第56讲 空间点点距、点线距、点面距的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】一、空间的三种距离1、点点距：两点之间的线段的长度.常见求法：①几何法：把该线段放到三角形中解三角形.②向量法：利用公式求.2、点线距：点到直线的距离为点到直线的垂线段的长.常见求法：（1）几何法：是找或作直线的垂线，再求垂线段的长度，一般要把垂线段放到三角形中去解三角形.（2）向量法：利用点到直线的距离公式求解，其中，是直线的方向向量3、点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离常用求法：①几何法：作出点到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；②等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点到平面的距离，如果已知点到平面的距离，则可以根据求出点到平面的距离；③向量法：如下图所示，已知是平面的一条斜线，为平面的法向量，则到平面的距离为；ABCαABCα二、以上所说的距离（点点距，点线距，点面距）都是对应图形上两点间的最短距离.所以均可以用求函数的最小值法求各距离..三、以上距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解，体现了数学中的转化思想，把空间的问题转化为平面的问题，把复杂的问题转化成简单的问题解答.四、在三种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法.五、在这三个距离中，求点到平面的距离是重点和难点.【方法讲评】空间点点距方法一几何法使用情景把该线段放到三角形中比较方便解三角形解题步骤把该线段放到三角形中解答.方法二向量法使用情景解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标.解题步骤建立空间直角坐标系分别求出两个点的坐标代入空间两点间的距离公式已知矩形ABCD的边长,一块直角三角板PBD的边，且，如图．（1）要使直角三角板PBD能与平面ABCD垂直放置，求的长；（2）在（1）的条件下，求二面角的平面角的余弦值．PPDCBA∴，，∴，同理，.oozyxPDCBA【点评】本题求的长，就是把放到三角形中，再利用解三角形的知识解答，多利用直角三角函数和正弦余弦定理等.学科.网【反馈检测1】如图，平面，矩形的边长，为的中点.（1）证明：；（2）如果异面直线与所成的角的大小为，求的长及点到平面的距离.【例2】如图，在三棱柱中，H是正方形的中心，，⊥平面，且＝.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱的中点，点在平面内，且⊥平面，求线段的长．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点．（2）易知＝（0,2，0），＝（－，－，）．设平面AA1C1的法向量（x，y，z），则，即不妨令x＝，可得（，0，）．同样的，设平面A1B1C1的法向量（x，y，z），则，即不妨令y＝，可得（0，，）．于是,从而.所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.【点评】本题中求的长度就是利用了向量的方法，先分别求点的坐标，再代入空间两点间的距离公式.【反馈检测2】如图，已知平面,为等边三角形，（1）若平面平面，求长度；（2）空间点线距方法一几何法使用情景比较容易找到点在直线上的射影，解三角形比较方便.解题步骤找到或作点在直线上的射影把该垂线段放到三角形中解答.方法二向量法使用情景找点在直线上的射影比较麻烦，解三角形比较困难，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标.解题步骤建立空间直角坐标系分别求出直线的方向向量，两个点的坐标，其中，代入点到直线的距离公式，其中，是直线的方向向量【例3】如图，已知二面角的大小为，于C，于，且.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求点到直线的距离.【点评】（1）本题中求点到直线的距离就是利用几何的方法，就是把点到直线的距离放到三角形中，再利用解三角形的知识解答，多利用直角三角函数和正弦余弦定理等.（2）求点到直线的距离，几何的方法用的要多一点.学科.网【反馈检测3】如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足.（1）求证：；（2）求点到直线的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值.点到平面的距离方法一几何法使用情景点在平面的射影位置比较容易确定.解题步骤找作证（定义）求（解三角形）方法二等体积法使用情景点和平面内的点构成一个三棱锥，而三棱锥的一个高已知.解题步骤利用方法三向量法使用情景点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标.解题步骤建立空间直角坐标系求平面的法向量求平面的斜向量的坐标代入公式，即得点到平面的距离.【例4】如图，垂直圆所在的平面，是圆上的点，是的中点，为的重心，是圆的直径，且．（1）求证：平面；（2）求到平面的距离．【解析】（1）如图，连结并延长交于，连结．（2）∵是圆的直径，∴，由（1），知，∴．∵平面平面，∴．又平面平面，，∴平面，∴就是到平面的距离．【点评】（1）本题利用几何法求点到面的距离.（2）到平面的距离是空间的距离，可以转化为点到它在平面的射影的距离，再利用平面几何三角形的知识求的长度.本题就是利用转化的思想把空间的问题转化成平面的问题解答.【反馈检测4】如图所示，四边形是菱形，是与的交点，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，，求的长及点到平面的距离．【例5】如图，是圆的直径，点在圆上,矩形所在的平面垂直于圆所在的平面，，．（1）证明：平面平面；（2）若，求点到平面的距离．【解析】（1）【点评】本题利用等体积法求点到面的距离就显得比较简单.【反馈检测5】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，,为与的交点，为棱上一点．（1）证明：平面⊥平面；（2）若是线段中点,求点到平面的距离．【例6】如图，在直三棱柱中，；.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的大小.（2）=，设点B到平面的距离为所以所以，解得所以点到平面的距离为.〖解法二〗（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则∴⊥【点评】本题既可以用等体积法，也可以利用向量的方法求点到平面的距离.到底哪一种方法简单，要看具体题目，所以大家要提高选择能力.学科.网【反馈检测6】如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点.（1）求证：面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第56讲：空间点点距、点线距、点面距的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明见解析；（2），.（2）取的中点的中点，连,的大小等于异面直线与所成的角或其补角的大小，即或(或者由观察可知，，不需分类讨论)设，则，若，由，得..在中，，点到平面的距离为.若，由，显然不适合题意．综上所述，点到平面的距离为.【反馈检测2答案】（1）；（2）．学科.网（2）由（1）可知：平面的一个法向量，设直线与面所成角为，则，∴．【反馈检测3答案】（1）证明见解析，（2），（3）.【反馈检测3详细解析】（1）证明：如右图，过作，垂足为，因平面侧面，且平面侧面，可知，有，又，，则,又平面，所以.因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则底面，所以.又,从而侧面，又侧面，故.（2）由（1）知，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，，又由线段上分别有一点，满足，所以，，所以,所以点到直线的距离.【反馈检测4答案】Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）,到的距离为.【反馈检测4详细解析】（Ⅰ）证明：因为，，所以.又因为，又，所以，.设到的距离为，由，得，，得，即到的距离为.法二：在菱形中，，所以，，因为.连