专题09解答中档题：函数图象综合题(原卷版+解析)

专题09解答中档题：函数图象综合题一．解答题（共40小题）1．（2023•重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点，均以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，沿折线方向运动，沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为秒，点，的距离为．（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点，相距3个单位长度时的值．2．（2023•重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为．（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点，相距3个单位长度时的值．3．（2022•重庆）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；（3）若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．4．（2022•重庆）反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式的解集；（3）一次函数的图象与轴交于点，连接，求的面积．5．（2021•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；012345040（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的条性质；（3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过6．（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．012345654217（1）写出函数关系式中及表格中，的值：，，；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．7．（2023•沙坪坝区模拟）如图1，在中，，点、分别是线段、边上的中点，将线段沿射线的方向平移得到线段，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点抵达点时，线段停止运动，连接，直线与的交点为点，已知长度为，的长度为．（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）利用描点法画出此函数图象；（3）结合图象，写出函数的其中一条性质；（4）若函数图象与有且只有一个交点，则的取值范围是．8．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在矩形中，．点为中点，动点从点出发，沿折线运动，当它回到点时停止，设点运动的路程为，连接，．设三角形的面积为．（1）求出与的函数关系式，并注明的取值范围，在的取值范围内画出的函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接写出当时的值．9．（2023•沙坪坝区校级一模）如图1，在矩形中，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发．按的顺序在边上运动．与点同时出发的动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动．当动点运动到点时，动点、都停止运动．在运动路径上，设点的运动时间为秒，此时点、点之间的路径距离与点、点之间的路径距离之和为，动点的运动路程为．（1）分别求出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在如图2的平面直角坐标系中，画出为，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质：．（3）根据图象直接写出当时，的取值范围．10．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，正方形的边长为，、交于点，一动点从点出发，沿以每秒2个单位的速度运动到点时停止，设运动时间为秒，．（1）直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出的函数图象；（2）根据所画的与的函数图象，写出该函数的一条性质：；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接估计当时的取值范围：．（结果保留1位小数，误差不超过11．（2023•九龙坡区模拟）如图，是等腰直角三角形，，，点是的中点，点从点出发，沿的路径向点运动，点在射线上，连接、、．当点到达点时停止运动．在点整个运动过程中，点都满足．设点的运动路程为，．（1）直接写出与的函数表达式，并补全表格中的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在的取值范围内画出的函数图象：123（2）写出函数的一条性质：．（3）在直角坐标系中已经画出的函数图象，结合和的函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（结果取精确值）12．（2023•渝中区校级模拟）如图，在等腰中，，，，动点从点出发，沿运动，点运动到点时停止运动，过点作交于点，记，点的运动路程为．（1）求出关于的函数关系式，并注明的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出的函数图象；（2）根据所画的函数图象，写出该函数的一条性质；（3）在射线上有一动点，始终满足，利用所求函数解决问题：当时，直接写出的取值范围．13．（2023•沙坪坝区校级二模）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，动点从点出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，的面积为．（1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质；（3）根据图象直接写出当时的取值范围．14．（2023•渝中区校级二模）如图1，在矩形中，，，动点从点出发，沿折线——运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，由点、、、围成的图形的面积为．请解答下列问题：（1）请直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出的函数图象；（2）根据函数图象，写出函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过．