【苏科版】2021年九年级数学下册课件(共358张)

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二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2k>0k<0上移下移h>o右移h<0左移说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。顶点x轴上顶点y轴上问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？例题例3.画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、x…-4-3-2-1012………解:先列表画图再描点画图.-3-1-312345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10直线x=－1…………210-1-2-3-4x解:先列表再描点、连线-3-1-3讨论抛物线的开口方向、对称轴、顶点?(2)抛物线

有什么关系?可以看出,抛物线的开口向下,对称轴是直线x=－1,顶点是(－1,－1).向左平移1个单位向下平移1个单位向左平移1个单位向下平移1个单位平移方法1:平移方法2:二次函数图像平移12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1归纳

一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.向左(右)平移|h|个单位向上(下)平移|k|个单位y=ax2y=a(x－h)2y=a(x－h)2+ky=ax2y=a(x－h)2+k向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k向左(右)平移|h|个单位平移方法:抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向上;(2)对称轴是直线x=h;(3)顶点是(h,k).练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成以下表格:2.请答复抛物线y=4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?3.抛物线y=－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?练习y=−2〔x+3〕2-2说出以下抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。y=2〔x-3〕2+3y=−2〔x-2〕2-1y=3〔x+1〕2+1y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移结论:一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系如何平移：(1)抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是

。(2)抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是

。(3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?再见温故知新y=ax2(a≠0)a>0a<0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴所在直线y轴所在直线当x<0时，y随着x的增大而减小。当x>0时，y随着x的增大而增大。

当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时，y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1…………y=x2y=x2+152025函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.操作与思考函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?

相同x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2…………y=x2y=x2-22-10-12函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?操作与思考函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?相同函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+c(a≠0)的图象形状

，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向

平移

个单位得到，当c＜0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向

平移

个单位得到。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?上加下减相同上c下|c|(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向

平移

个单位得到；y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向

平移

个单位得到。〔3〕将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是。(2)将函数y=-3x2+4的图象向

平移

个单位可得

y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向

平移

个单位得到可由y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向

平移

个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4小试牛刀

当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧,y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

；当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，在对称轴的右侧,y随x的增大而

，当x=

时，取得最

值，这个值等于

。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上y轴所在直线(0,c)减小增大0小c下y轴所在直线(0,c)增大减小0大c观察思考二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象经过点A〔1，-1〕，B〔2，5〕，那么函数y=ax2+c的表达式为。假设点C(-2,m),D〔n,7〕也在函数的图象上，那么点C的坐标为点D的坐标为.y=2x2-3(-2,5)或思维拓展谈谈你的收获小结：y=ax2+c(a≠0)a>0a<0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下(0,c)(0,c)y轴所在直线y轴所在直线当x<0时，y随着x的增大而减小。当x>0时，y随着x的增大而增大。

当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时，y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2+c(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y〔单位：米〕与飞行距离x〔单位：百米〕满足二次函数：Oy(米〕x(百米〕这个球飞行的水平距离最远是多少米？y=-5x2+20x4123Ao10观察二次函数的图象：-3-2-10123-1-2-3123xy4NM你能确定一元二次方程的根吗？-3-2-10123-1-2-3123xy4-3-2-10123-1-2-3123xy4观察以下图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.判断二次函数图象与x轴交点坐标是什么？-3-2-10123-1-2-3123xy4NM根据一元二次方程的根的情况，判断二次函数图象与x轴的位置关系。-3-2-10123-1-2-3123xy4根据一元二次方程的根的情况，根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况，你能判别抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的情况吗？探索思考

不画图象，你能判断函数的图象与x轴是否有公共点吗？请说明理由。

例题讲解根据一元二次方程的根的情况，可以知道二次函数的图象与x轴的位置关系。

1、方程的根是；那么函数的图象与x轴的交点有个，其坐标是．-5，12〔-5，0〕、〔1，0〕

随堂练习2、方程的根是；那么函数的图象与x轴的交点有个，其坐标是．3、以下函数的图象中，与x轴没有公共点的是〔〕1〔5，0〕D

?4、二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.打高尔夫时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y〔单位：米〕与飞行距离x〔单位：百米〕之间具有关系：y=-5x2+20x，想一想：球的飞行高度能否到达40m？Oy(米〕x(百米〕41234010

?本节课你有什么收获？

二次函数与一元二次方程(1)观察二次函数的图象：-3-2-10123-1-2-3123xy4NM你能确定一元二次方程的根吗？-3-2-10123-1-2-3123xy4-3-2-10123-1-2-3123xy4观察以下图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.判断二次函数图象与x轴交点坐标是什么？-3-2-10123-1-2-3123xy4NM根据一元二次方程的根的情况，判断二次函数图象与x轴的位置关系。-3-2-10123-1-2-3123xy4根据一元二次方程的根的情况，

