人教版九年级数学下册27章相似教案

第二十七章相似教案

总第11课时

执教人（备课人）：

课题：27.1图形的相似

一'教学目标

1.通过实例知道相似图形的意义.

2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，

反之亦然.

二'教学重点和难点

1.重点：相似图形和相似多边形的意义.

2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.

三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，

大小也相同，它们叫什么图形？

生：（齐答）叫全等图形.

师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相

同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板

书：相似）.

师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章,

这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：第二十七章）.

（二）尝试指导，讲授新课

师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）34

页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相似图

形；还有大小不同的两个足球，它们也是相似图形；还有一辆汽车和它的模型,

它们也是相似图形.

师：看了这些相似图形，哪位同学能给相似图形下一个定义？

生：……（让几名同学回答）

（师出示下面的板书）

形状相同的两个图形叫做相似图形.

师：请大家一起把相似图形的概念读两遍.（生读）

师：（出示两张全等的图片）全等图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同；（出

示两张相似的图片）而相似图形，它们只是形状相同，它们的大小可能相同，

也可能不相同.

师：明确了相似图形的概念，下面请同学们来举几个相似图形的例子，谁先来说？

生：……（让几位同学说，如果学生说的题材不够广泛，师可以再举几个例子.譬

如，放电影时，屏幕上的画面与胶片上的图形是相似图形；实际的建筑物与它

的模型是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形和原来图形是相似

图形）

师：好了，下面请大家做一个练习.

（三）试探练习，回授调节

1.下列各组图形哪些是相似图形？

(6)

2.如图，图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？

（四）尝试指导，讲授新课

（师出示下图）

师：（指准图）这个三角形和这个三角形形状相同，所以它们是相似三角形.从图

上看，这两个相似三角形的角有什么关系？

生：ZA=ZA\ZB=ZB\ZC=ZCZ.（生答师板书：ZA=ZAZ,NB=NB',ZC=

ZCZ）

师：（指图）这两个相似三角形的边有什么关系？（让生思考一会儿）

师：（指准图）AB与A'B'的比是胆（板书：?），BC与B'C'的比是2（板

ABABB0

书：£）,CA与C'A'的比是?（板书：?），这三个比相等吗？

BOC四CN

生：（齐答）相等.

师：为什么相等？（稍停后指准图）△A'B'C可以看成是4ABC缩小得到的，假

如AB是A'B'的2倍，那么可以想象，BC也是B'C'的2倍，CA也是C'A'的2倍,

所以这三个比相等（在式子中间写上两个等号）.

师：我们再来看一个例子.

（师出示下图）

师：（指准图）这个四边形和这个四边形形状相同，所以它们是相似四边形.从图

上看，这两个相似四边形的角有什么关系？

生：ZA=ZA\NB=NB',ZC=ZC\ZD=ZDZ.（生答师板书：ZA=ZA\ZB=

ZB\ZC=ZC\ND=ND'）

师:（指图）这两个相似四边形的边有什么关系？

从ABBCCADA/4生ABBCCADA、

生：r=r=y=y.（生答师板书：r=r=y=y）

ABBOCWDWABBUCWDN

师：（指式子）这四个比为什么相等？（稍停后指准图）四边形A'B'C'D'可以看成

是四边形ABCD放大得到的，假如AB是A'B'的一半，那么可以想象，BC也是B'

C'的一半，CD也是C'D，的一半，DA也是D'A'的一半，所以这四个比相等.

师：从这两个例子，大家想一想，你能得出一个什么结论？（等到有一部分同学

举手再叫学生）

生：……（多让几名学生发表看法）

（师出示下面的板书）

相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.

师：请大家把这个结论一起来读两遍.（生读）

师：相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.实际上，这个结论反过来也是成

立的，反过来怎么说？

生：……（让几名学生说）

（师出示下面的板书）

对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.

师：请大家把反过来的结论一起来读两遍.（生读）

师：我们知道，形状相同的多边形是相似多边形.但是，什么样才算形状相同呢？

（稍停）从这两个结论我们可以看到，对多边形来说，所谓形状相同，实际上

指的就是对应角相等，对应边的比也相等.对应角相等，对应边的比也相等的多

边形是相似多边形.所以，现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义.

（师出示下面的板书）

对应角相等，对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形.

师：下面我们利用相似多边形的概念来做两个练习.