15．（2023•渝中区校级三模）如图，四边形中，，，，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动的路程为，连接，记的面积为，请解答下列问题：（1）直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合图象，当的面积大于四边形面积的时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过16．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在正方形中，，动点，分别从点，出发，点沿着运动，到达点停止运动，点沿着运动，到达点停止运动，连接，，已知点的速度且，令，，运动时间为，请回答下列问题：（1）请直接写出，与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；（2）请在直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；（3）根据图形直接估计当时的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过17．（2023•两江新区一模）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度．（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（2）在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质．（3）根据图象直接写出当时的取值范围：．18．（2023•沙坪坝区校级二模）如图，在四边形中，，，过点作于点，，，．动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为．（1）请直接写出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出当时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过19．（2023•渝中区校级一模）如图1，在等腰中，，，为底边的中点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿着的路线运动，设运动时间为，连接，，，记的面积为，记的面积为，请解答下列问题：（1）请直接写出，与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的函数图象；（2）观察的函数图象，写出函数的一条性质；（3）根据图象，直接写出当时，的取值范围．20．（2023•九龙坡区模拟）如图1，在矩形中，，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为且，的长度记为．（1）求出、的函数关系式，并写出的取值范围．（2）在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质：．（3）结合图象，当时，直接写出的取值范围．21．（2023•北碚区校级三模）如图1，在边长为4的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒1个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．（1）求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围；（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；（3）当时，求的值．22．（2023•沙坪坝区校级三模）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动．设点运动的路程为，的面积为，请解答下列问题：（1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质：；（3）若直线与该函数图象有且只有2个交点，则的取值范围为．23．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在等腰中，，，为中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．连接、，设点的运动路程为，的面积为．（1）直接写出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）请在图2中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质：；（3）已知函数，当时，请直接写出自变量的取值范围．24．（2023•大渡口区模拟）在中，，，，点，分别从点，点同时出发，点沿以每秒1个单位长度速度运动，点以每秒个单位长度的速度沿运动，点到达点时点同时停止运动，点的运动时间为秒，的面积记为，面积的记为，回答下列问题：（1）求出，与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；（3）当时，直接写出的取值范围．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在矩形中，．动点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，．设三角形的面积为．（1）请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围，在的取值范围内画出的函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围．26．（2023•重庆模拟）如图1，在矩形中，，，点从点出发以每秒1个单位的速度沿的方向向终点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线的方向运动，当点与点重合时同时停止运动，连接，，，记运动时间为秒，（当时，，（当点与点重合时，．（1）直接写出，与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）在图2中画出，的函数图象，并写出函数的一条性质；（3）结合画出的函数图象，直接写出时，点的运动时间为多少秒．（保留1位小数，误差不超过27．（2023•渝中区模拟）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿折线运动，到点停止；点以每秒的速度运动5秒，之后以每秒的速度运动，设点运动的时间是（秒，的面积是，请回答下列问题：（1）请直接写出与的函数表达式以及对应的自变量的取值范围，并在指定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（2）请根据这个图象，写出该函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接写出当时的值．