专题9.3双曲线的定义与性质（原卷版）

9.3双曲线的定义与性思维导图知识点总结1.双曲线定义：设F1，F2是平面内的两个定点，若平面内的点P满足||PF2.双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程x焦点坐标左焦点F1−焦距F1F2=图形x≤−a或x≥a，yy≤−a或y≥a，x∈R范围对称性关于x轴、y轴、原点对称实轴端点(顶点)(0，±a)虚轴端点(±b，0)实轴长2a，其中a虚轴长2b，其中b渐近线y离心率3.双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为______.典型例题分析考向一双曲线的定义 【例1】双曲线C：x24−y2=1的左、右焦点分别为【变式】双曲线x24−y25=考向二双曲线的标准方程【例2】若方程x2m+y2【变式】双曲线λx2−y考向三渐近线问题【例3】已知双曲线C：x26−y2【变式1】(2021新高考Ⅱ卷)若双曲线x2a2【变式2】双曲线C与双曲线x22−y2=1

考向四离心率问题【例4】(2021-全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FA.7B.13C.7D.13【变式】}已知双曲线x2a2−y2b2=1a>A.5B.3C.2D.5考向五焦点三角形面积问题【例5】[变式]设Fc，0是双曲线x2a2−y2b2A.3B.5C.10D.10【变式】已知双曲线C：x2a2−y24=1a>考向六直线与双曲线综合问题【例6】]已知A，B是双曲线C：x22−y2[变式]已知双曲线C：x2−y2=1，过点Pm，1m>0的直线基础题型训练___一、单选题1．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程是A． B．C． D．2．若双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．23．双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．已知，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．5．过原点的直线与双曲线：（，）相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，（为坐标原点），则双曲线的渐近线的斜率为（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线经过点，则（

）A．的实轴长为 B．的焦距为C．的离心率为 D．的渐近线方程是三、填空题9．焦点在轴上，虚轴长为，且离心率的双曲线的标准方程为．10．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积为；11．过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是.12．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，且交双曲线的右支于点，若点满足，则双曲线的离心率为．四、解答题13．已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线过点和，求双曲线的标准方程.14．已知双曲线C：．（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（2）求与C有公共的焦点，且过点的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．15．在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；16．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求面积的最小值提升题型训练一、单选题1．双曲线的实轴长为（

）A．2 B．4 C． D．2．已知是双曲线的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．3．已知双曲线的左焦点为，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．4．已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且，则的面积为（

）A． B．4 C．2 D．二、多选题7．设分别是双曲线的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（

）A．B．当时，的离心率是C．的取值范围是D．到渐近线的距离随着的增大而增大8．已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，，，，为坐标原点，则（

）A．的离心率为B．的右焦点到的一条渐近线的距离为C．点到的两顶点的距离之和等于D．四边形的面积为三、填空题9．以为渐近线且经过点的双曲线方程为．10．已知定点，且，动点满足，则的最小值是.11．P是非等轴双曲线上的一点，分别是双曲线C左､右焦点，若，则双曲线C的渐近线方程是.12．已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点（其中点在第一象限），设点、分别为、的内心，则的范围是.四、解答题13．求满足下列条件的曲线标准方程：(1)两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；(2)与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.14．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.15．在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求点的轨迹方程