（五）试探练习，见课本p541一—2T

（六）归纳小结，布置作业

师：（指准板书）本节课我们学习了相似图形和相似多边形的概念.什么叫做相似

图形？形状相同的两个图形叫做相似图形.从这两个结论，我们进一步发现，对

多边形来说，所谓形状相同指的就是对应角相等，对应边的比也相等.所以我们

又给相似多边形下了一个更明确定义：对应角相等，对应边也相等的两个多边

形叫做相似多边形.

（作业：上练习LP38习题1.4.）o

总第12课时

执教人（备课人）：

课题：27.1图形的相似

一'教学目标

1.会运用相似多边形的概念进行计算和证明，知道相似比的意义.

2.培养推理论证能力，发展空间观念.

二、教学重点和难点

1.重点：运用相似多边形的概念进行计算和证明.

2.难点：运用相似多边形的概念进行证明.

三、教学过程

（—）基本训练，巩固旧知

1.填空：

（1）相同的两个图形叫做相似图形.

（2）相似多边形对应相等，对应的比也相等；反过来，对应相等，

对应的比也相等的多边形是相似多边形.

（二）创设情境，导入新课

师：上节课我们学习了相似图形的概念，还通过观察图形得出了相似多边形的两

个结论.

（师出示下面板书）

相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等；

对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.

师：本节课我们将利用这两个结论来做两个题目，先请看例1.

（三）尝试指导，讲授新课

（师出示例1）

例1如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角a、B的大小和EH的长度x.

（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如课本第37页所示）

（四）试探练习，回授调节

2.填空：如图所示的两个五边形相似，

=

则a=，b，,i

C=，d=.3h

（五）尝试指导，讲授新课5?7J

（师出示例2）

z

例2如图,证明△ABC和aA'B。相似.

c

c10.10

（先让生尝试，然后师分析证明思路，最后边讲解边板书，证明过程如下）

证明：在等腰直角△ABC和△A，B，。中，

ZA=ZAz=45°,NB=NB'=45°,ZC=ZCz=90°.

而AB=752+52=750=5^,

AzBz=V102+102=A/200=10^,

.AB_5亚1BC_5_1CA_5_1

而一10亚_qIK_To_25c¥-10-2

.ABBCCA

••——.

ABBOCW

△ABC与△A'BzCz相似.

（六）试探练习，回授调节

3.如图，证明aABC与△A'B'C'相似.

（七）归纳小结，布置作业

师：在课的最后，我们还要介绍一个概念.（指准例1图）我们知道，这两个四边

形相似，它们对应边的比相等，那么对应边的比等于多少？（稍停）等于电（板

24

书：1O约分后等于O巨（边讲边板书：=O士）.O士叫什么？叫相似比.一般来说,

24444

相似多边形对应边的比叫做相似比（板书：相似多边形对应边的比叫做相似比）.

师：好了，两个例题一个概念，这些就是本节课所学的内容.

（作业：P38习题3.5.）

四、板书设计

相似多边形对应角相例1例2

对应角相等，对应边……

...叫做相似比.

总第13课时

执教人(备课人)：

课题：27.2.1相似三角形的判定

一、教学目标

1.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步

发展学生的探究、交流能力.

2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单

的问题.

二、重点、难点

1.重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理.

2.难点：三角形相似的预备定理的应用.

三、课堂引入

1.复习引入

(1)相似多边形的主要特征是什么？

(2)在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.

在AABC与AA'B'C'中，

如果NA=NA',ZB=ZB,,ZC=ZCZ,且色=匹=8=1<.

ARB,C,CA，

我们就说AABC与AA'B'C相似，记作△ABCS^A'BZC,k就是

它们的相似比.

反之如果△ABCs/XA'B'C,

则有/A=NA',NB=NB',ZC=ZCZ,且整=庄=旦.

A,B,BCCA，

(3)问题：如果k=l,这两个三角形有怎样的关系？

2.教材P40的探究1让学生动手做一做，并思考总结平行线分线段成比例定理。

3.教材P41的思考，并引导学生探索与证明.

4.【归纳】

三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成

的三角形与原三角形相似.

四、例题讲解

例1如图已知DE〃BC,DF〃AC,请尽可能多的找出图中的相似三角形，并

说明理由。

a匚CR「

例2（补充）如图，在aABC中，DE//BC,AD=EC,DB=lcm,AE=4cm,

BC=5cm,求DE的长.

分析：由DE〃BC,可得△ADEsaABC,

角形的性质，有黑二亲又由AD=EC可求出

再根据哈=有求出DE的长.

解：略（DE=—）.