28．（2023•九龙坡区模拟）如图，在等腰中，，，点为中点，点从点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点．设点的运动时间为秒，的面积为．根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化规律进行探究．（1）直接写出与的函数关系式，注明的取值范围，并画出的函数图象；（2）观察的函数图象，写出一条该函数的性质；（3）观察图象，直接写出当时，的值．（保留1位小数，误差不超过29．（2023•九龙坡区校级模拟）如图1，在中，，，．点从点出发，沿线段向终点运动．过点作的垂线，与的直角边（或相交于点．设线段的长为，线段的长为．（1）为了探究变量与之间的关系，对点在运动过程中不同时刻，的长度进行测量、探究，得出以下几组数据：变量00.511.522.53.54变量00.5121.510.50在平面直角坐标系中，以变量的值为横坐标，变量的值为纵坐标，描点如图；以变量的值为横坐标，变量的值为纵坐标，描点如图．根据探究的结果，解答下列问题：①上表中；；②将图，图中描出的点顺次连接起来；③根据②中的连线，判断下列说法正确的是（填“”或”；．变量是以为自变量的函数．变量是以为自变量的函数（2）如图3，记线段与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为．①直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：并在所给的平面直角坐标系中画出其函数图象．②写出该函数的两条性质．性质一：；性质二：．30．（2023•沙坪坝区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P，Q分别从点A，点B同时出发，点P沿A→C→B以每秒1个单位长度速度运动，点Q以某一速度匀速沿B→A运动，点P到达点B时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，△ABP的面积记为y1，△AQC的面积记为y2，y2的图象如下，回答下列问题：（1）请直接写出y1与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）请结合你所画的函数图象，直接估计当y1＜y2时x的取值范围：．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）​31．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，为等边三角形，，点从点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到点停止，作交直线于，设，点的运动时间为．（1）直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围；（2）在图2的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；（3）结合图象直接写出时的值．（保留一位小数，误差不超过32．（2023•九龙坡区模拟）如图，是等腰直角三角形，，，点在的边上沿路径移动，过点作于点．设，的面积为（当点与点或点重合时，的值为．小姜根据学习函数的经验，对函数随着自变量的变化而变化的规律进行了探究，下面是小姜的探究过程，请补充完整：（1）求与的函数关系，并写出自变量的取值范围．（2）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：01234020请直接写出：，．（3）如图，在平面直角坐标系中，描出已补完值后的表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（4）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：．（写出一条即可）（5）结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度为．33．（2023•潼南区二模）如图，在梯形中，，，，现有一动点从点出发沿的房移动到点（含端点和点，设点经过的路程为，经过的路线与，围成的封闭图形面积为．若点是射线上一点，且，连接、，记．（1）求出，与的函数关系式，并注明的取值范围；（2）在的取值范围内画出，的图象；（3）写出函数的一条性质：的一条性质；（4）结合，的函数图象，求出时，的取值范围．（结果保留根号）．34．（2023•铜梁区模拟）如图1，在四边形中，，，，，．点从出发，以每秒的速度向点运动；点从同时出发，以每秒的速度沿着运动．运动时间为秒，令的面积为，的面积为，请回答下列问题：（1）请直接写出，与的函数关系式以及对应的的取值范围；（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出，的图象；（3）根据图象直接写出当时，的取值范围．35．（2023•潼南区一模）在初中阶段，通过研究函数图象，我们可以更清楚的了解函数的性质．九年级1班的同学发现，某种实际问题可以抽象成函数图象．当时，函数；当时，，且当时，．根据以上信息，完成下列问题：（1）；（2）请在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出他的一条性质；（3）如图，已知函数，结合图象，直接写出时，的取值范围．36．（2023•重庆模拟）如图，在矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以每秒1个单位长度的速度沿着运动，到达点停止运动，点以每秒个单位长度的速度由运动，点运动时间为秒，令的面积为，的面积为，回答下列问题：（1）请直接写出，与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；（2）请在平面直角坐标系中画出，的图象，并写出的一条性质；（3）求当时的的取值范围．37．（2023•江津区二模）在正方形中，，动点从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，速度是每秒1个单位，设点的运动时间是，线段的长度为．（1）请直接写出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象；（2）请写出函数的一条性质；（3）结合函数图象，在点的运动过程中，当时，自变量的取值范围为．38．（2023•万州区模拟）如图，在中，，，，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，连接，过作交线段的延长线于．动点从点开始沿———的路径运动，到达点时停止运动．设点运动的路程为，记的面积为．