人教版高中数学精讲精练选择性必修三6.1 两个计数原理（解析版）

6.1两个计数原理考法一分类加法计数原理【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（

）A．6种 B．10种 C．4种 D．60种【答案】B【解析】根据分类加法计数原理，6+4=10.故选：B.【一隅三反】1．（2023秋·广东佛山）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是．【答案】【解析】根据题意，把甲乙看成一个同学，由分步计数原理，可得不同选择的种类是．故答案为：.2．（2023·北京）一项工作可以用两种方法完成．有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成．从中选出1人来完成这项工作，共有多少种不同的选法？【答案】【解析】利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种．故共有：种方法完成工作．3．（2023·云南）音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，有多少种不同的选法？【答案】【解析】依题意一共有种选法.考法二分步乘法计数原理【例2-1】（2023春·新疆乌鲁木齐）甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为种.故选：B.【例2-2】（2023春·浙江温州·高二校联考期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（

）A．12种 B．24种 C．64种 D．81种【答案】C【解析】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有种.故选：C．【一隅三反】1．（2023春·安徽池州·高二校联考期中）“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为（

）A．16 B．12 C．4 D．3【答案】A【解析】根据题意，声的情况有4种，击的情况也有4种，所以这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为.故选：A.2．（2023秋·高二课时练习）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（

）A．72 B．108C．144 D．196【答案】C【解析】按题意，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．第一步，填上方空格，有4种方法；第二步，填左方空格，有3种方法；第三步，填下方空格，有4种方法；第四步，填右方空格，有3种方法.由分步计数原理得，填法总数为.故选：C.3．（2023·湖南）某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？(2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？【答案】(1)12(2)【解析】（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类：第一类，选一名教师主持，有3种选法；第二类，选一名男同学主持，有4种选法；第三类，选一名女同学主持，有5种选法．根据分类加法计数原理，共有种不同的选法．（2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：第一步，选出一名教师，有3种选法；第二步，选出一名男同学，有4种选法；第三步，选出一名女同学，有5种选法，以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法．考法三两个计数原理综合运用【例3】（2023秋·山东临沂·高二校考阶段练习）集合，，，，5，6，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数．若集合提供横坐标，集合提供纵坐标，则有，若集合提供纵坐标，集合提供横坐标，则有，合计，即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6个，故选：D.【一隅三反】1．（2023春·陕西榆林·高二校考期中）如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有，，，，五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（

）

A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】①水闸关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，②若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，③若水闸打开时，同时关闭时，满足要求，此时打开或关闭时均可，故此时有种情况，上面②③两种情况有重复的1种情况，就是水闸打开，同时关闭的情况，故共有种情况.故选：B2．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．(1)至少有一个白球的取法有多少种？(2)两球的颜色相同的取法有多少种？【答案】(1)(2)【解析】（1）根据题意分2类完成任务：第一类：白球红球各一个有种，第二类：均为白球，种，所以共有种；（2）根据题意分2类完成任务：第一类：均为白球，种，第二类：均为红球，种，所以共有种．3．（2023秋·高二课时练习）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？

【答案】种【解析】从甲地到丁地的走法可以分成两类：第一类：从甲地经由乙地到丁地．这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到乙地，有2种走法；再从乙地到丁地，有3种走法．根据乘法原理，这一类走法的种数为．第二类：从甲地经由丙地到丁地．这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到丙地，有4种走法；再从丙地到丁地，有2种走法．根据乘法原理，这一类走法的种数为．根据加法原理，从甲地到丁地共有种不同的走法．考法四数字型【例4】（2023湖南）用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.【答案】(1)900(2)648(3)288(4)91【解析】（1）百位上有9种选择，十位和个位各有10种选法.由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.（2）由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.（3）百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.（4）小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知，适合题意的自然数的个数是10+81=91.【一隅三反】1．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（

）．A．42个 B．48个 C．54个 D．120个【答案】A【解析】若五位数的个位数是，则有种情形；若五位数的个位数是，由于不排首位，因此只有有种情形，中间的三个位置有种情形，依据分步计数原理，可得种情形．由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为.故选：A．2．（2023春·上海）用0，1，2，3，4五个数字．(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？【答案】(1)125(2)100(3)30(4)36【解析】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有(个)．（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有(个)．（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有(种)排法，因此有(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．（4）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步计数原理知共有(个)．4．（2023春·浙江宁波·高二统考阶段练习）用0，1，2，3，，9这十个数字.(1)可组成多少个三位数？(2)可组成多少个无重复数字的三位数？(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？【答案】(1)900；(2)648；(3)379.【解析】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法.根据分步乘法计数原理，共有种.（2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，共有个无重复数字的三位数.（3）由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，第一类，满足条件的一位自然数：有10个，第二类，满足条件的两位自然数：有个，第三类，满足条件的三位自然数：第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，有个.由分类加法计数原理知共有，共有379个小于500且无重复数字的自然数.考法五涂色【例5-1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（