不画图象，你能判断函数的图象与x轴是否有公共点吗？请说明理由。

例题讲解根据一元二次方程的根的情况，可以知道二次函数的图象与x轴的位置关系。

1、方程的根是；那么函数的图象与x轴的交点有个，其坐标是．-5，12〔-5，0〕、〔1，0〕

随堂练习大显身手2、方程的根是；那么函数的图象与x轴的交点有个，其坐标是．3、以下函数的图象中，与x轴没有公共点的是〔〕1〔5，0〕D

?4、二次函数y=x2-4x+k+2与x轴有公共点，求k的取值范围.打高尔夫时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y〔单位：米〕与飞行距离x〔单位：百米〕之间具有关系：y=-5x2+20x，想一想：球的飞行高度能否到达40m？Oy(米〕x(百米〕41234010学习是一件很愉快的事

月

日星期

天气

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学习课题：

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知识归纳与整理：

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有哪些数学思想或方法：

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自我评价：

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我的收获与困惑：

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老师我想对你说：

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数学日记九年级(下册)初中数学用二次函数解决问题〔2〕

问题一：河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少〔精确到m〕？用二次函数解决问题〔2〕问题二：闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠创造并建造的一座扁平抛物线形石拱桥，石拱桥跨径36m，拱高约8m．试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数解析式．用二次函数解决问题〔2〕练一练以下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．假设把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中〔如以下图〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕求两盏景观灯之间的水平距离．用二次函数解决问题〔2〕练一练2.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)假设要搭建一个矩形“支撑架〞AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，那么这个“支撑架〞总长的最大值是多少？用二次函数解决问题〔2〕谢谢!图形的相似1.分别量出两幅地图中南京市与徐州市、南京市与连云港市之间的图上距离。2.在两幅地图中,南京市与徐州市的图上距离的比是多少?南京市与连云港市的图上距离之比是多少?这两个比值之间有怎样的数量关系?活动一ab线段的比两条线段长度的比叫做这两条线段的比.ab问题:线段a的长度为3cm,线段b的长度为6m,那么这两条线段的比为

.在求两条线段的比时,如果单位不同,必须先化成同一单位,再求它们的比.试一试问题:如把单位改成mm和m,比值还相同吗?请同学们量出数学课本的长和宽,并求出长与宽的比..活动二两条线段的比与所采用的长度单位无关,比值无单位.两条线段的比值总是正数.a∶b=c∶d或南京与徐州的图上距离分别为a,b.南京与连云港的图上距离分别为c,d.那么我们能得到：成比例的线段在四条线段中,如果两条线段的比等于另两条线段的比,那么称这四条线段成比例.

线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例；若a、c、d、b成比例，应表示为特别地,如果a:b=b:c，这时我们把b叫做a、c的比例中项。比例中项1.如果a=1㎝，b=3㎝，c=2㎝，d=6㎝，那么a、b、c、d是成比例线段吗？试一试2.如果a=1㎝，b=2㎝，c=4㎝，那么b是a、c的比例中项吗？3.有三条长分别为１cm，2cm，4cm，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长．两个外项的积等于两个内项的积。比例的根本性质ad=bc比例式可以写成多少种不同的形式。探究（1）如果，那么成立吗?比例的性质（2）如果，那么成立吗?1填空:〔其中a、b、x均表示线段的长〕①假设b：4=a：3，那么a:b=.②假设3：x=2：6，那么x=。③假设x为4和9的比例中项，那么x=。2.——=——=——,求——的值。x2yz75x+y-zx3:496=k例题选讲

例3如图,在△ABC中.(1)AB=12,AE=6,EC=4.求AD的长;(2)试说明成立.AEDCB1、在比例尺为1：40000的工程示意图上，2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线〔奥体中心至迈皋桥段〕的长度约为54.3cm,它的实际长度约为〔〕练一练3.4.谈谈你的收获与体会小结与思考请你欣赏黄金分割5×88×1313×2121×34①②③④⑤⑥⑦⑧以下矩形中,哪些比较匀称?5×88×1313×21①②③④⑤⑥⑦⑧以下矩形中,哪些比较匀称?21×3421×3421×34ABCD点B把线段AC分成两局部,那么称线段AC被点B黄金分割,点B为线段AC的黄金分割点,BC与AB的比叫做黄金比(约为0.618).假设,这样的矩形称之为黄金矩形.如果,(精确到0.001)

