空间直线、平面的垂直-2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

8.6.1空间直线、平面的垂直

【知识点一】直线与平面垂直的定义

如果直线1与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相

定义

垂直

记法lA.a

直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面，它们唯一的公共点尸叫

有关概念

做垂足

图示

画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

【知识点二】直线和平面垂直的判定定理

文字

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

语言

符号

/_!_%/_Lb,aUa,6Ua,/_La

语言

^7

图形

语言

【知识点三】直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行

aJLal

符号语言\^a//b

bA.a\

图形语言

【知识点四】平面与平面垂直

(1片面与平面垂直

①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

②画法:

3/

③记作：aA-p.

（2）判定定理

文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

\

>

图形语言n(--:

/___OI

符号语言/1a,luga邛

【初识点五】平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，

文字语言

那么这条直线与另一个平面垂直

符号语言

a_L£,aC\fl=ltaUa,a_L/=>ad_6

图形语言nii

>[ZZI11

【例1-1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是.

①若直线/与平面a内的无数条直线垂直，则LLa；

②若直线/与平面a内的一条直线垂直，则LLa；

③若直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线；

④若直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与I垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

【变式1】（1）若三条直线04OB,0C两两垂直，则直线04垂直于（）

A.平面。4BB.平面04。

C.平面08cD.平面彳8c

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边

形的两边.能保证该直线与平面垂直的是.（填序号）

【变式2】下列说法中，正确的有（）

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

②过直线/外一点P,有且仅有一个平面与/垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④垂直于角的两边的宜线必垂直角所在的平面；

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【例2-1](线面垂直的判定)在四棱锥P-ABCD中，ZABC=ZACD=90，N8AC=ZCAD=60，

PA_L平面ABC。，E为PO的中点，M为40的中点，PA=2AB=4.

(1)取PC中点尸，证明：PC_L平面AE尸;

(2)求点O到平面ACE的距离.

【变式1】如图，在三棱锥S-48C中，ZJ5C=90°,。是4c的中点，且S4=S5=SC.

(1)求证：SZ)J_平面力8C；

(2)若4B=BC,求证：8。_1平面54。

【变式2】将棱长为2的正方体ABCD-ABIGA沿平面ABCR截去一半(如图1所示)得到如图2

所示的几何体，点E，尸分别是BC,OC的中点.

(I)证明：稗_L平面A4C；

(II)求三棱锥A一口£尸的体积.

【例2-2】（线面垂直的性质）如图，在四棱锥P-48CO中，底面Z8CZ）是矩形，48_1_平面处£>,AD

=”,七是尸0的中点，M,N分别在45,PC上，且MNL4B,MALLPC.证明：AE//MN.

【变式1】如图，aCp=LPA-La,PB邛,垂足分别为X,B,a^a,a_L4A求证：a//l.

【例3-1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是（）

A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面。内的直线。垂直于平面夕内的直线6

【例3-2】己知直线打，〃与平面a,fl,给出下列三个结论：

①若m〃a,n//a,则加〃〃；②若〃M，a,〃_La,则m_L〃；③若m_La,m〃则a_L£.

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面（）

A.有且只有一个B.有无数个

C.有且只有一个或无数个D.可能不存在

【例3-3](证明面面垂直)如图，四棱徒尸―A3c。中，底面ABC。是正方形，尸D_L平面43CQ,

AB=2,PD=2瓜,。为4C与的交点，E为棱依上一点.

(1)证明：平面£4C_L平面PBO；

(2)若PD〃平面EAC,求三棱锥B-AEC的体积.

【变式I】如图，在三棱锥P-48C中，Q4_LAB，PA±BC，AB±BC,PA=AB=BC=2,

。为线段AC的中点，E为线段尸。上一点.

(1)求证：平面平面PAC；

(2)当尸A〃面8OE时，求三棱锥E-8CD的体积.