）

A．240 B．360 C．480 D．600【答案】C【解析】将区域标号，如下图所示：

因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.【例5-2】（2023秋·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（

）

A．240 B．300C．420 D．480【答案】C【解析】以S→A→B→C→D的顺序分步染色．第1步，对S点染色，有5种方法．第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法．第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法．第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种．故选：C．【一隅三反】1．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种【答案】C【解析】如图，不同的布置方案分两类：当与布置相同的花卉时，先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种.当与布置不同的花卉时，先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种.所以不同的布置方案有种.故选：C2．（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有(

)种A．540 B．360 C．300 D．420【答案】D【解析】分两种情况讨论即可：(i)②和④涂同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；(ii)②和④涂不同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；∴总共有180＋240＝420种涂色方法．故选：D﹒3．（2023·湖北）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（）A．192 B．420 C．210 D．72【答案】B【解析】按照的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：第一类，A，C同色，由分步计数原理有种不同的染色方法；第二类，A，C不同色，由分步计数原理有种不同的染色方法；根据分类加法计数原理，共有种不同的染色方法.故选：B.一、单选题1．（2022春·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（

）A．15种 B．31种 C．24种 D．23种【答案】D【解析】除100元人民币以外的3张人民币中，每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去5张人民币全不取的1种情况，所以共有种．故选：D.2（2023秋·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（

）A．18 B．36C．72 D．48【答案】B【解析】解法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．解法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．解法三：所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有个．在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是.故选：B.3．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（

）

A．120 B．420 C．300 D．以上都不对【答案】B【解析】分4步进行分析：①对于区域A，有5种颜色可选，②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;

③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,则不同的涂色方案有种;故选：B4．（2024·安徽）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）

A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种【答案】C【解析】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择.当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有种.故选：C5．（2022春·北京东城·高二统考期末）算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】B【解析】拨动两枚算珠可分为以下三类（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示个不同整数.所以，根据分类加法计数原理，一共可表示个不同整数.故选：B.6．（2023·广东梅州）用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种?（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有1克，5克，10克；②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有克，克，克；③当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有克④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以成量重物的克数有克，克，克；⑤当天平的一端放1个砝码，另一端也放2个砝码时，可以成量重物的克数有克，克，克；去掉重复的克数后，可称重物的克数有10种，故选：A7.（2023福建）若、，，，且，则平面上的点共有（

）．A．21个 B．20个 C．28个 D．30个【答案】C【解析】根据题意，可取的值为，当时，由题意可知可取的值为，共7种；当时，由题意可知可取的值为，共6种；当时，由题意可知可取的值为，共5种；当时，由题意可知可取的值为，共4种；当时，由题意可知可取的值为，共3种；当时，由题意可知可取的值为，共2种；当时，由题意可知可取的值为，共1种；则平面上的点共有个，故选：C8.（2023·福建厦门）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（

）A．6种 B．9种 C．11种 D．23种【答案】B【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式；同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式，由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式；解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）．故选：B.二、多选题9．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）下列正确的是（

）A．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数【答案】ACD【解析】由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有个，故A正确；若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有个，故B错误；数字1，2，3，4能够组成三位密码有个，故C正确；若三位数比320大，则百位是4时，有个，若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有个，则比320大的三位数有个，故D正确．故选：ACD．10.（2023·广东佛山）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（

）A．只需1人参加，有16种不同选法B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法【答案】ABC【解析】选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有种选法，故A正确；选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有种选法，故B正确；选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有种选法，故C正确；选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.故选：ABC.11．（2022春·广东湛江·高二校考阶段练习）已知数字，由它们组成四位数，下列说法正确的有（

）A．组成可以有重复数字的四位数有个B．组成无重复数字的四位数有96个C．组成无重复数字的四位偶数有66个D．组成无重复数字的四位奇数有28个【答案】AB【解析】对A：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有个，故选项A正确；对B：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，有种情况，则组成无重复数字的四位数有个，故选项B正确；对C：若0在个位，有个四位偶数，若0不在个位，有个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有个四位偶数，故选项C错误；对D：组成无重复数字的四位奇数有个，故选项D错误；故选：AB.12．（2023春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）如图，用种不同的颜色把图中四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（