3

五、课堂练习.如图，在。ABCD中，EF〃AB,

DE:EA=2:3,EF=4,求CD的长.（CD=10）

六、作业

1.如图，AABC^AAED,其中DE〃BC,写出对应边的比例式.

2.如图，AABC^AAED,其中NADE=NB,写出对应边的比例式.

3.如图，DE〃BC,

(1)如果AD=2,DB=3,求DE:BC的值;

(2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的长.

总第14课时

执教人（备课人）：

课题：27.2.1相似三角形的判定

一、教学目标

1.经历观察、类比、猜想过程，得出相似三角形的三个判定定理，会简单运用这

三个定理.

2.培养合情推理能力，发展空间观念.

二、教学重点和难点

L重点：相似三角形的三个判定定理.

2.难点：得出相似三角形的三个判定定理.

三、教学过程

（—）基本训练，巩固旧知

1.填空：

全等三角形的四个判定定理：

（1）如果两个三角形三—对应相等，那么这两个三角形全等（简写成：边边边

或SSS）.

（2）如果两个三角形两—对应相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形

全等（简写成：边角边或）.

（3）如果两个三角形两—对应相等，并且相应的夹边相等，那么这两个三角形

全等（简写成：角边角或）.

（4）如果两个三角形两—对应相等，并且其中一个角的对边对应相等，那么这

两个三角形全等（简写成：角角边或）.

（本课时教学时间比较紧张，建议把本题提前留作作业）

（二）创设情境，导入新课

师：对两个三角形来说，相似就是形状相同，更明确的定义一对应角相等，对应

边的比也相等的两个三角形叫做相似三角形.

（师出示下图）

可由用来判定两个三角形相似，但利用

师：（指准板书）相似三角形的这个定义,

定义判定，既要证明三组对应角相等，又要证明三组对应边的比相等，所以比

较麻烦.怎么解决这个问题呢？（稍停）

（三）尝试指导，讲授新课

师：学习三角形全等时，我们知道，除了可以利用全等三角形定义来判定两个三

角形全等,还有四个简便的判定方法.哪四个简便的判定方法？（稍停）就是SSS、

SAS、ASA、AAS.同样，判定两个三角形相似，有没有简便的判定方法？请大家

先自己想一想.

（生思考，要给学生充足的思考时间）

师：好了，下面我们一起来考虑这个问题.

师：全等三角形判定定理SSS是怎么说的？（稍停）如果两个三角形三边对应相

等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角形的判定定理.

（师出示下面的板书）

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）

师：（指板书）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果空AD=与DC=上r。A，那么△

A0BOCI1

ABC-AAZBZCZ（边讲边作如下板书）.

AB_BC_CA

而一而一UK

B

△ABCs△A，B'C'

师：这是相似三角形的一个判定定理，下面我们来看第二个判定定理.

师：全等三角形判定定理SAS是怎么说的？（稍停）如果两个三角形两边对应相

等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形全等.类似的，也有一个相似三角

形的判定定理.

（师出示下面的板书）

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三

角形相似.

师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）

师：（指板书）如要两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那

么这两个三角形相似.（指图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果

T=夹角NA=NA',那么△ABCs^A'B'C'（边讲边作如下板书）.

AIBAIC

B

△ABCs△AzB'C'

师：这是相似三角形的又一个判定定理，下面我们来看第三个判定定理.

师：全等三角形判定定理ASA、AAS都有两个角对应相等的条件，对相似三角形来

说，具备两个角对应相等的条件，有这样一个判定定理.

（师出示下面的板书）

如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

师：（指板书）如要两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（指

图）结合这个图，这个结论的意思是说，如果NA=NA',ZB=ZBZ,那么△ABC一

△A'B'C'（边讲边作如下板书）.

NA=NA',ZB=ZBZ

B

△ABC^AA,B,C,

师：（指板书）这就是相似三角形的三个判定定理，之所以称它们为定理，是因为

它们都是可以证明的.证明的过程比较复杂，有兴趣的同学可以看课本，课堂上

我们就不证明了，只要求大家能够理解这三个判定定理，并能运用它们.下面我

们就来运用判定定理.

(师出示例题)

例根据下列条件，判断aABC与AA，B，《是否相似，并说明理由：

(1)ZA=12O°,AB=7,AC=14,

NA'=120°,A'B'=3,A'C'=6；

(2)ABM,BC=6,AC=8,

A'B'=12,B'C'=18,A,C/=21；

(3)NA=70°,ZB=60°,

NA'=70°,NC'=50°.

