2024-2025学年新教材高中数学单元素养检测二含解析新人教B版选择性必修第二册VIP

PAGE单元素养检测(二)(第四章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.一盒中装有5张彩票，其中2张有奖，3张无奖，现从今盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票.设第1次抽出的彩票有奖的事务为A，第2次抽出的彩票有奖的事务为B，则P(B|A)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，所以P(B|A)=QUOTE.2.设随机变量X～BQUOTE，则P(X=3)等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由二项分布概率公式可得：P(X=3)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=20×QUOTE=QUOTE.3.在某项测试中，测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)=0.4，则P(0<ξ<2)= ()A.0.4 B.0.8 C.0.6 D.0.2【解析】选B.由正态分布的图像和性质得P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.4.通过随机询问110名不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由χ2=QUOTE算得，χ2=QUOTE≈7.8附表：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是 ()A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】选A.由χ2≈7.8>6.635，而P(χ2≥6.635)=0.010，故由独立性检验的意义可知选A.5.袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，登记号码并放回，假如两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.从6个球中摸出2个，共有QUOTE=15种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，所以摸一次中奖的概率是QUOTE=QUOTE，5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是QUOTE，所以有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE.6.某市环保局举办“六·五”世界环境日宣扬活动，进行现场抽奖.抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精致卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标记”图案.参与者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标记”卡即可获奖.已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标记”卡的概率是QUOTE.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，那么E(ξ)+D(ξ)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设盒中装有10张大小相同的精致卡片，其中印有“环保会徽”的有n张，“绿色环保标记”图案的有10-n张，由题意得QUOTE=QUOTE，解得n=6，所以参与者每次从盒中抽取卡片两张，获奖概率P=QUOTE=QUOTE，所以现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，则ξ～BQUOTE，所以E(ξ)+D(ξ)=4×QUOTE+4×QUOTE×QUOTE=QUOTE.7.盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取i(i=1，2)个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数Xi(i=1，2)，则 ()A.PQUOTE>PQUOTE，E(X1)>E(X2)B.PQUOTE<PQUOTE，E(X1)>E(X2)C.PQUOTE>PQUOTE，E(X1)<E(X2)D.PQUOTE<PQUOTE，E(X1)<E(X2)【解析】选C.X1=3表示取出的为一个白球，所以PQUOTE=QUOTE=QUOTE.X1=2表示取出一个黑球，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，所以E(X1)=3×QUOTE+2×QUOTE=QUOTE.X2=3表示取出两个球，其中一黑一白，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，X2=2表示取出两个球为黑球，PQUOTE=QUOTE=QUOTE，X2=4表示取出两个球为白球，P(X2=4)=QUOTE=QUOTE，所以E(X2)=3×QUOTE+2×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.所以P(X1=3)>P(X2=3)，E(X1)<E(X2).8.已知变量x，y的关系可以用模型y=cekx拟合，设z=lny，其变换后得到一组数据如表：x16171819z50344131由表可得回来直线方程=-5x+，则c= ()A.-5 B.e-5 C.126.5 D.e126.5【解析】选D.QUOTE=QUOTE=17.5，QUOTE=QUOTE=39，代入=-5x+得39=-5×17.5+，解得=126.5.所以=-5x+126.5.由y=cekx，得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx，令z=lny，则z=lnc+kx，所以lnc=126.5，则c=e126.5.