【例3-4］（面面垂直的性质）如图，在三棱锥尸一48C中，刃_1_平面力8C,平面以8_L平面P8C.

求证：BCtAB.

【变式1】如图,边长为2的正方形4CZ）E所在的平面与平面48。垂直,40与CE的交点为M,4C_L8C.

求证：/M_L平面E8C.

课后练习题

1.如图，已知R4_L。。所在平面，4?为。。的直径，。是圆周上的任意一点，过力作AEJ_尸。于£.求

证：AE_L平面用C.

2.如图，在正方体—中，£为耳。的中点，ACQBD=.求证:

(1)AC_L平面4800；

(2)DE”平面ACR-

3.如图所示，在正方体A8。。—A8G。中，点。为底面48CZ)的中心，点尸为CG的中点，求

证：4。_1_平面//)9.

4.已知直三棱柱ABC-A4G中，ABAC=90°,AB=AC，。是中点，E是的中点.

(1)求证：AD1BC.；

(2)求证：OE//平面AGB.

5.如图，在四棱锥产一ABC。中，PA_L底面ABC。，AB±AD.AC1CD,PA=ACfE是PC

的中点.

证明：（I）CO_LAE；

（II）P£）_L平面ABE.

6.如图，边长为2的正方形A8CO所在的平面与半圆弧°。所在平面垂直，M是C。上异于C,D

的点.证明：平面AMD平面BMC.

AB

7.如图，在三棱锥心力比中，夫4_1_平面抽。且43=8。，D、少分别为外力C的中点.

(1)求证：24〃平面幽

(2)求证：平面平面为C

8.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AqG。中，E,尸分别为4R,与a的中点.

(1)求证：平面〃平面8。尸:

(2)求平面A31E与平面3。①之间的距离;

8.6.1空间直线、平面的垂直

【知识点一】直线与平面垂直的定义

如果直线/与平面Q内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面Q互相

定义

垂直

记法Ila

直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面，它们唯一的公共点尸叫

有关概念

做垂足

4

图示

画法画宜线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

【知识点二】直线和平面垂直的判定定理

文字

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

语言

符号

IA-G,lA-bfaUa,bUa,aOb=P=>U.a

语言

图形

语言©

【知识点三】直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于向一个平面的两条直线壬红

a_La

符号语言b

b-La

图形语言

【知识点四】平面与平面垂直

(1片面与平面垂直

①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直三面阴，就说这两个平面互相垂直.

②画法：

③记作：a邛.

（2）判定定理

文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

下;~

图形语言

符号语言/±a,lu归a邛

【知识点五】平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平垂的交线,

文字语言

那么这条直线与另一个平面垂直

符号语言a邛,aC\°=l,OUQ,a_LQa_L6

图形语言

【例1-1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是

①若直线/与平面a内的无数条直线垂直，则/JLa；

②若直线/与平面a内的一条直线垂直，则，J_a：

③若直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线；

④若直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

【答案】④⑤

【解析】当直线/与平面a内的无数条直线垂直时，/与a不一定垂直，所以①不正确；当/与a内的

一条直线垂直时，不能保证/与平面a垂直，所以②不正确；当/与a不垂直时，/可能与a内的无数

条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.

【变式1】（1）若三条直线。408,。。两两垂直，则直线。力垂直于（）

A.平面B.平面。1C

C.平面08cD.平面力8C

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边

形的两边.能保证该直线与平面垂直的是.（填序号）

【解析】（1）・・・CM_LO8,OA±OCfoanoc=o,OB,OCU平面O8C,

・・・CM_L平面OBC.

（2）根据直线与平面垂直的判定定理，口面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相

交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.

【变式2】下列说法中，正确的有（）

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

②过直线/外一点P,有且仅有一个平面与/垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于。的平面内.

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【答案】B

【解析】①④不正确，其他三项均正确.