她的上半身和下半身的比值接近.世界艺术珍品——维纳斯女神观察

欣赏

，她是西元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，世界艺术珍品——维纳斯女神

，她是西元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，她的上半身和下半身的比值接近0.618.观察

欣赏你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗?芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近了,给人以更为优美的艺术形象.芭蕾舞观察

欣赏哪张照片,小鹿母子摆放的位置最适中？当植物的枝干的夹角137°28′时,通风和采光能到达最好效果,你知道这是为什么吗?大自然的魅力上海东方明珠电视塔高468m,上球体是塔身的黄金分割点,它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)?468?实际应用据有关测定,当气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合?〔人的正常体温36.2℃～37.2℃〕22.4℃～23.0℃实际应用1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出底BC与腰AB的长度,计算:

;2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,

再计算:

.(精确到0.001)黄金三角形DCABE尝试☆顶角为36°的等腰三角形底边与腰之比约为0.618;☆点D是线段AC的黄金分割点.☆再作∠C的平分线,交BD于E,△CDE也是黄金三角形,……DCADEBFHGMN如图,正五边形ABCDE的5条边相等,5个内角也相等.⑴找找看,图中是否有黄金三角形?找一找如图,正五边形ABCDE的5条边相等,5个内角也相等.⑴找找看,图中是否有黄金三角形?⑵点F是线段

,

的黄金分割点.

点G呢？CADEBFHGMN找一找abcdeAC、AN、BE、BGCNEGAEFABGABNBCMCDNCDHEDMEDGAEHBCF1、把1m的线段进行黄金分割，那么分成的较短的线段长约为______，分成的较长的线段长约为________2、AB=10cm，点P和点Q是线段AB的两个黄金分割点，那么PQ≈______尝试根底练习拓展提高1、假设线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，那么AC的长为多少？2、科学研究说明，当人的下肢与身高比为时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最正确高度约为多少cm？〔精确到〕尝试感悟

勾股定理和黄金分割是几何中的双宝,“前者好似黄金，后者堪称珠玉〞。黄金分割的魅力远不止……我有哪些收获呢？与大家共分享！学而不思那么罔回头一看，我想说…巴特农神庙课后我们要做的是:☆收集身边的黄金分割的实例,与同伴谈谈你对黄金分割的收获与体会；☆通过上网调查,了解黄金分割在现实生活中的应用；☆完成一件包含黄金分割内容的作品。自己找出

黄金分割点如图,线段AB按照如下方法作图:如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?点C是线段AB的黄金分割点吗?先独立思考,再与同伴交流.1.经过点B作BD⊥AB,使2.连接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.ABDEC请欣赏以下每组中的两幅图有何共同点?相似图形找一找:以下图形中哪些是相似图形？像这样，形状相同的图形是相似图形。

1.你能举出生活中所见过的相似的图形吗？想一想2.同学们，还记得全等的图形吗？说一说全等的图形和相似的图形之间有什么联系与区别！观察这幅图形，你有什么发现？操作看导学稿，量出图中两三角形的所有边的长度和所有角的度数。各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。ABCDEF如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E,∠C＝∠F；那么△ABC与△DEF相似，记作“△ABC∽△DEF〞。其中k叫做它们的相似比。注意：表示两个三角形相似应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。1、如图,△____∽△____ABCDEF那么那么△ABC与△A‘B‘C’的相似比是，2、假设△ABC∽△A’B’C’，且△A‘B‘C’与△ABC的相似比是

。1：22：13、如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？分别根据以下条件,写出各组相似三角形的对应边的比例式:①如图,△ADE∽△ABC,那么==_____

试一试ABCDE②如图,△OAB∽△OCD,那么==_____试一试ACDOB③如图,△ABC∽△ACD,那么==_____试一试ABCD试一试在网格纸上任意画一个顶点在格点上的多边形,请你的同桌在同样的网格纸上画一个与它相似的图形

类似地，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比。例1：ABCA′B′C′75°45°45°αβ8106如图，△ABC∽△A′B′C′，求∠α、∠β的大小和A′C′的长.如图,△ABC∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°求:(1)∠ADE和∠AED的度数；(2)DE的长.练习：EDCBA例2：ABCDEF如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，△DEF与△ABC相似吗？为什么？321