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9.某高校为了解学生对学校食堂服务的满足度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满足或不满足的评价，得到如表所示的列联表.经计算χ2≈4.762，则可以推断出 ()A.该学校男生对食堂服务满足的概率的估计值为QUOTEB.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满足C.有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D.有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异【解析】选AC.对于选项A，该学校男生对食堂服务满足的概率的估计值为QUOTE=QUOTE，故A正确；对于选项B，该学校女生对食堂服务满足的概率的估计值为QUOTE=QUOTE>QUOTE，故B错误；因为χ2≈4.762>3.841，所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确，D错误.10.如图所示的电路中，5只盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事务A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是 ()A.A，B两个盒子串联后畅通的概率为QUOTEB.D，E两个盒子并联后畅通的概率为QUOTEC.A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为QUOTED.当开关合上时，整个电路畅通的概率为QUOTE【解析】选ACD.由题意知，P(A)=QUOTE，P(B)=QUOTE，P(C)=QUOTE，P(D)=QUOTE，P(E)=QUOTE，所以A，B两个盒子畅通的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE，因此A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1-QUOTE×QUOTE=1-QUOTE=QUOTE，因此B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1-QUOTE×QUOTE=1-QUOTE=QUOTE，C正确；依据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为QUOTE×QUOTE=QUOTE，D正确.11.下列命题中，正确的命题的是 ()A.已知随机变量听从二项分布B(n，p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=QUOTEB.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ听从正态分布N(0，1)，若P(ξ>1)=p，则P(-1<ξ≤0)=QUOTE-pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10，0.8)，则当X=8时概率最大【解析】选BCD.对于选项A：随机变量听从二项分布B(n，p)，E(X)=30，D(X)=20，可得np=30，np(1-p)=20，则p=QUOTE，故选项A错误；对于选项B：依据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，E(aξ+b)=aE(ξ)+b，D(aξ+b)=a2D(ξ)(a，b为常数)，故选项B正确；对于选项C：随机变量ξ听从正态分布N(0，1)，则图像关于y轴对称，若P(ξ>1)=p，则P(0<ξ<1)=QUOTE-p，即P(-1<ξ<0)=QUOTE-p，故选项C正确；对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10，0.8)，当X=k时，对应的概率P(X=k)=QUOTE×0.8k×0.210-k，所以当k≥1时，QUOTE=QUOTE=QUOTE，由QUOTE=QUOTE≥1得，44-4k≥k，即1≤k≤QUOTE，因为k∈N*，所以1≤k≤8且k∈N*，即k=8时，概率P(X=8)最大，故选项D正确.12.下列说法中，正确的命题是 ()A.已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，PQUOTE=0.84，则PQUOTE=0.16.B.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回来方程，设z=lny，将其变换后得到回来直线方程=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3.C.已知两个变量具有线性相关关系，其回来直线方程为=+x，若=2，QUOTE=1，QUOTE=3，则=1.D.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为16【解析】选BC.因为随机变量ξ听从正态分布NQUOTE，PQUOTE=0.84，所以PQUOTE=PQUOTE-0.5=0.84-0.5=0.34≠0.16，即A错；因为y=cekx，所以lny=ln(cekx)，所以lny=kx+lnc，因为=0.3x+4，所以lny=0.3x+4，从而k=0.3，lnc=4，所以k=0.3，c=e4，即B正确；因为=+x过(QUOTE，QUOTE)，所以3=+，因为=2，所以=1，即C正确；因为样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，所以数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为2×22=8，即D错误.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知x，y取值如表：x01356y1m3m5.67.4画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回来直线方程为=x+1，则m=________.