【例2-1］（线面垂直的判定）在四棱锥尸一人BCD中，ZABC=^ACD=90»ZBAC=ZCAD=60，

PAJ_平面ABC。，E为PD的中点,M为AO的中点，PA=2AB=4.

（1）取PC中点网，证明：PC_L平面4田尸:

（2）求点。到平面ACE的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）2班

【解析】（1）证明：因为PC中点尸，

在中，AB=2,ZBAC=60,则8。=2百,4。=4.

而始=4,则在等腰三角形APC中，PC_L4尸①.

又在△PC。中，PE=ED,PF=FC,则EF〃CD，

因为Q4_L平面ABC。，COu平面ABCO,则P4_LCD,

又ZAC£>=90，即ACJ_CO,ACnPA=A,

则CD_L平面PAC,因为PCu平面PAC，所以尸C_LC。，因此M_LPC②.

又所0|4产二尸，由①②知PCJ■平面人石尸：

(2)在用AACD中，CD=4B,AC=4,/.SA4CD=8>/3*

又EMHPA,P4_L平面ABC。，

平面ABC。，即EM为三棱锥E—ACD的高，

VFACD=—SACD.EM——,85/3,2———~~—>

C-"AV£Z33▼3

在石中，AE=CE=2瓜AC=4，•*-S.ACE=8，

设点。到平面ACE的距离为力，

则％.ME=L-Am=g•S.ME•。=-

:&=2日即点。到平面ACE的距离为26.

【变式I】如图，在三棱锥S-48C中，ZJ5C=90°,。是4C的中点，且双=S8=SC

(1球证：SO_L平面力8C；

⑵若4B=BC,求证：8O_L平面S4C

【解析】证明(1)因为S/=SC,。是4c的中点，

所以SQ_L4c在RtZk/5C中，AD=BD,

由已知S4=S8,

所以AADS当ABDS,

所以SQ_L8D又力005。=。，AC,BDU平面4BC,

所以SO_L平面ABC

(2)因为48=8C,。为4c的中点，

所以8O_L4C由(1)知SD±BD.

又因为son/c=o,SD,NCU平面弘C,所以8QJ_平面S4c.

【变式2】将棱长为2的正方体ABC。-A4G。沿平面ABCR截去一半(如图1所示)得到如图2

所示的儿何体，点E，尸分别是3C,OC的中点.

（I）证明：即_L平面AAC；

（II）求三棱锥的体积.

【答案】（I）证明见解析；（II）1.

【解析】（I）如图所示：

连接50，易知BD_L4C,

因为AA_L平面ABCD,BDu平面ABCD，

所以AAJ_8£）,又AAIAC=A,

所以80J.平面AAC.

在△CM中，点E,尸分别是3C,DC的中点,

所以BD//EF.

所以斯JL平面A4C.

（II）•・•ROJ•平面A8CZ），

・・・马。是三棱锥。一人后尸在平面4M上的高，且口。=2.

•・•点E，尸分别是8C,0c的中点,

DF=CF=CE=BE=\

1113

1

：.S^AEF=2—ADDF--CFCE--ABBE=-.

113

===XX

^A-DtEF^-AEFT',^I^TT2=1

【例2-2】（线面垂直的性质）如图，在四棱锥尸一48CO中，底面48co是矩形，力8_L平面为。，AD

=AP,E是PZ）的中点，M,N分别在48,PC上，且MALL48,MN_LPC.证明：AE//MN.

【解析】证明・・・/8_1_平面为。，［Eu平面为。，：.AELAB,

大AB〃CD,：.AEA.CD.

9

：AD=APtE是PD的中点,：.AE1PD.

又CDC\PD=D,CD,PDu平面PC。，

・"4E_L平面PCD.

•：MNLAB,AB〃CD,:,MN上CD.

又,：MN1PC,PCOCD=C,PC,CZ)u平面尸8,

・・・MN_L平面PCQ,:・AE〃MN.

【变式1】如图，。门尸,R4±afPB邛,垂足分别为4B,qUa求证：a//l.