小结1.形状相同的图形是相似形.2.相似三角形，相似多边形及相似比的概念.通过本节课，你学到了哪些知识？1.以下说法正确的选项是()A.所有的等腰三角形都相似;B.所有的菱形都相似;C.所有的矩形都相似;D.所有的正方形都相似.D课堂反响：2.在放大10倍的放大镜下所看到的图形()A.与原图形不相似;B.与原图形相似,相似比为1:10;C.与原图形相似,相似比为10:1;D.与原图形相似,相似比为不确定.C判定三角形相似的方法1、判定1：两个角对应相等判定2：两边对应成比例且夹角相等判定3：三边对应成比例回忆与反思☞2、平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似。ADEBCABEDCABCDEF探索活动如图：在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB,垂足为D。①图中有几对相似三角形？请你用符号把它表示出来，并说明理由；CABD②CD是哪两条线段的比例中项？为什么？③还有哪些比例中项，你能说出来吗？AC2=AD·ABBC2=BD·ABCD2=AD·BD知识射影定理

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。几何语言：∵在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB∴

如图：在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥

AC，

DF⊥

BC，垂足分别为D、E、F。(1)求证：CE·CA=CF·CB动手操作(2)连接EF，交CD于点O，求证：∟∟∟O如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F。例题讲解〔1〕求证：△ABE∽△DFA〔2〕假设AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长。相信自己！你一定行！如图：在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，点E、F在AB上，且∠ECF=450.〔1〕试说明：△ACF∽△BEC。〔2〕设△ABC的面积为S，你能说明AF·BE=2S吗？练习巩固这节课你有什么样的收获？全等三角形与相似三角形性质比较全等三角形相似三角形对应边对应边的比对应角对应角周长周长的比面积面积的比对应高对应高的比对应中线对应中线的比对应角平分线对应角平分线的比类比学习相等相等相等相等相等相等相等等于相似比相等等于相似比等于相似比的平方问题1

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图中，和是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、分别为BC、边上的高，那么AD、之间有什么关系？观察与思考

如图:△ABC和△A’B’C’相似,相似比是K,其中AD和A’D’分别是BC,B’C’边上的高,那么AD比A’D’等于相似比吗?由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．

性质3同样可以得到相似三角形对应中线的比等于相似比,对应角平分线的比等于相似比.1、如果两个三角形相似，相似比为3：5，那么对应角的角平分线的比等于。练一练:3：52、相似三角形对应边的比值为，那么相似比

，对应角的角平分线之比为

，周长的比为

，面积的比为

。练一练:2：52：52：54：25ACBA'B'C'32cm20cm例1.如图：与小孔O相距32cm处有一枝长30cm

的燃烧的蜡烛AB，经小孔，在与小孔相距

20cm的屏幕上成像，求像A'B'的长度.O例题解析根据题意,得:△ABO∽△A'B'O'过点O作AB、A’B’的垂线，垂足分别为Ｃ、Ｃ’，那么由相似三角形的对应高之比等于相似比，得ACBA'B'C'32cm20cmO即：解得：A'B'＝18.75(cm)答：像A'B'的长度为18.75cm.阅读材料，提取信息，然后将实际问题抽象为数学问题解决哦！练习一：1．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1cm，那么像CD到小孔O的距离为

2、如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影．桌面的直径为1．2m，桌面距离地面1m．假设灯泡距离地面3m，那么地面上阴影局部的面积为()A．0．36m2B．0．81m2C．2m2D．3．24m2GHFEACBD例2.如图：△ABC是一块锐角三角形的余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？例题解析：如图：FGHI为矩形，AD⊥BC于D，，BC＝36cm,AD＝12cm。求：矩形FGNI的周长。变式训练1、如图，在矩形FGHN中，点F、G在边BC上，点N、H分别在边AB、AC上，且AD⊥BC，垂足为D，AD交NH于点E，AD=8cm，BC=24cm，NF：NH=1：2，求此矩形的面积．小试牛刀2、一块直角三角形木块的面积为2，直角边AB长，想要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图①、图②所示．你能用所学的知识说明谁的加工方法更符合要求吗？〔加工损耗忽略不计〕小试牛刀如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=30cm，BC=40cm．问题：假设将斜边上的高CD进行10等分，然后裁出9张宽度相等的长方形纸条．那么这9张纸条的面积之和是cm2拓展提高请同学们仔细观察以下两幅图有什么共同特点？

公安人员在侦破案件中，有时会从一枚指纹来确定罪犯的身份，最终破案。借助放大镜可以将它放大，保持形状不变。再如微型胶卷所拍摄的照片就是把实物缩小形状不变。关注生活

你还能举出生活中将一个图形放大或缩小的例子吗?关注生活探索活动点O和ΔABC(1)画射线OA、OB、OC，分别在OA、OB、OC画ΔA1Ｂ1Ｃ1．上取点A1、Ｂ1