【解析】计算QUOTE=QUOTE×(0+1+3+5+6)=3，QUOTE=QUOTE×(1+m+3m+5.6+7.4)=QUOTE，所以这组数据的样本中心点是QUOTE，又y与x的回来直线方程=x+1过样本中心点，所以QUOTE=1×3+1，解得m=QUOTE.答案：QUOTE14.在西非，“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威逼，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小动物进行试验，得到列联表如表：感染未感染总计服用54550未服用153550总计2080100附：χ2=QUOTEP(χ2≥k)0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635依据题表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.

【解析】由题中数据可得χ2=QUOTE=QUOTE=6.25>5.024，依据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.025.即有97.5%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.答案：97.5%15.设离散型随机变量X可能取的值为1，2，3，4.P(X=k)=ak+b(k=1，2，3，4).又X的数学期望E(X)=3，则a+b=________.

【解析】依题意得E(X)=1·(a+b)+2·(2a+b)+3·(3a+b)+4·(4a+b)=3，且概率和(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1，解得a=QUOTE，b=0，a+b=QUOTE.答案：QUOTE16.在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题，规定每位考生必需且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为QUOTE.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________.

【解析】设事务A表示“甲选做第22题”，事务B表示“乙选做第22题”，则甲，乙2名学生选做同一道题的事务为“AB∪QUOTE”，且事务A，B相互独立，所以P(AB∪QUOTE)=P(A)P(B)+P(QUOTE)P(QUOTE)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以甲、乙两名学生选做同一道题的概率为QUOTE；因为P(A)P(B)=QUOTE×QUOTE=QUOTE，所以甲、乙两名学生都选做第22题的概率为QUOTE.答案：QUOTEQUOTE四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)通过市场调查，得到某种产品的资金投入x(单位：万元)与获得的利润y(单位：万元)的数据，如表所示：资金投入x23456利润y23569(1)画出数据对应的散点图；(2)依据上表供应的数据，用最小二乘法求线性回来直线方程=x+；(3)现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？参考公式：【解析】(1)(2)QUOTE=QUOTE=4，QUOTE=QUOTE=5，=QUOTE=QUOTE=1.7，所以=QUOTE-QUOTE=-1.8，所以=1.7x-1.8；(3)当x=10(万元)，=15.2(万元).18.(12分)在某公司的一次聘请初试笔试中，随机抽取了50名应聘者的成果(单位：分)，并把所得数据列成了如表所示的频数分布表：组别[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数39141383(1)求抽取的样本平均数QUOTE(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知样本中成果在[80，90)中的8名考生中，有5名男生，3名女生，现从中选4人进行谈话，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E(ξ).【解析】(1)由频数分布表，得样本平均数为QUOTE=45×0.06+55×0.18+65×0.28+75×0.26+85×0.16+95×0.06=69.6；(2)由已知得ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=4)=QUOTE=QUOTE，所以ξ的分布列为ξ1234PE(ξ)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=2.5.19.(12分)为迎接“五一”节的到来，某单位实行“庆五一，展风采”的活动.现有6人参与其中的一个节目，该节目有A，B两个环节可供参与者选择，为增加趣味性，该单位用电脑制作了一个选择方案：按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地匀称骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数n和m，并在屏幕的下方计算出d=QUOTE的值.现规定：每个人去按“Enter”键，当显示出来的d小于2QUOTE时则参与A环节，否则参与B环节.(1)求这6人中恰有2人参与该节目A环节的概率；(2)用X，Y分别表示这6个人中去参与该节目A，B两个环节的人数，记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望.【解析】(1)依题意得，由屏幕出现的点数n和m形成的有序数对(n，m)，一共有6×6=36种等可能的基本领件，符合d<2QUOTE的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(6，1)共24种，所以选择参与A环节的概率为P1=QUOTE=QUOTE，选择参与B环节的概率为P2=QUOTE，所以这6人中恰有2人参与该节目A环节的概率P=QUOTE=QUOTE=QUOTE；(2)依题意得ξ的可能取值为0，2，4，6，P(ξ=0)=P(X=3)=QUOTE=QUOTE，P(ξ=2)=P(X=2)+P(X=4)=QUOTE+QUOTE=QUOTE，P(ξ=4)=P(X=1)+P(X=5)=QUOTE+QUOTE=QUOTE，P(ξ=6)=P(X=0)+P(X=6)=QUOTE+QUOTE=QUOTE，所以ξ的分布列为ξ0246P数学期望E(ξ)=0×QUOTE+2×QUOTE+4×QUOTE+6×QUOTE=QUOTE.20.(12分)某商场实行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球，两个“2”号球，三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球，五个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金.(1)经统计，顾客消费额X听从正态分布NQUOTE，某天有1000位顾客，请估计消费额X(单位：元)在区间[100，150]内并中奖的人数.(结果四舍五入取整数)附：若X～N(μ，σ2)，则PQUOTE≈68.3%，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%.(2)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列.(3)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.【解析】(1)依题意得μ=150，σ2=625，得σ=25，消费额X在区间[100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约1000×P(μ-2σ≤X≤μ)≈1000×QUOTE=477(人)，其中中奖的人数约为477×0.6≈286(人)，(2)三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ听从二项分布BQUOTE，PQUOTE=QUOTE0.6k0.43-kQUOTE，故ξ的分布列为ξ0123P0.0640.2880.4320.216(3)A箱摸一次所得奖金的期望为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，B箱摸一次所得奖金的期望为50×0.5+20×0.5=35，方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.21.(12分)某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就接着摸球.按规定摸到红球嘉奖20元，摸到白球或黄球嘉奖10元，摸到黑球不嘉奖.(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】(1)1名顾客摸球2次摸奖停止，说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球，其次次摸的是黑球，所以1名顾客摸球2次摸奖停止的概率P=QUOTE=QUOTE.(2)X的可能取值为：0，10，20，30，40.P(X=0)=QUOTE=QUOTE，P(X=10)=QUOTE=QUOTE，P(X=20)=QUOTE+QUOTE=