【解析】证明・・・%J_a,/Ua,同理尸8_L/.

•:PACPB=P,PA.PBU平面R4B,：・/_L平面R18.

又,；刃_1_。，aUa,»,PAVa.

Va-LAB,PACiAB=AtPA,48U平面以8,

平面PAB.

：.a//L

【例3-1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是（）

A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面。内的直线。垂直于平面广内的直线/>

【答案】D

【解析】如图所示，在正方体481GA中，平面4历。内的直线小乱垂直于平面4BC。内

的一条直线5C,但平面4SCQ与平面488显然不垂直.

【例3・2】已知直线小〃与平面a,P，给出下列三个结论：

①若机〃a,n//a,则/%〃〃；②若zn//a,〃_La,则m_L〃；③若m_La,tn//fl,则a_L/?.

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】①若〃]〃a,nila,则也与"可能平行、相交或异面，故①错误；易知②®正确.所以正确

结论的个数是2.

【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面（）

A.有且只有一个B.有无数个

C.有且只有一个或无数个D.可能不存在

【答案】C

【解析】若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点

的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直.

【例3-3]（证明面面垂直）如图，四棱淮P-A3CD中，底面48co是正方形，「。_1平面48。。，

AB=2fPD=2显,。为AC与8。的交点，E为棱PB上一点.

（1）证明：平面E4C_L平面只2；

（2）若「。〃平面E4C,求三棱锥5—AEC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）亚.

3

【解析】（1）因为四边形ABC。为正方形，则AC_L8。,

・.・PD_L底面48C£>,4。匚平面488,.・.八。_1尸£>,

・.・PDcBD=D二

•••ACu平面E4C,•.・平面E4c_L平面尸8ZM

•・•四边形ABC。为正方形，且ACC|BO=。，则。为的中点，

因为PD〃平面AEC，PDu平面PBD，平面PBDpI平面AEC=QE，/.OE〃尸。，

・・•。为3。的中点，.•.£为P8的中点，

•.•丹)_1平面43。£),..0E，平面45。。，且OE=LpD=6

2

1，

2

△ABC的面积为S^ABC=-X2=2,

所以，AFC=VF=-5-5AABrOE=ix2x^=—.

【变式1】如图，在三棱锥尸一ABC中，PALAB,PALBC,AB±BC,PA=AB=BC=2,

。为线段AC的中点，E为线段尸。上一点.

B

（1）求证：平面或应，平面PAC；

（2）当P4〃面必出时，求三棱锥E-BCD的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

【解析】（1）证明：由A3=3C，。为线段AC的中点，

可得8O_LAC,

由H4_LA3,PA.LBC,ABcBC=B,

可得B4_L平面ABC，

又成）u平面ABC，

可得PALBD,

又PAPIACM

所以8。1平面P4C,8OU平面皮出，

所以平面应应JL平面PAC；

（2）解：PA〃平面3£＞七，Q4U平面R4C,

且平面PACD平面BDE=DE,

可得B4//OE,

又。为AC的中点，

可得E为PC的中点，且。E=，P4=1,

2

由R4_L平面ABC,可得。E_L平面ABC,

可得月万明二女工同叱=：*3'2*2m,

则三棱锥E-BCD的体积DE.

V=1S.B0C=1xlxl=1.

【例3-4】（面面垂直的性质）如图，在三棱锥尸一48c中，B4_L平面48C,平面为B_L平面P8C

求证：BCLAB.

【解析】证明如图，在平面%8内,

作于点D

•・•平面平面?4C,

且平面为8n平面PBC=PB,

4Z)U平面PAB,

・・・4O_L平面PBC.

又SCU平面P8C,：.ADVBC.

又・・・R4_L平面48C,8CU平面48C,・••以_L5C,

又•.•％G/£)=4.・.8C_L平面以4.

又力6U平面B45,：.BC^AB.