（1）请求出与的函数关系式，指出自变量的取值范围并在平面直角坐标系中画出该函数图象．（2）请写出一条该函数的性质：．（3）若直线与上面作出的函数图象有交点，则的取值范围为．39．（2023•永川区一模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象．（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．（3）点在一次函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，求四边形的面积．40．（2023•开州区模拟）如图1，的面积为6，点和分别为线段和的中点，连接．点为线段上的动点，点从点出发，运动到点停止．连接，．设，点到线段的距离为．（1）求与的函数关系式：．（2）下表列出了部分对应的自变量和函数值，请直接写出的值为，并在图2中画出此函数的图象．1234566321.21（3）结合图象，指出当取得最小值时，的值是；并写出在整个运动过程中，点总路程的最大值为．

专题09解答中档题：函数图象综合题一．解答题（共40小题）1．（2023•重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点，均以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，沿折线方向运动，沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为秒，点，的距离为．（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出点，相距3个单位长度时的值．【答案】见解析【详解】（1）当点、分别在、上运动时，为边长等于的等边三角形，点，的距离等于、的长，当时，关于的函数表达式为，当点、都在上运动时，点，的距离等于，当时，关于的函数表达式为，关于的函数表达式为；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当时，；当时，；当时，，分别描出三个点，，，，然后顺次连线，如图：根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当时，随的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把分别代入和中，得：，，解得：或，点，相距3个单位长度时的值为3或4.5．2．（2023•重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为．（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点，相距3个单位长度时的值．【答案】见解析【详解】（1）当点、分别在、上运动时，为边长等于的等边三角形，点，的距离等于、的长，当时，关于的函数表达式为，当点、都在上运动时，点，的距离等于，当时，关于的函数表达式为，关于的函数表达式为；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当时，；当时，；当时，，分别描出三个点，，，然后顺次连线，如图：该函数的其中一个性质：当时，随的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把分别代入和中，得：，，解得：或，点，相距3个单位长度时的值为3或4.5．3．（2022•重庆）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；（3）若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．【答案】见解析【详解】（1）反比例函数的图象过点，，，，解得，，，，一次函数的图象过点和点，，解得，一次函数的表达式为，描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式的解集为：或；（3）由题意作图如下：由图知中边上的高为6，，．4．（2022•重庆）反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式的解集；（3）一次函数的图象与轴交于点，连接，求的面积．【答案】见解析【详解】（1），在反比例函数的图象上，，解得，，，，把，代入中得，解得，一次函数解析式为．画出函数图象如图；（2）由图象可得当或时，直线在反比例函数图象下方，的解集为或．（3）把代入得，解得，点坐标为，．5．（2021•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；012345040（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的条性质；（3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过【答案】见解析【详解】（1）把下表补充完整如下：012345040函数的图象如图所示：（2）①该函数图象是轴对称图形，对称轴是轴；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当时，函数取得最大值4；③当时，随的增大而增大：当时，随的增大而减小（以上三条性质写出一条即可）；（3）由图象可知，不等式的解集为或．6．（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．012345654217（1）写出函数关系式中及表格中，的值：，，；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．【答案】见解析【详解】（1）当时，，解得：，即函数解析式为：，当时，，当时，，故答案为：，3，4；（2）图象如图，根据图象可知当时函数有最小值；（3）根据当的函数图象在函数的图象上方时，不等式成立，或．7．（2023•沙坪坝区模拟）如图1，在中，，点、分别是线段、边上的中点，将线段沿射线的方向平移得到线段，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点抵达点时，线段停止运动，连接，直线与的交点为点，已知长度为，的长度为．（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）利用描点法画出此函数图象；（3）结合图象，写出函数的其中一条性质；（4）若函数图象与有且只有一个交点，则的取值范围是．【答案】见解析【详解】（1）当时，点没有运动，此时；当时，开始运动，点、分别是线段、边上的中点，，，线段沿射线的方向平移得到线段，，，，，即，，则；（2）函数图象如下：（3）从函数图象看，当时，随的增大而减小（答案不唯一），故答案为：当时，随的增大而减小（答案不唯一）；（4）当时，和必有交点，即，两个函数有且只有一个交点，故答案为：．8．