(先让生尝试，然后师边讲解边板书，(1)(2)题解题过程如课本第44页所示，

(3)题解题过程如下)

(3)ZC=180°-ZA-ZB=180°-70°-60°=50°.

•••ZA=ZAz=70°,

ZC=ZCz=50°,

△ABCs△AZBz(7.

(四)试探练习，回授调节

2.根据下列条件，判断AABC与△A'B'C'是否相似.

(1)ZB=1OO°,ZC=30°,

NA'=50°,ZBZ=1OO°；

(2)ZA=40°,AB=8,AC=15,

ZA=40°,A'B'=16,A/C,=2O；

(3)ABM,BC=2,CA=3,

A'B'=6,B'C'=3,C'A'=4.5.

(五)归纳小结，布置作业

师：(指板书)本节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，希望大家能够理解

这三个定理，并记住它们.

(作业：PM习题2)

四、板书设计

图……如果……例

如果NA=ZA，,...B那么……

—=—=—△ABCs△ABC'

ABBCzCZA

就说△ABC和△A'B'C'相似……如果...

记作△ABCs△A'B'C'B那么……

△ABCs△A'B'C'

...如果……

B那么……

△ABC-△NB，C'

总第15课时

执教人（备课人）：

课题：27.2.1相似三角形的判定

一、教学目标

1.会利用判定定理证明简单图形中的两个三角形相似，进而得出边角关系.

2.培养推理论证能力，发展空间观念.

二、教学重点和难点

1.重点：利而判定定理证明简单图形中的两个三角形相似.

2.难点：找相似三角形的对应边.

三、教学过程

（—）基本训练，巩固旧知

1.填空：

（1）如果两个三角形的三组对应边的—相等，那么这两个三角形相似.

（2）如果两个三角形的两组对应边的—相等，并且相应的相等，那么

这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两个—对应相等，那么这两个三角形相似.

2.判断图中的两个三角形是否相似：

△ABC与aDEF

3.6F

△OAB与AODC

△ABC与AADE

（二）创设情境，导入新课

（出示下面的板书）

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三

角形相似.

如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

师：（指板书）上节课我们学习了相似三角形的三个判定定理，请大家一起把这三

个定理读一遍.（生读）

师：本节课我们要学习什么？本节课我们要利用相似三角形的判定定理做几个题

目，请看例题.

（三）尝试指导，讲授新课

（师出示例题）

例已知：如图，ABIIDC.

求证：（1）△AOBs△COD;

（2）0A-OD=OB-OC.

（先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程

如下）

证明：VAB^DC,

/.ZA=ZC,ZB=ZD.

/.△AOB^ACOD.

.OA_OB

*'OC-OD'

AOA-OD=OB•OC.

（列竺="时，要让学生自己找OA,0B的对应边，并告诉找对应边的方法）

OC0D

（四）试探练习，回授调节

3.已知:如图，DE〃BC,

求证：（。△ABCs^ADE；

（2）AB・AE=AC・AD.

4.完成下面的证明过程：

已知如图,ZB=ZACD.

求证AC2=AB-AD.

证明VZB=ZACD,ZA=ZA,

S△___

.ABAC

)(~~),

/.AC2=AB•AD.

5.选做题：

已知:如图，AD=2DB,AE=2EC.

求证：（1）整DF=:2；

BC3

（2）DE〃BC.

（五）归纳小结，布置作业

师：本节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，通过做这几个题目,

你有什么体会？

生：……（让几名学生说）

（作业：P54习题3（2）.4.5.）

四、板书设计

支口果……刃口么例

如果……那么

如果...那么

总第16课时

执教人（备课人）:

课题：27.2.1相似三角形的判定

一、教学目标

1.会利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似，进而得出边角关系.

2.培养推理论证能力，发展空间观念.

二、教学重点和难点

1.重点：利用判定定理证明简单图形中的两个直角三角形相似.

2.难点：找相似三角形的对应边.

三、教学过程

（—）基本训练，巩固旧知

1.判断正误：对的画“J”，错的画“X”.

（1）两个全等三角形一定相似；（）

（2）两个相似三角形一定全等；（）

⑶两个等腰三角形一定相似；（）

（4）顶角相等的两个等腰三角形一定相似；（）

⑸两个直角三角形一定相似；（）

（6）有一个锐角对应相等的两个直角三角形一定相似；（）

（7）两个等腰直角三角形一定相似；（）

(8)两个等边三角形一定相似.