【变式1】如图,边长为2的正方形力C。/所在的平面与平面N8C垂直，力。与CE的交点为忆力C_L8C.

求证：4V/_L平面EBC.

【解析】证明•・•平面/COEJ■平面48C,平面力C3En平面/8C=4C,3CU平面ABC,BCA-AC.

，BC_L平面力8E.

又4WU平面力COE,：,BCVAM.

•.•四边形XC0E是正方形，：.AM±CE.

义BCCCE=C,BC,ECU平面E8C,

・・・,4MJL平面EBC.

课后练习题

1.如图，己知RA_L。。所在平面，47为。。的直径，。是圆周上的任意一点，过力作他_1_PC于匹求

证：AE_L平面加C.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：由49是。。的直径，

得BCJLAC.

又R4_L。。所在平面

BCuOO所在平面内

所以8C_LB4,又ACcR4=A,

所以8。_1_面为。，AEu面处C

所以8C_LAE,又AE_LPC，BCcPC=C,

所以AE_L平面PBC.

2.如图，在正方体A8CD-AgGA中，£为印d的中点，ACC\BD=.求证:

（1）AC_L平面B/DR；

（2）OE〃平面ACq.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）,・•在正方体中，8片_1_平面ABCO,

4。（=平面45<7。，..34_14。，

vACABD,BDcBB『B,

AC_L平面用8。2；

(2)连接。巴，

•・•在正方体中，BB}HDD.且=DD-

四边形5片。|。是平行四边形，.•.&)//4"且30二与。1,

・・・QE分别为3。,3a中点，.•.”>=£%

二.四边形OEB0是平行四边形，.•.。6//。4.

・.・DE0平面AC耳，0线匚平面474，

「•DE〃平面AC4.

3.如图所示，在正方体43CO-Aq中，点。为底面ABC。的中心，点厂为CG的中点，求

证：A0_L平面区。尸.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：在正方形ABC。中，AC1BD.

•・・AA平面A8C。，3。u平面ABC。，可得AA_L3O,

而ACn/LAjuA,可得BO_L平面

而AOu平面A4.CC，则BQ_LA。，

在直角三角形AA。和直角三角形“D中，

­.­^4-=—=V2,.^AAO^OCF,.-.ZAA(9=ZCOF,

COCF

•••ZA^O+NAOA=90',ZCOF+ZAOA,=90°,即/40尸=90',即O"_LA。，

又BOJ_A。，而ObflB力=O,则A。，平面3。厂.

4.已知直三棱柱ABC-A,qq中，ZBAC=90%AB=AC,。是BC中点，E是4A的中点•

（1）求证：AD±BC｝；

（2）求证：OE7/平面AG8.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】证明：（1）・.・A3=AC,・・・AA3C为等腰一：角形

Q。为3C中点，.•.AD_L8C,

•・・48。一4四。|为直楂柱，「.平面45。，平面3。「

•・・平面A3CD平面BG=BC,A£>u平面A5C，

.•乂。_1平面3€；,

:.AD1BC-

（2）取CG中点尸，连结D尸，EF，

QD，E，尸分别为BC，CC,,A&的中点

/.EF/M.C,,DFHBC,,

•・・AGnBC|=G，DF(}EF=F

••・平面。所〃平面AC乃.

•.•DEu平面OEF

.•.DE//平面A。/.

5.如图，在四棱锥P—ABCZ)中，P4J_底面ABC。，AB±AD,AC1CD,PA=ACfE是PC

的中点.

证明：（I）CD工AE；

（II）P£）_L平面ME.

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.

【解析】（I）因为R4_L底面A3CO,。。匚底面45。。,

所以BA_LCD,

又AC_LC。,PA^\AC=A,

所以CO_L平面B4E，

又AEu平面PAE

所以CDJ.AE；

(H)因为PA=4C,£是尸。的中点，

所以尸C_LAE,乂CDtAE,CD±PC=C,

所以AE_L平