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在矩形中，．点为中点，动点从点出发，沿折线运动，当它回到点时停止，设点运动的路程为，连接，．设三角形的面积为．（1）求出与的函数关系式，并注明的取值范围，在的取值范围内画出的函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接写出当时的值．【答案】见解析【详解】（1）在矩形中，点是的中点，，；，，．在矩形中，点在之间移动时，底边上的高矩形的宽；点在之间移动时，底边上的高．点从到移动时，即时，的面积；点从到移动时，即时，的面积；点从到移动时，即时，的面积；，在的取值范围内画出的函数图象如图．（2）根据图象可知：当时，不变；当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而增大．（3）时，的值是4或6．9．（2023•沙坪坝区校级一模）如图1，在矩形中，，，动点以每秒1个单位的速度，从点出发．按的顺序在边上运动．与点同时出发的动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动．当动点运动到点时，动点、都停止运动．在运动路径上，设点的运动时间为秒，此时点、点之间的路径距离与点、点之间的路径距离之和为，动点的运动路程为．（1）分别求出，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在如图2的平面直角坐标系中，画出为，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质：．（3）根据图象直接写出当时，的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）根据题意可知：，，当点在上时，，，当点在上时，，，当点在上时，，，综上所述：与之间的函数关系式为：；与之间的函数关系式为：；（2）如图2所示：为，的函数图象，根据图象可知：函数的性质为：当时，随的增大而减小；当时，不变是4；当时，随的增大而增大；故答案为：当时，随的增大而减小；当时，不变是4；当时，随的增大而增大；（3）根据图象可得：当时，的取值范围是．直线向上平移1个单位后与直线相交于，，当时，的取值范围是．故答案为：．10．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，正方形的边长为，、交于点，一动点从点出发，沿以每秒2个单位的速度运动到点时停止，设运动时间为秒，．（1）直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出的函数图象；（2）根据所画的与的函数图象，写出该函数的一条性质：的最大值是8；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接估计当时的取值范围：．（结果保留1位小数，误差不超过【答案】见解析【详解】（1）四边形是边长为的正方形，、交于点，，，，，，，，当点与点重合时，则，解得；当点与点重合时，则，解得，当点在上，即时，如图1①，；当点在上，即时，如图1②，，，画出的函数图象，如图2所示．（2）如图2，由函数图象可知，该函数图象的最高点为，的最大值为8，故答案为：的最大值为8．（3）如图2，由函数图象可知，当或时，函数的图象在函数的图象的下方，时，的取值范围是或，故答案为：或．注：（2）的答案不唯一，如：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．11．（2023•九龙坡区模拟）如图，是等腰直角三角形，，，点是的中点，点从点出发，沿的路径向点运动，点在射线上，连接、、．当点到达点时停止运动．在点整个运动过程中，点都满足．设点的运动路程为，．（1）直接写出与的函数表达式，并补全表格中的值，以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在的取值范围内画出的函数图象：1237（2）写出函数的一条性质：．（3）在直角坐标系中已经画出的函数图象，结合和的函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（结果取精确值）【答案】见解析【详解】（1）是等腰直角三角形，，，点是的中点，．①当点在上运动时，过点作于点，则，则，则，，，解得：，则，当时，，同理可得：当时，，时，，时，；②当点在上时，则，则，则，当时，，当时，，故答案为：7，3，，1；1，1；（2）从表格看：当时，随的增大而减小（答案不唯一），故答案为：当时，随的增大而减小（答案不唯一）；（3）画出的函数图象如下（图象加粗的部分）联立和并整理得：，解得：（负值已舍去），从图象看，当时，的取值范围为：．12．（2023•渝中区校级模拟）如图，在等腰中，，，，动点从点出发，沿运动，点运动到点时停止运动，过点作交于点，记，点的运动路程为．（1）求出关于的函数关系式，并注明的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出的函数图象；（2）根据所画的函数图象，写出该函数的一条性质；（3）在射线上有一动点，始终满足，利用所求函数解决问题：当时，直接写出的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）过点作于，，，，，，，，，当时，，，，，即，当时，则，同理可得：；，函数图象如下：（2）由图象可得：函数值的最大值为4；（3）当时，，，，当时，，，，综上所述：．13．（2023•沙坪坝区校级二模）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，动点从点出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，的面积为．（1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质；（3）根据图象直接写出当时的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）四边形是菱形，，，，当时，．当时，，综上所述，；（2）函数图象如图所示，函数随使得增大而增大．（3）观察图象可得，时，．14．（2023•渝中区校级二模）如图1，在矩形中，，，动点从点出发，沿折线——运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，由点、、、围成的图形的面积为．请解答下列问题：（1）请直接写出与之间的函数表达式及的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出的函数图象；（2）根据函数图象，写出函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围不超过．【答案】见解析【详解】（1）当点在上时，根据题意可知：，，当点在上时，根据题意可知：，，综上所述：；函数图象如图所示：（2）由图象可得的最大值为12；（3）当点在上时，，解得，当点在上时，，，综上所述：当时，或6．