、Ｃ1，使A1B1C1ABCO．探索活动已知点O和ΔABC分别在OA、OB、OC的反向延长线上取点A2、Ｂ2、Ｃ2，使，画ΔA2Ｂ2Ｃ2．B．ＡCOA2B2C2合作交流A1B1C1ABCO．上面两幅图中的两个三角形之间各有何关系？

在上图中，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行〔或在同一条直线上〕．像这样的两个图形叫做位似形，这个点叫做位似中心．位似形：位似形的性质：(1)两个位似形一定是相似形；(2)各对对应顶点所在的直线都经过同一点；(3)各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比.典例分析例1、以下说法不正确的选项是〔〕A、位似图形一定是相似图形B、相似图形不一定是位似图形C、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D、位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行例2、如图,△ABC∽△DEF，它们对应顶点的连线AD,BE,CF相交于点O,这两个三角形是不是位似三角形?0BECFAD典例分析典例分析例3、如图，以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍．．DOABC变式:假设O在四边形外部呢？

如图，以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍．．DOABC还有别的画法吗？试试看！A(2,0)B(4,3)C(2,4)D(-2,4)例4如图〔１〕请写出四边形ABCD各顶点的坐标；〔２〕以坐标原点Ｏ为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使像与四边形ABCD的位似比为３，要求写出像的各顶点的坐标．481216-4-8-12-16812-4-8-120yxABCD4C2B2A2D1C1B1A1D2以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：假设原图形上点的坐标为〔x，y〕，像与原图形的位似比为k，那么像上的对应点的坐标为〔kx，ky〕或〔―kx，―ky〕典例分析5、在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在BC上，F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：第一步：画出一个有3个顶点落在△ABC两边上的正方形D1E1F1G1；第二步：连结BF1，并延长交AC于点F；第三步：过F点作FE⊥BC交AB于点E；第四步：过F点作FG∥BC交AB于点G；第五步：过G点作GD⊥BC于点D．四边形DEFG即为所求作的正方形DEFG．典例分析根据以上作图步骤，答复以下问题：〔1〕上述所求作的四边形DEFG是正方形吗？为什么？〔2〕在△ABC中，如果BC=10，高AQ=6，求上述正方形DEFG的边长．ABCDEFGG1D1E1F1下面备用2.在直角坐标系中，三角形ABC的各个顶点坐标如图。现在要以坐标原点O为位似中心，作出像与原像的位似比为2/3的新图形并说出各个对应点的坐标。xy-4-3-2-1o12345

54321-1-2-3-4ACBF1E1D1EFD练一练：。将绿色五角星缩小为原来的一半。。。。。。。。。。O典例分析4、如图在6×6的方格中画出等腰梯形ABCD的位似图形，位似中心为点A，所画图形与原等腰梯形ABCD的相似比为2：1．ABCD初中数学九年级(下册)用相似三角形解决问题〔1〕作者：王磊(连云港市海州实验中学〕光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体的后面光线不能到达的区域便产生影．

用相似三角形解决问题〔1〕太阳光线可以看成是平行光线.在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影．用相似三角形解决问题〔1〕在操场上，分别竖立长度不同的甲、乙、丙3根木杆，在同一时刻分别测量这3根木杆在阳光下的影长，并将有关数据填入下表：通过观察、测量，你发现了什么？请与同学交流．在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．

数学实验室用相似三角形解决问题〔1〕如图，甲木杆AB在阳光下的影长为BC．试在图中画出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长．尝试与交流

用相似三角形解决问题〔1〕走近金字塔胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一〞．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．用相似三角形解决问题〔1〕古埃及国王为了知道金字塔的高度，请一位学者来解决这个问题．在某一时刻，当这位学生确认阳光下他的影长等于他的身高时，要求他的助手测出金字塔的影长，这样他就十分准确地知道了金字塔的高度．尝试与交流用相似三角形解决问题〔1〕例题：如图，AC是金字塔的高，如果此时测得金字塔的影DB的长为32m，金字塔底部正方形的边长为230m，你能计算这座金字塔的高度吗？你能用这种方法测量出学校附近某一物体的高度吗？用相似三角形解决问题〔1〕1．身高为m的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为m，此时她身后一棵水杉树的影长为m，那么这棵水杉树高为()．A．mB．8mC．mD．m练习与稳固2．书本配套练习1．

3．书本配套练习2．

用相似三角形解决问题〔1〕小丽利用影长测量学校旗杆的高度．由于旗杆靠近一个建筑物，在某一时刻旗杆影子中的一局部映在建筑物的墙上．小丽测得旗杆AB在地面上的影长BC为20m，在墙上的影长CD为4m，同时又测得竖立于地面的1m长的标杆影长为m，请帮助小丽求出旗杆的高度．拓展与延伸用相似三角形解决问题〔1〕1．本节课，你学到了哪些新知识？2．你能根据本节课的数学实验撰写一份?数学实验报告?，并上传到凤凰数学网学生社区吗？小结与思考用相似三角形解决问题〔1〕谢谢!源于生活的数学

