）已知一角的三角函数值sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．15．（2024高一下·上海·专题练习）若，则点在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】根据三角函数的符号可判断点的位置.【详解】因为，所以，，所以点在第四象限．故选：D．16．（2324高一下·北京海淀·期中）若且，则的终边在所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】借助三角函数定义即可得.【详解】的终边过点，又且，则的终边在所在象限为第四象限.故选：D.17．（2324高一上·福建福州·阶段练习）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，若终边交单位圆于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数的定义计算并判断即可.【详解】因为角终边交单位圆于点，所以解得，所以，所以，，，故选项C正确，选项B、D错误;因为，所以，故选项A错误.故选：C.18．（2324高一上·甘肃武威·期末）已知角满足，，且，则角属于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.【详解】由，，得出为第四象限角，所以，则为第二象限角或第四象限角，又因为，所以，则为第二象限角.故选：B.19．（2324高一·全国·课堂例题）若角的终边上有一点，则的值是．【答案】或．【分析】由已知求得，对分类讨论即可求得的值．【详解】，，当时，，；当时，，．的值是或．故答案为：或．20．（2223高一·全国·随堂练习）设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）（2）利用单位圆，三角函数定义推理即得.【详解】（1）在单位圆中，，，的终边交单位圆于点，作轴于点，令，由三角函数定义得，在中，，所以.

（2）过点作单位圆的切线交于点，显然劣弧长，显然，的面积，扇形的面积，的面积，由图形得，即，所以.【题型6同角公式的基本应用】满分技法1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系求解；在使用开平方关系sinα＝±eq\r(1－cos2α)和cosα＝±eq\r(1－sin2α)时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．2.知弦求切：常通过平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系，注意商数关系及的灵活应用；3.知切求弦：先利用商数关系变形得出sinα或cosα表达式，然后利用平方关系求解.利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．4.三角函数式化简的方法和技巧：(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③弦切互化；=4\*GB3④1的代换．5.三角恒等式证明问题：(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．21．（2324高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知，则.【答案】【分析】利用同角三角函数基本关系式，转化为正切表示的式子，即可求解.【详解】∵，所以；故答案为：22．（多选）（2324高一上·山西吕梁·期末）已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】结合同角三角关系将平方即可求解即可判断A，再利用平方关系求解判断B，化切为弦通分即可求解判断C，解方程即可求解判断D.【详解】由，得，所以，故选项A正确；因为，，所以，，又因为，所以，故选项B正确；因为，故选项C错误；由，，所以，故选项D错误；故选：AB23．（2122高一上·甘肃兰州·期末）求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论；（2）利用平方关系可证结论.【详解】（1）证明：左边==右边.（2）证明：左边==右边.24．（2324高一上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，其中.(1)求的值；(2)若为第二象限角，求的值.【答案】(1)时,；时,(2)【分析】（1）利用三角函数的定义求解；（2）由为第二象限角得，利用同角三角函数关系式得，代入计算即可.【详解】（1）因为,,所以，当时，；当时，，综上，时，；时，.（2）因为为第二象限角，所以，则，所以【题型7诱导公式基本应用】满分技法1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3α与π6+α,π3+α与π6α,π4+α与π4α等,常见的互补关系有π6θ与5π6+θ,π3+θ2.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.25．（2324高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则.【答案】【分析】根据条件，利用诱导公式，即可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.26．（2324高一上·浙江丽水·期末）化简．【答案】1【分析】利用诱导公式化简求值.【详解】.故答案为：1.【题型8同角公式、诱导公式的综合应用】满分技法1.明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.利用诱导公式证明等式问题，主要思路在于如何配角、如何去分析角之间的关系．27．（多选）（2324高一上·湖北荆门·期末）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断.【详解】由.故A正确；，故C正确；，故D错误；因为，所以为第一或第三象限角.若为第一象限角，则，所以；若为第三象限角，则，所以.所以B错误.故选：AC28．（2324高一上·贵州毕节·期末）已知，α是第三象限角，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解；（2）利用诱导公式化简求值.【详解】（1）因为，α是第三象限角，则，所以tan；（2）.29．（2324高一上·陕西宝鸡·期末）已知.(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数关系化简已知等式，即可求得答案；（2）判断角所在象限，分类讨论，根据同角三角函数关系求出的值，即可求得答案.【详解】（1）由题意得.得，即;（2）由，知，则为第一象限角或第三象限角，代入，得，当为第一象限角时，，，所以当为第三象限角时，，，所以综上所述，或30．（2324高一上·江苏连云港·期末）求值(1)已知是第三象限角，且，求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式即可求出结果；（2）根据条件得到，从而得到，通过求出，联立，求出，即可求出结果.【详解】（1）因为是第三象限角，且，所以，又，所以.（2）因为①，得到，即，又，所以，由，得到②，联立①②得到，所以.过关检测1．（2324高一上·河南信阳·期末）若，且，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得，再求出角所在象限.【详解】由，，得，，因此，所以角是第四象限角.故选：D2.（2324高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.【详解】点是第二象限的角终边上的一点，则，由，得，所以.故选：C3．（2324高一上·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而利用诱导公式和三角函数定义求出答案.【详