15．（2023•渝中区校级三模）如图，四边形中，，，，．点从出发，沿着折线运动，到达点停止运动．设点运动的路程为，连接，记的面积为，请解答下列问题：（1）直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合图象，当的面积大于四边形面积的时，直接写出的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过【答案】见解析【详解】（1）当时，，当时，，，．，，关于的函数关系式为：（2）列表：047063画该函数的图象如下：函数性质：答案不唯一，比如：①当时，随的增大而增大，②当时，随的增大而减小；（写出一条即可）．（3）四边形面积，四边形面积的，观察图象，时，自变量的取值为：．（答案不唯一，只要误差不超过0.2即可）．故答案为：．16．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在正方形中，，动点，分别从点，出发，点沿着运动，到达点停止运动，点沿着运动，到达点停止运动，连接，，已知点的速度且，令，，运动时间为，请回答下列问题：（1）请直接写出，与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；（2）请在直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；（3）根据图形直接估计当时的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过.【答案】见解析【详解】（1）四边形是正方形，，，，，，，，运动时间为，，，，，，，；（2）如图所示：函数的一条性质有：的图象关于对称，在时，随的增大而减小，在，随增大而增大（答案不唯一）；（3）根据图象可得：当或时，．17．（2023•两江新区一模）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动，设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度．（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（2）在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质．（3）根据图象直接写出当时的取值范围：．【答案】见解析【详解】（1），，，，是的中点，，，，，当时，．当时，．综上所述，；（2）函数图象如图所示：性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．故答案为：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；（3）观察图象可知，当时，或，当时，．故答案为：．18．（2023•沙坪坝区校级二模）如图，在四边形中，，，过点作于点，，，．动点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点的运动路程为，的面积为．（1）请直接写出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；（2）请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；（3）若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出当时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过【答案】见解析【详解】，，则，即，则四边形为矩形，在中，，，则，则矩形为边长为4的正方形；（1）当点在上运动时，过点作于点，则，当点在上运动时，同理可得：，即；（2）当时，，当时，，当时，；将上述坐标描点连线绘制图象如下：从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）；（3）从图象看，当时的取值范围为：或（答案不唯一）．19．（2023•渝中区校级一模）如图1，在等腰中，，，为底边的中点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿着的路线运动，设运动时间为，连接，，，记的面积为，记的面积为，请解答下列问题：（1）请直接写出，与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；并在如图2所示的平面直角坐标系中分别画出，的函数图象；（2）观察的函数图象，写出函数的一条性质；（3）根据图象，直接写出当时，的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）如图1，过点作于，过点作于，，，为底边的中点，，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，，，，，当点在上时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，，，，当时，；当点在上时，同理可求：当时，，综上所述：，则，的函数图象如图所示：（2）由图象可得：函数的最大值为24；（3），，．20．（2023•九龙坡区模拟）如图1，在矩形中，，．动点从出发以的速度向运动，动点从出发以的速度向运动，两点同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点立即停止运动，运动时间记为．把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，．运动过程中的面积记为且，的长度记为．（1）求出、的函数关系式，并写出的取值范围．（2）在图2的平面直角坐标系中，画出、的函数图象，并写出函数图象的一条性质：．（3）结合图象，当时，直接写出的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）由题意，得，，，过点作于点，作，交的延长线于点，四边形是矩形，，，，线段绕点逆时针旋转得线段，，，，，在和中，，，，四边形是矩形，，，；点，相遇时，即，解得，当时，，，当时，，，（2）当时，，当时，，的图象是过点，的线段，如图2．当时，，当时，，当时，，的图象是过点，的线段和过点，的线段，如图2．函数图象的一条性质：答案不唯一，比如：①当时，随的增大而减小；②当时，随的增大而增大．（写出一条即可）故答案为：当时，随的增大而减小；（3）当时，令，即，解得，由图象可知，当时，，故答案为：．21．（2023•北碚区校级三模）如图1，在边长为4的正方形中，为中点，动点以每秒个单位的速度，从点出发，在射线上运动，同时动点以每秒1个单位的速度，从点出发，按的方向运动至点停止，当动点停止运动时动点也停止运动．