4.2.1 等差数列的概念-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1等差数列的概念【考点梳理】考点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．考点二等差中项的概念由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.考点三等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.考点四从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d

；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.等差数列的性质考点一等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③可用来由等差数列任两项求公差．考点二等差数列的性质1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．【题型归纳】题型一：利用定义法求等差数列的通项公式1．（2022·福建省龙岩第一中学高二）已知数列的前项和为，满足，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·河南郑州·高二）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（

）A． B． C． D．题型二：等差数列的通项公式基本量的计算3．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知数列满足，则满足的的最大取值为（

）A．6 B．7 C．8 D．94．（2022·江苏盐城·高二期中）已知是等差数列，且，则（

）A．1 B．3 C．5 D．75．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）在等差数列中，，，则的值为（

）A．33 B．30 C．27 D．246．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）等差数列的公差，数列的前项和，则（

）A．， B．，C．， D．，题型三：等差中项及应用7．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（

）A． B． C． D．8．（2022·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（

）A．24 B．32 C．48 D．969．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知等差数列的前三项分别为，，，则此数列的第四项为（

）A．12 B．13 C．10 D．15题型四：等差数列性质的应用10．（2022·新疆·乌鲁木齐市高级中学高二期中）已知数列为等差数列，，则（

）A．8 B．12 C．15 D．2411．（2022·重庆长寿·高二期末）在等差数列中，，则的值是（

）A．36 B．48 C．72 D．2412．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列，都是等差数列，且，，则（

）A． B． C．1 D．2题型五：等差数列的应用13．（2022·浙江·杭州市余杭中学高二期中）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺14．（2022·全国·高二）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（

）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元15．（2022·北京丰台·高二期中）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺题型六：等差数列的判定与证明16．（2022·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由.17．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期中（文））已知数列满足，.(1)求､､；(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.18．（2022·广东·佛山一中高二阶段练习）已知数列{}满足(1)求证：数列是等差数列；(2)记，求数列{·}的前2022项和；【双基达标】一、单选题19．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知是首项为，公差为的等差数列，如果，则序号等于（

）A．664 B．665 C．674 D．67520．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（

）A．数列，，，…，…为等差数列B．数列，，，…，，…为等差数列C．数列为等差数列D．数列为等差数列21．（2022·福建漳州·高二期中）已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（

）A．2 B．3 C．4 D．622．（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，，且满足.则取最小值时，取值为（

）A．4 B．8 C．9 D．23．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高二期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（

）A．20180 B．20200 C．20220 D．2024024．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（

）A．103 B．107 C．109 D．10525．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；26．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知等差数列中．(1)求数列的通项公式；(2)若，是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【高分突破】一：单选题27．（2022·山东·兰陵四中高二）设数列的前项和，则（

）A． B． C． D．28．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设是由正数组成的等方差数列，且方公差为，则数列的前24项和为（

）A． B． C． D．629．（2022·全国·高二单元测试）若数列满足（其中d是常数），则称数列是“等方差数列”．已知数列是公差为m的等差数列，则“”是“是等方差数列”的（

）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件30．（2022·全国·高二）若，，，…，为各项都大于0的等差数列，公差，则（

）．A． B．C． D．31．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列中，若公差为，、为数列的任意两项，则当时，下列结论：①；②；③；④．其中必定成立的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个32．（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；②若，则数列是等差数列；③若（b、c是常量），则数列是等差数列．其中真命题有（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、多选题33．（2022·湖南·长郡中学高二期中）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（

）A．B．C．(为常数)D．34．（2022·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（

）A．公差d的取值范围是 B．C． D．的最小值为135．（2022·福建省华安县第一中学高二）设等差数列中，，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成新数列，则（

）A． B． C． D．36．（2021·浙江·测试·编辑教研五高二期中）已知数列的通项公式为，则（

）A． B．是该数列中的项C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列37．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（

）A． B． C． D．38．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）公差为d的等差数列满足，，则下面结论正确的有（