某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶。(1).如图(1)().ABC┍ABC7m10m(1)(2)(2).如图(2)().(3).如图(2)().(4).如图(2)().(5).如图(2)().×√×××辨一辨：例:如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高.ABCD①tanA=

=

；

②tanB=

=

；③tan∠ACD=

；④tan∠BCD=

；相等精讲点拨：

等角的正切值.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3,AB=5，求∠ACD、∠BCD的正切值.BAC35D练习：谈谈你的收获

楼梯是我们日常生活中常见的物体，为什么大多数楼梯都是弯曲的？教学程序与评价感悟生活：课堂作业补充习题：P19如图,在Ｒt△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝90°,∠Ａ＝30°,Ｅ为ＡＢ上一点，且ＡＥ:ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，那么tan∠CFB的值等于思考：正弦，余弦ABCtanA=tanB=复习回忆26m13m5m

如图,小明沿着某斜坡向上行走了13m,他的相对位置升高了5m.如果他沿着斜坡行走了26m,那么他的相对位置升高了多少?问题A可求出∠A的对边与斜边之比为＿＿＿可求出∠A的对边与斜边之比为＿＿＿以上情况下∠A的邻边与斜边的比值又如何？由刚刚分析可知:

当直角三角形的一个锐角的大小确定时,它的对边与斜边的比值,

邻边与斜边的比值也就确定.ABC在△ABC中,∠C=90°.

我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.ABC

我们把锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.典型例题例1.根据图中数据,分别求出∠A,∠B

的正弦,余弦.ABC①②3443

:如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D

如何用量角器与刻度尺求出sin15º、及cos15º的值?15ºACB1〕画∠A=15º，在∠A一边上取一点B作BC垂直于另一边，垂足为C。2〕测量BC与AB的长度，求出BC与AB的比值思考:注：为了方便，通过我们可取AB=1典型例题例2:利用计算器求以下各值〔精确到〕(1)sin75º(2)cos75º(3)sin23º13´20´´练习：借助计算器,求值〔精确到〕:α10º20º30º40º50º60º70º80ºsinαcosα观察与发现当锐角α越来越大时,

它的正弦值越来越_____,

它的余弦值越来越_____,0.170.340.50.640.770.870.940.980.980.940.870.770.640.50.340.17大小如图,直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，那么直角边BC的长是〔〕A．msin40° B．mcos40° C．mtan40° D．随堂练习1.在△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,那么sinB的值是______.2.在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=3AC，那么sinA=______,cosA=______，tanA=______.如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=AB=15，求△ABC的周长和tanA的值．

在△ABC中,∠C=90°,如果,求sinB，tanB的值.思考题思考题比较：sin40°与sin80°的大小;cos40°与cos80°的大小?探索与发现当锐角α越来越大时,

它的正弦值越来越_____,

它的余弦值越来越_____,大小课堂小结三角函数正弦

余弦

正切

如图，⊙0是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,假设⊙O的半径为2，AC=3，那么cosB的值是〔 〕如图，⊙0的半径为1，锐角△ABC内接于⊙0，BD⊥AC于点D,OM⊥AB于点M，那么sin∠CBD的值等于〔〕A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长特殊角的三角函数值学习目标1、能根据正弦、余弦、正切、余切的定义，求出30°、45°、60°角的三角函数值。2、熟记30°、45°、60°角的三角函数值。3、能运用三角函数解决可以转化为直角三角形问题的简单的实际问题。特殊角三角函数值直角三角形的两个锐角之间有什么关系?直角三角形的两个锐角互余。知识回顾三角函数正弦

余弦

正切

ABCabc脑中有“图〞，心中有“式〞探索新知假设∠A=30°,你能求出sin30°,cos30°,tan30°吗？②用计算器①度量，用定义还有其他方法吗？假设∠A=45°，你能求出sin45°、cos45°、tan45°吗？30°45°60°sinαcosαtanα222213填一填，记一记角α三角函数

认真观察一下特殊角三角函数值表格,你能发现什么规律？☆

应用练习1.角，求值求下列各式的值2sin30°+3tan30°+tan45°=2+dcos245°+tan60°cos30°=21.2.☆

应用练习1.角，求值求锐角A的值2.值，求角1.已知tanA=，求锐角A.已知2cosA-=0,

求锐角A的度数.