连接、、，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为．（1）求出，关于的函数解析式并写出自变量的取值范围；（2）在图2所示的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；（3）当时，求的值．【答案】见解析【详解】（1）四边形是边长为4的正方形，，，为中点，，当点与点重合时，则；当点与点重合时，则，当点在边上，即时，如图1（1），，，；当点在边上，即时，如图1（2），，，；，，，当动点停止运动时动点也停止运动，在点的运动过程中，的取值范围是，综上所述，，．（2）函数，当时，；当时，；若，则，画出函数的图象如图2所示；函数，当时，；当时，，画出函数的图象如图2所示，由函数函数的图象可知，当或时，的最大值为8．（3）当时，由得，解得；当时，由得，解得，综上所述，的值为或8．注：（1）的答案不唯一，如当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．22．（2023•沙坪坝区校级三模）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动．设点运动的路程为，的面积为，请解答下列问题：（1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质：；（3）若直线与该函数图象有且只有2个交点，则的取值范围为．【答案】见解析【详解】（1）过点作于点，在中，，，则，则，．当点在上运动时，则；当点在上运动时，同理可得：，即；（2）当时，，当时，，当时，，将上述3个点描点连线绘制函数图象如下：从图象看，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一），故答案为：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）；（3）当直线在、的位置时，为直线与该函数图象有且只有2个交点的临界点，将点代入得：，则；将点代入得：，则；则，故答案为：．23．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在等腰中，，，为中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止．连接、，设点的运动路程为，的面积为．（1）直接写出与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）请在图2中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质：；（3）已知函数，当时，请直接写出自变量的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）过点作于点，在中，，则，则，．当点在上运动时，则；当点在上运动时，同理可得：，即；（2）图象如图所示：图象的性质：图象有最大值为4，故答案为：图象有最大值为4；（3）当时，由题意可得：，，；当时，由题意可得：，，，综上所述：当时，．24．（2023•大渡口区模拟）在中，，，，点，分别从点，点同时出发，点沿以每秒1个单位长度速度运动，点以每秒个单位长度的速度沿运动，点到达点时点同时停止运动，点的运动时间为秒，的面积记为，面积的记为，回答下列问题：（1）求出，与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质；（3）当时，直接写出的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）当时，；当时，，综上所述．，过点作于点．，，，，，，．（2）函数图象如图所示：函数的性质：函数有最大值，最大值为6．（3）由，解得，由，解得，观察图象可知，当或时，．25．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，在矩形中，．动点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，．设三角形的面积为．（1）请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围，在的取值范围内画出的函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接写出当时的值（结果保留一位小数，误差范围．【答案】见解析【详解】（1）在矩形中，，；．在矩形中，点在折线上移动时，构成的面积有两种情况：①当点在线段上运动时，即时，如图，过点作，垂足为，是矩形，．，，，，，．．②点在线段上运动时，即时，，，综合分析，可得关系式为：，在的取值范围内画出的函数图象如图．（2）根据图象可知：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小．（3）时，代入上边关系式得：；．解得或．26．（2023•重庆模拟）如图1，在矩形中，，，点从点出发以每秒1个单位的速度沿的方向向终点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线的方向运动，当点与点重合时同时停止运动，连接，，，记运动时间为秒，（当时，，（当点与点重合时，．（1）直接写出，与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）在图2中画出，的函数图象，并写出函数的一条性质；（3）结合画出的函数图象，直接写出时，点的运动时间为多少秒．（保留1位小数，误差不超过【答案】见解析【详解】（1）四边形为矩形，，，，，，点从点出发以每秒1个单位的速度沿的方向向终点运动，记运动时间为秒，，当点与点重合时停止运动，，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线的方向运动，当时，，，当时，，，，，，；（2）与对应的几组数据如表，369122468与对应的几组数据如表，126061202468画出，的函数图象如图所示，根据函数图象可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；（3）由图象可知，与的图象有两个交点，当时，，解得：，当时，，解得：，当时，点的运动时间为2.7（或2.5，2.6，2.8，秒或8秒．27．（2023•渝中区模拟）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿折线运动，到点停止；点以每秒的速度运动5秒，之后以每秒的速度运动，设点运动的时间是（秒，的面积是，请回答下列问题：（1）请直接写出与的函数表达式以及对应的自变量的取值范围，并在指定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（2）请根据这个图象，写出该函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接写出当时的值．