2.填空：

(1)如图，BE〃CD,则4s匕

ABAEBE

()=()=()；

(2)如图，AB〃DE,则4sX

ABBCCA

()=()=()；

(3)如图，ZB=ZADE,则4

ABBCCA

(),

（二）创设情境，导入新课

师：上节课我们利用相似三角形的判定定理做了几个题目，这节课我们再来做几

个题目，先看一道例题.

（三）尝试指导，讲授新课

（师出示例题）

例已知：如图，在ABC中，CD是斜边上的高.

求证：（1）△ACDs△CBD;

（2）CD=AD-BD.

（先让生尝试，然后师分析证明思路，最后师生共同完成证明过程，证明过程

如下）

证明：在RtaABC中，ZA=90°-ZB,

在RtzXCBD中，ZBCD=90°-ZB,

ZA=ZBCD.

而NADC=NCDB=90。，

AACDsACBD.

,CD_AD

"BD-CD'

CD=AD-BD.

（列史=竺时，要让学生自己找CD,AD的对应边，并强调找对应边的方法）

BDCDA

（四）试探练习，回授调节卜

3.已知：如图，在RtAABC中，CD_LAB于D.\

求证：（□△CBDSZ\ABC；\

（2）BC2=AB-BD.XD

C----

4.已知,如图，△ABC^AA,B/C,,AD和A'D'分别是BC和B'C'上的高.

师：（指准图）本节课我们学习了证明两个直角三角形相似.两个直角三角形已经

有一个直角对应相等，所以只要证明一个锐角对应相等就能得出这两个直角三

角形相似.、

A

课外补充作业：

5.已知：如图，在RtZ\ABC中，DE_LAB于E点

AE=3,AD=4,AB=6,求AC.

-----°C

6.已知:如图,在/XABC中,CD是AB上的高，CD=AD•BD.

求证：（l）Z\CBDs^ACD；C

总第17课时

执教人（备课人）：

课题：27.2.2相似三角形应用举例

一、教学目标

1.经历对实际问题的思考和讨论过程，会利用相似三角形解决高度测量问题.

2.培养把实际问题转化为数学问题的能力，发展应用意识.

二、教学重点和难点

1.重点：利用相似三角形解决高度测量问题.

2.难点：探索如何利用相似三角形解决高度测量问题.

三、教学过程

（-）创设情境，导入新课

师：从初一到现在，我们已经学了不少图形的知识，我们学过相交线平行线，我

们学过三角形四边形，我们学过圆，这些天我们又学了相似三角形.这些关于图

形的知识是怎么形成的呢？（稍停）据说在很久很久以前，埃及的尼罗河水每

年都会泛滥，两岸的田地就被淹没，水退后人们要重新划定田界，这便促使人

们学会了计算简单图形边长、面积的方法，逐步形成了图形的知识.可见，图形

知识是由于测量的实际需要而形成的.本节课我们要学的也与测量有关，我们要

利用相似三角形的知识来解决一个测量问题，先来看这样一个实际问题.

（二）尝试指导，讲授新课

（师出示下图）

师：（指图）这是旗杆，旗杆很高，怎么测量出旗杆的高度？请大家想出一个可行

的测量办法.（让生思考一会儿，等到有一部分学生举手）

师：有些同学已经有了办法，大家还是把自己的想法先在小组里交流交流.

（生小组交流，师巡视倾听）

师：哪位同学来说说你们小组讨论的情况？

生：……（让几名同学说，师作适当评价，譬如有些想法只是一种想法不具有可

行性）

师：测量旗杆的高度有很多办法，其中有一种比较好的办法是利用相似三角形来

测量，怎么利用相似三角形来测量？

师：旗杆在地上会有影子，假如这条线是旗杆的影子（边讲边画图）.我们在旗杆

影子的顶端立一根木杆（边讲边画图），木杆在地上也会影子，这条线是木杆的

影子（边讲边画图）.现在连结这两条线段（边讲边连结），就构成了两个三角

形，我们把三角形的顶点都标上字母（标字母，画好的图如下所示）.

B

DA---------iC

师：（指准图）AABC与ADEA相似吗?

生：（齐答）相似.

师：为什么相似？（让生思考一会儿再叫学生）

生：……（让一两名学生回答）

师：（指准图）因为旗杆和木杆都垂直立在地上，所以NC、NDAE都是直角（边讲

边在图中作直角符号）.

师：（指准图）而DE〃AB,为什么？（稍停）因为DE是太阳光线，A