）A．B．当时，若同色，共有48种涂法C．当时，若不同色，共有48种涂法D．当时，总的涂色方法有420种【答案】ABD【解析】对于A，由于区域与均相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A正确，对于B，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，涂时，由于同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂，故共有种涂法，B正确；对于C，当时，涂有种，当不同色（D只有一种颜色可选），此时四块区域所用颜色各不相同，涂只能用与同色，此时共有24种涂法，C错误；对于D，当时，此时按照的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有种涂法，涂时，当同色（D只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与同色的颜色中选择一种涂，故共有种涂法，当不同色，此时四块区域所用颜色各不相同，共有，只需要从剩下的颜色或者与同色的两种颜色中选择一种涂此时共有种涂法，综上可知，总的涂色方法有420种，故D正确，故选：ABD三、填空题13．（2024·北京）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.【答案】72【解析】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，因此计算涂色方法可用3色和4色，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有（种）；使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，涂另外3块依次有3，2，1种方法，则涂色方法有（种），所以不同的涂色方法共有（种）.故答案为：7214．（2022春·山东烟台·高二莱州市第一中学校考开学考试）如图，要给地图上、、、四个区域分别涂上种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有种．【答案】48【解析】方法一：按的顺序分步涂色．第1步，涂区域，有种不同的涂法；第2步，涂区域，从剩下的种颜色中任选种颜色，有种不同的涂法；第3步，涂区域，再从剩下的种不同颜色中任选种颜色，有种不同的涂法；第4步，涂区域，从与、区域不同的种不同颜色中任选种，有种不同的涂法．根据分步乘法计数原理，共有种不同的涂法；方法二：按所用颜色的多少分类涂色．第1类：用三种颜色，则、区域所涂颜色相同，有种不同的涂法；第2类：用四种颜色，有种不同的涂法．根据分类加法计数原理，共有种不同的涂法．故答案为：.15．（2024·江苏）用5种不同的颜色给如图标有A，B，C，D的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻（有公共边）两部分不同颜色，则不同的涂色方法共有.

【答案】【解析】当B，D两部分颜色相同时，先涂B，D两部分，有5种选择，再分别涂A，C均有4种选择，故共种情况；当B，D两部分颜色不相同时，先涂B，D两部分，有种选择，再分别涂A，C均有3种选择，故共种情况；故总共有种情况.故答案为：16．（2023春·湖北十堰·高二校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种（用数字作答）.

【答案】【解析】如图，用表示个区域，分4步进行分析：①，对于区域，有5种颜色可选；②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域、有种选择，则不同的涂色方案有种.故答案为：.

解答题17．（2023·广西）某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？【答案】(1)68(2)66【解析】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看个不同的节目．（2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道共有个正在播放互不相同的节目，所以一台电视机共可以选看个不同的节目．18．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？【答案】(1)14(2)90(3)63【解析】（1）由于书架上有本书，则从中任取一本，共有14种不同的取法.（2）由题意分步完成，第一步：取任取一本数学书，有3种取法；第二步：取任取一本语文书，有5种取法；第三步：取任取一本英语书，有6种取法；由分步乘法计数原理得共有种不同的取法.（3）取两本不同科目的数，可以分三种情况：①一本数学书和一本语文书，有种情况；②一本数学书和一本英语书，有种情况；③一本语文书和一本英语书，有种情况；根据分类加法计数原理，共有种情况.19．（2023秋·高二课时练习）在300和800之间，有多少个没有重复数字的奇数？【答案】176【解析】一个三位奇数的个位上的数字必是奇数，且因为不允许有重复数字出现，当一个奇数字（1、3、5、7、9）作为个位数时，它就不能作为百位数．所以符合条件的数可以按百位上的数字是奇数或偶数分成两类：第一类：百位上的数字是偶数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定：第一步，百位上的数字从4和6中任选一个，有2种选法；第二步，个位上的数字从1、3、5、7、9中任选一个，有5种选法；第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法．根据乘法原理，这一类奇数的个数为．第二类：百位上的数字是奇数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定：第一步，百位上的数字从3、5、7中任选一个，有3种选法；第二步，个位上的数字从余下的4个奇数中任选一个，有4种选法；第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法．根据乘法原理，这一类奇数的个数为．根据加法原理，在300和800之间共有个没有重复数字的奇数．20．（2023秋·山东临沂·高二校考阶段练习