【答案】见解析【详解】（1）当，，当，，当，；综上所述：；函数图象如图所示：（2）由图象可得的最大值为6；（3）当点在上时，，，当点在上时，，，综上所述：当或7时，．28．（2023•九龙坡区模拟）如图，在等腰中，，，点为中点，点从点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点．设点的运动时间为秒，的面积为．根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化规律进行探究．（1）直接写出与的函数关系式，注明的取值范围，并画出的函数图象；（2）观察的函数图象，写出一条该函数的性质；（3）观察图象，直接写出当时，的值．（保留1位小数，误差不超过【答案】见解析【详解】（1），点为中点，，，在中，，，，点以每秒的速度匀速运动到点，运动时间为秒，点运动的路程为，①当点在上，即当时，，，②当点在上时，即当时，，过点作于点，，，，，即，，，与的函数关系式为：列表如下：038060函数图象如下：（2）答案不唯一，比如：①当时，随的增大而增大，②当时，随的增大而减小；（只要写出一条即可）；（3），直线时，与图象交点的横坐标就是要求的的值，观察图象，当时，或4.7．故答案为：2或4.7．（答案不唯一，只要误差不超过0.2均可）．29．（2023•九龙坡区校级模拟）如图1，在中，，，．点从点出发，沿线段向终点运动．过点作的垂线，与的直角边（或相交于点．设线段的长为，线段的长为．（1）为了探究变量与之间的关系，对点在运动过程中不同时刻，的长度进行测量、探究，得出以下几组数据：变量00.511.522.53.54变量00.5121.510.50在平面直角坐标系中，以变量的值为横坐标，变量的值为纵坐标，描点如图；以变量的值为横坐标，变量的值为纵坐标，描点如图．根据探究的结果，解答下列问题：①上表中；；②将图，图中描出的点顺次连接起来；③根据②中的连线，判断下列说法正确的是（填“”或”；．变量是以为自变量的函数．变量是以为自变量的函数（2）如图3，记线段与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为．①直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：并在所给的平面直角坐标系中画出其函数图象．②写出该函数的两条性质．性质一：；性质二：．【答案】见解析【详解】（1）①从表格和图1可知，当时，是等腰直角三角形，，时，；从表格和图3可知，当时，是等腰直角三角形，，即，，，故答案为：1.5；3；②如图，③当自变量变化时，随之变化，当确定时，有唯一一个值与之对应，所以是的函数；当自变量确定时，有两个值与之对应，所以不是的函数，故答案为：；（2）①当时，，；当时，，，；由与关系式可知，函数图象过，，，，，画出图象如下：②由函数图象可知，性质一：当时有最大值2；性质二：当时，随的增大而增大（答案不唯一）．30．（2023•沙坪坝区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P，Q分别从点A，点B同时出发，点P沿A→C→B以每秒1个单位长度速度运动，点Q以某一速度匀速沿B→A运动，点P到达点B时点Q停止运动．点P的运动时间为x秒，△ABP的面积记为y1，△AQC的面积记为y2，y2的图象如下，回答下列问题：（1）请直接写出y1与x之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；（2）在平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）请结合你所画的函数图象，直接估计当y1＜y2时x的取值范围：．（结果保留1位小数，误差不超过0.2）​【答案】见解析【详解】（1）当0＜t≤4时，y1＝•AP•BC＝×t×3＝t；当4＜t＜7时，y1＝×（7﹣t）×4＝﹣2t+14，综上所述．y1＝；（2）函数图象如图所示：函数y1的性质：函数有最大值，最大值为6；（3）由图象可得：当0＜t＜2.7或6.1＜t＜7时，y1＜y2，故答案为：当0＜t＜2.7或6.1＜t＜7．31．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，为等边三角形，，点从点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到点停止，作交直线于，设，点的运动时间为．（1）直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围；（2）在图2的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；（3）结合图象直接写出时的值．（保留一位小数，误差不超过【答案】见解析【详解】（1）根据题意得：，，，，，，，，当时，如图：，，当时，如图：，；；（2）当时，，当时，；当时，，画出函数图象如下：由图象可知，当时，取最小值3（答案不唯一）；（3）观察图象可得，时，或．32．（2023•九龙坡区模拟）如图，是等腰直角三角形，，，点在的边上沿路径移动，过点作于点．设，的面积为（当点与点或点重合时，的值为．小姜根据学习函数的经验，对函数随着自变量的变化而变化的规律进行了探究，下面是小姜的探究过程，请补充完整：（1）求与的函数关系，并写出自变量的取值范围．（2）通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：01234020请直接写出：，．（3）如图，在平面直角坐标系中，描出已补完值后的表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．（4）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：．（写出一条即可）（5）结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度为．【答案】见解析【详解】（1）由点的运动路径可知的取值范围为：；（2）通过取点、画图、测量，可得，；故答案为：；（3）根据已知数据画出图象如图：（4）由函数图象可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故答案为：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（5）当的面积为时，对应的相对于直线与（3）中图象交点得横坐标，画图测量可得或3.7．故答案为：1或3.7．33．（2023•潼南区二模）如图，在梯形中，，，，现有一动点从点出发沿的房移动到点（含端点和点，设点经过的路程为，经过的路线与，围成的封闭图形面积为．若点是射线上一点，且，连接、，记．（1）求出，与的函数关系式，并注明的取值范围；（2）在的取值范围内画出，的图象；（3）写出函数的一条性质：的一条性质当时，是一次函数；（4）结合，的函数图象，求出时，的取值范围．（结果保留根号）．【答案】见解析