∠A=60°∠A=30°解：∵2cosA-=0∴2cosA=∴cosA=∴∠A=30°☆

应用练习1.角，求值确定值的范围2.值，求角1.在Rt△ABC中∠C=90°，当锐角A>45°时，sinA的值〔〕(A)0＜sinA＜(B)＜sinA＜1(C)0＜sinA＜(D)＜sinA＜13.确定值的范围B(A)0＜cosA＜(B)＜cosA＜1(C)0＜cosA＜(D)＜cosA＜12.当锐角A>30°时，cosA的值〔〕C☆

应用练习1.角，求值确定角的范围2.值，求角3.确定值的范围(A)0°＜∠A＜30°(B)30°＜∠A＜90°(C)0°＜∠A＜60°(D)60°＜∠A＜901.当∠A为锐角，且tanA的值大于时，∠A〔〕B4.确定角的范围☆

应用练习1.角，求值2.值，求角3.确定值的范围4.确定角的范围

确定角的范围2.当∠A为锐角，且sinA=那么∠A〔〕(A)0°＜∠A＜30°(B)30°＜∠A＜45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A≤90°

A1/5例1：如图，AC是△ABC的高，BC=15cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.ACBD能力提升如图，在△ABC中，BC=1+，∠B=60°，∠C=45°，求AB的长.ACBDlianjiezhongkao(2).成功就在你面前一根4米长的竹竿，斜靠在墙上。请问：

1、如果竹竿与地面成60°的角，角多远？那么竹竿下端离墙460°2、如果竹竿上端顺墙下滑到高度2米处停止，那么此时竹竿与地面成锐角的大小是多少？24？请你谈谈对本节学习内容的体会和感受。

今天你有什么收获?CAB∠BCA=90°，∠A=30°可以知道,AB=2BC还可以求出AC=BC那么,此时,sin60°、cos60°、tan60°你可以求出来吗?探索新知假设∠A=45°，你能求出sin45°、cos45°、tan45°吗？CAB显然，△ABC是一个等腰直角三角形，有AC=BC∠BCA=90°，∠A=45°进而AB=AC7.4由三角函数值求锐角教学目标一、过程与方法经历用计算器由三角函数值求相应锐角大小的过程，进一步体会三角函数的意义.二、知识与技能

1.会根据锐角的正弦、余弦和正切值，利用科学计算器求该锐角的大小.2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的简单实际问题.三、情感、态度与价值观培养学生勇于探索的精神.教学重点和难点：

根据锐角的正弦、余弦和正切值，利用科学计算器求该锐角的大小是本节的重点和难点.前几节课,我们已经知道:任意一个锐角,用计算器都可以求出它的函数值.反之,三角函数值能否求出相应的角度?思考ABC“斜而未倒〞α你能求出塔偏离垂直中心线有多少度吗?例如，sinα＝０.２９７４，求锐角α．按键顺序如下：SHIFT792.0sin=4即α例1根据下面的条件,求锐角β的大小(精确到)(1)sinβ；(2)cosβcosSHIFT0.7857=得得sinSHIFT0.4511=tanSHIFT1.4036=得例1如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10).0.0=550.∴V型角的大小约550.,5208.02.1910tan:»==CDAD∠ACDQ解例２:如图，一段公路弯道ＡＢ两端的距离为200m,AB的半径为1000m,求弯道的长（精确到0.1m）。⌒⌒ＣＡＢＯ课内练习:1．在Ｒt△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°，根据下列条件求各个锐角（精确到）：ＣＡＢ〔１〕ＡＢ＝３，ＡＣ＝１；〔２〕ＡＣ＝4，ＢＣ＝5．２．如图，测得一商场自动扶梯的长Ｌ为８米，该自动扶梯到达的高度h是５米．问自动扶梯与地面所成的角θ是多少度（精确到）？Ｌhθ如图,将一个Rt△ＡＢＣ形状的楔子从木桩的底端点Ｐ沿着水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，如果木桩向上运动了1cm，楔子沿水平方向前进５cm〔如箭头所示〕，那么楔子的倾斜角为多少度?解由题意得，当楔子沿水平方向前进５cm，即ＢＮ＝５cm时，木桩上升的距离为ＰＮ,即PN=1cm．CAFPBＮ∠B=?FPBCA在Rt△PBN中，∵tanB==加强稳固由锐角的三角函数值求锐角的大小填表:一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=练一练1.sin700=cos500=(3)tanA=,则A=(4)2sinA-=0,则A=2.(1)sinA=0.3475,则A=(精确到1")(2)cosA=0.4273,则A=(精确到1")20020'4"64042'13"300600练一练3.sinα·cos300=,求锐角α.4.一梯子斜靠在一面墙上,梯子长4m,梯子位于地面上的一端离墙壁2.5m,求梯子与地面所成的锐角.5.

