人教版高中数学精讲精练必修二8.2 立体图形的直观图（精讲）（解析版）

8.2立体图形的直观图（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一斜二测画法的概念理解【例1-1】（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（

）A．平行直线的直观图仍然是平行直线B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的D．线段的中点在直观图中仍然是中点【答案】B【解析】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.故选：B.【例1-2】（2022·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形，则在如图所示的四个图中，可能是的直观图的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】D【解析】根据坐标轴夹角为或，等腰三角形的直观图如图所示：只有③④符合故选：D【一隅三反】1．（2022春·吉林长春·高一统考期末）（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（

）A．相等的线段在直观图中仍然相等B．平行的线段在直观图中仍然平行C．一个角的直观图仍是一个角D．相等的角在直观图中仍然相等【答案】BC【解析】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；平行线段在直观图中仍然平行，B正确；一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误.故选：BC2．（2022·高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；③画与直角坐标系对应的时，必须是；④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．【答案】③【解析】原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，故①正确；原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，故②正确；画与直角坐标系对应的坐标系时，也可以是，故③错误；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故④正确.故答案为：③.考点二斜二测画法画平面图形【例2-1】（2022·高一课时练习）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】先作出一个正三角形，然后以所在直线为轴，以边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系，画对应的轴，使夹角为，画直观图时与轴平行的直线的线段长度保持不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A【例2-2】（2022春·上海闵行·高一校考期末）在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（

）（1）三角形的直观图一定是三角形

（2）正方形的直观图一定是菱形（3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形

（4）菱形的直观图一定是菱形A．（1）（2） B．（1） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）【答案】B【解析】由斜二测画法的规则可知（1）正确，（2）错误；（3）中的平行性质不变，但梯形两底平行且长度不相等，故在直观图中平行且长度不相等，故可能为平行四边形，（3）错误；（4）中由平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半，故菱形的直观图为平行四边形，（4）错误；故选：B.【一隅三反】1（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（）A．矩形的直观图一定是矩形B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形C．平行四边形的直观图一定是平行四边形D．菱形的直观图一定是菱形【答案】C【解析】对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；对D，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D错误.故选：C.2．（2022山西）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形【答案】答案见解析【解析】(1)解：根据斜二测画法的规则，可得：设，，则，直观图中边边上的高为，因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.(2)解：根据斜二测画法的规则，可得：设，，则，直观图中边边上的高为，因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.(3)解：根据斜二测画法的规则，可得：设，，则，直观图中边边上的高为，因此，设直观图和原图形的面积分别为、，则.(4)解：根据斜二测画法的规则，可得：设，，则，的边边上的高为，所以，，同理可得，，，，设五边形的面积为，直观图五边形的面积为，则.考点三斜二测画法画空间图形【例3-1】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．【答案】作图见解析【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．①画出水平放置的长、宽分别是8cm、6cm的矩形ABCD的直观图．②作Az垂直于AB，在Az轴上截取．分别过点B、C、D作，，，且．③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．【例3-2】．（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．【答案】答案见解析【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得.（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,使,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取5cm长的线段.（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图【例3-3】（2022·高一课时练习）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【答案】答案见解析【解析】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图如图②）．【一隅三反】1．（2022·全国·高一假期作业）如图，绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？【答案】答案见解析【解析】在图(1)中，过A作AO⊥BC于O，如图，显然，是由公共直角边OA，且另外一条直角边在旋转轴上的两个直角三角形拼接而成，则绕直线BC旋转一周所得几何体，是与绕直线BC旋转一周的两个同底圆锥构成的组合体，所以这个空间图形是两个同底的圆锥构成的组合体，其直观图如图，在图(2)中，过B作BO1⊥AC于O1，如图，显然，是由去掉而成，它们有公共直角边O1B，且另外一条直角边在旋转轴上，则绕直线AC旋转一周所得几何体，是绕直线AC旋转一周所得圆锥挖去绕直线AC旋转一周所得圆锥构成的几何体，所以这个空间图形是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥构成，其直观图如图.2．（2021·高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.【答案】见解析【解析】（1）画轴.画出轴、轴轴，三轴相交于点，使，.（2）画底面.以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点，作轴的平行线，过点，作轴的平行线，设它们的交点分别为，，，，则四边形就是该棱柱的底面.（3）画侧棱.过点，，，分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示.（4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.3．（2022·全国·高一专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.考点四斜二测画法的相关计算【例4-1】（2022·高一课前预习）已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（

）A．a2 B．a2 C．a2 D．a2【答案】D【解析】因为正△ABC的边长为a，所以其面积S＝a2，又因为直观图面积S′与原图面积之比为，即＝，所以S′＝×a2＝a2．答案：D【例4-2】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（

）A．14 B．10 C．28 D．14【答案】C【解析】∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，∴原图形是一个直角梯形．又A′D′＝4，∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为.故选：C【例4-3】．（2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，则在直观图中，梯形的高为___________.【答案】【解析】四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，故的高为2，面积，故其直观图的面积，设直观图的高为，则，解得：，即在直观图中，梯形的高为.故答案为：.【一隅三反】1．（2022广东佛山）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直观图可还原如下图所示，其中，，，，的周长为.故选：C.2．（2022春·河北保定·高一统考期末）如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（

）A．面积为的等腰三角形B．面积为的等腰三角形C．面积为的直角三角形D．面积为的直角三角形【答案】D【解析】如图因为斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，故，,将直观图还原，则,,故所得三角形为直角三角形，面积为.故选：D.3．（2022春·山西运城·高一统考期末）如图所示，正方形的边长为1，