一个人由山底爬到山顶,需先爬400的山坡300m,再爬300的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m).6.图中的螺旋形由一系列直角三角形组成.每个三角形都以点O为一顶点.(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小.(2)∠An-1OAn,是一个小于200的角,求n的值.解直角三角形实际生活中，如：河道宽度、建筑物测量问题，航空、航海定位问题，均可以用锐角三角函数解决。建筑物测高例1如图，河对岸有一小塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，沿CB所在直线向塔前进12米到达D处，测得塔顶A的仰角为45°.求塔高AB〔精确到米〕ABCD30°12米45°例2某海防哨所O发现在它的北偏西30°，距离哨所500m的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分时间后到达哨所东北方向的B处，问船从A处到B处的航速是每时多少km〔精确到1km/h〕东A。。BO北C30°45°例3如图，测得两楼之间的距离为，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，观测点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度〔精确到〕ABCDEF35°12′43°24′32.6学校操场上有一根旗杆，上面有一根开旗用的绳子〔绳子足够长〕，王同学拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300和450的三角板去度量旗杆的高度。假设王同学分别在点C、点D处将旗杆上绳子分别拉成，如图量出CD=8米，你能求出旗杆AB的长吗？测一测ABC8m450600D小结：1.找到实际问题与“解直角三角形〞间的联系点；2.分析题意后能画出准确的示意图课本P19课内练习1，2，3练一练作业课本P19－20

作业题1－5引例:小明在荡秋千时,秋千的长度为2m,求秋千升高1m时,秋千与竖直方向所成的角度.ABOCABO问题:“五一〞节,小明和同学一起到游乐场游玩.游乐场的大型摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约m)开始1周的观光,经过2min后,小明离地面的高度是多少?CD典型例题1.摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达10m?2.小明将有多长时间连续保持在离地面10m以上的空中?1.单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB’的位置时,∠BAB’=11°,问这时摆球B’较最低点B升高了多少(精确到1cm)?ABB’C热身练习热身练习2.跷跷板长4m,当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面1.5m.求此时跷跷板与地面的夹角(精确到0.1°).ABOC

如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒米收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米?(结果精确到米)D

中考点击为缓解“停车难〞的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否平安驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE。〔精确到〕中考点击某工厂接受一批支援四川省汶川灾区抗震救灾帐蓬的生产任务．根据要求，帐篷的一个横截面框架由等腰三角形和矩形组成〔如下图〕．等腰△ABE的底角∠AEB=θ，且tanθ=，矩形BCDE的边CD=2BC，这个横截面框架〔包括BE〕所用的钢管总长为15m．求帐篷的篷顶A到底部CD的距离．〔结果精确到〕某学校体育看台的侧面如阴影局部所示，看台有4级高度相等的小台阶。看台高，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1m的不锈钢架杆AD和BC〔杆子的底端分别为D，C〕，且∠DAB=66.5°

〔1〕求点D与点C的高度差DH

〔2〕求所用不锈钢材料的总长度l〔即AD+AB+BC,结果保存到〕

〔参考数据：，，〕中学生的视力情况调查九年级(下册)初中数学探究新知►活动1知识准备1．在调查一年内某地区降雨的情况时，以下选取样本较为恰当的是()A．春、夏、秋、冬各观察一个月B．春、夏、秋、冬各观察一天C．春天和秋天各观察一个月D．冬天和夏天各观察一个月A中学生的视力2．某出租车公司在五一小长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份的总营业额约为5×31＝155(万元)．根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：_______．不合理►活动2教材导学中学生的视力3.思考与探究完成下题：以下四种调查：①调查某班学生的身高情况；②调查某城市的空气质量；③调查某风景区全年的游客流量；④调查某批汽车的抗撞击能力，其中适合用全面调查方式的是()A．①B．②C．③D．④A

通过调查中学生的视力情况，收集有关数据，并对数据进行整理、描述、分析，可以提出保护视力的建议.

你认为可以怎样收集数据?A,B,C三名学生都对本地区的特殊群体进行调查，所抽取的样本缺乏代表性，对总体白勺估计偏差较大.

学生D的调查为普查，但工作量，特别是运算量较大;学生E抽取的样本具有代表性，因而对总体的估计比较准确.归纳提高

在统计里，我们通常是从总体中抽取样本，并根据样本的某种特性估计总体的相应特性.

为了使估计、推断更加准确，抽样时要注意样本的代