）A．d＝2 B．C． D．的前n项和为39．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是(

)A． B．是递增数列C． D．数列为周期数列三、填空题40．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）已知数列中，，，求数列的通项公式___________41．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被5除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列，则数列的第10项是数列的第______项.42．（2022·江苏盐城·高二期中）已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________.43．（2022·甘肃·白银市第九中学高二阶段练习）已知在等差数列中，是方程的两个根，则__________.44．（2022·全国·高二课时练习）设数列的前n项和为，则下列能判断数列是等差数列的是______．①；②；③；④．45．（2022·全国·高二课时练习）已知是等差数列，且，，则______．46．（2022·全国·高二单元测试）设是公差为－2的等差数列，如果，那么______．47．（2022·辽宁营口·高二期末）已知a，b，c三个数成等差数列，函数的图像过定点A，函数的图像经过点A，则函数的定义域为______________．四、解答题48．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：．(1)若，求的值；(2)设，，数列是否有最大项，最小项？若有，分别指出第几项最大，最小；若没有，试说明理由．49．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列的前项和为，满足：，(1)求数列的通项公式；(2)对于正整数，已知三数构成等差数列，求正整数的值.50．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在等差数列中，，．(1)求的通项公式；(2)判断96是不是数列中的项？51．（2022·上海市延安中学高二阶段练习）已知数列满足，；(1)设，，，求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；(2)设，，，数列是否有最大项，最小项？若有，分别指出第几项最大，最小；若没有，试说明理由；【答案详解】1．A【分析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可.【详解】∵a1=1，－=1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，即，∴（）.当时，也适合上式，.故选：A.2．B【分析】当可求得；当时，可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可推导得到，由求得后，利用可求得结果.【详解】当时，，解得：；当时，由得：，即，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：，，经检验：满足，，故选：B.3．B【分析】首先地推公式变形，得，，求得数列的通项公式后，再解不等式.【详解】因为，两边取倒数，得，整理为：，，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，，，因为，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故选：B4．B【分析】结合等差数列通项公式即可解决.【详解】设等差数列的公差为，由得，，则故选：B.5．A【分析】用基本量表示题干条件，求出，即得解.【详解】因为数列是等差数列，所以，即，解得，所以.故选：A6．B【分析】利用等差数列的性质及数列的前项和，列出关于的方程组，解之即可求得的值.【详解】等差数列的公差，数列前项和则，，由，则，则可得故选：B7．C【分析】利用等差中项的性质可求得结果.【详解】由等差中项的性质可得，则，因此，.故选：C.8．C【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.【详解】由题设，，则，所以.故选：C9．B【分析】根据题意，，解方程得，进而得答案.【详解】解：因为等差数列的前三项分别为，，，所以，解得所以该等差数列的前三项为，公差为，所以此数列的第四项为.故选：B10．B【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】解：因为数列为等差数列，，所以，解得，所以，.故选：B11．A【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果.【详解】由题设，，则，所以.故选：A12．A【分析】利用等差数列的性质和通项公式的基本运算求解.【详解】解：因为数列，都是等差数列，所以数列是等差数列，又，，所以其公差为，所以则，故选：A13．D【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出春分的日影长.【详解】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故春分的日影长为12.5尺.故选：D14．C【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.15．B【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，故公差，故，故选：B.16．(1)证明见解析(2)最小值，最大值3，理由见解析【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明（2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解(1)证明：因为，，所以当时，.又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.(2)由（1）知，则.设函数，在区间和上单调递减，结合函数的图象可知，当时，取得最小值；当时，取得最大值3.17．(1)，，；(2)证明见解析，.【分析】（1）根据递推公式，结合，逐项求解即可；（2）对递推公式进行变形，结合等差数列的定义，即可证明，再求，即可求得.(1)由得，代入，n依次取值2，3，4，得，，.(2)证明：由变形，得，即，所以是等差数列.由，所以，变形得，所以.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由递推公式构造数列证明（2）由裂项相消法求和(1)依题设可得∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴，∴(2)由（1）可得，∴，∴19．D【分析】由列方程，解方程求得.【详解】，解得.故选：D20．C【分析】利用等差数列的定义判断即可.【详解】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；D选项：，所以数列为等差数列，故D正确.故选：C.21．D【分析】由根与系数关系有，再根据等差数列下标和性质即可求值.【详解】由题意知，又是等差数列，所以.故选：D22．A【分析】结合已知条件可得是等差数列，进而求出的通项公式，然后根据通项公式的特征即可求解.【详解】因为，所以，因为，则，所以是首项为，公差为1的等差数列，从而，即，从而易知，数列中仅有，，为负，因为，，，所以取最小值时，.故选：A.23．B【分析】先求出第100行的第一个数，再根据第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，从而得到第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．【详解】第一列的数字为4，7，10，13，16，……，成等差数列，公差d＝3，其通项公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一个数为＝301，再看行，第一行的数是公差为3的等差数列，第二行的数是公差为5的等差数列，第三行的数是公差为7的等差数列，…，第n行的数是公差为3＋2×(n－1)的等差数列，则第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，所以第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200．故选：B．24．B【分析】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即可得出，求得答案.【详解】由题意可将问题转化为既是3的倍数，也是7的倍数，也即是21的倍数，即，则，∴，故选：B25．证明见解析，.【分析】利用已知条件，确定k的值，最值得递推关系式，得证为等差数列，即可求解通项公式.【详解】证明：，，，则，即，解得，所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.26．(1)；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算量列出方程组，求出首项和公差，写出通项公式；求出的通项公式，列出方程，求出，故不存在正整数m.（1）设等差数列的公差为，由，得所以，即；（2），∵，∴，则，解得，不符合题意，∴不存在正整数，使得.27．A【分析】根据数列与的关系化简计算可得，等式两边同时除以得，结合等差数列的定义可知是以6为首项，5为公差的等差数列，进而求出的通项公式，即可求解.【详解】由题意知，，当时，，解得，当时，，则，整理，得，等式两边同时除以，得，又，所以数列是以6为首项，5为公差的等差数列，有，则，所以.故选：A.28．A【分析】先由等方差数列的定义得到是公差为2的等差数列，进而求出，代入得，再利用裂项相消法求得结果.【详解】根据题意，得，故是公差为2的等差数列，所以，即，所以，故数列的前24项和为：.故选：A.29．C【分析】由得到为常数列，从而，故是等方差数列，充分性成立，再由是等方差数列，也是等差数列，得到，结合，分析出，，必要性得证.【详解】若，则为常数列，满足，所以是等方差数列，充分性成立，因为是等方差数列，所以，则，因为数列是公差为m的等差数列，所以，所以，由于,当时，随着的改变而改变，不是定值，不合要求，当时，为定值，此时满足题意，综上必要性成立.故选：C30．B【分析】根据等差中项的推论，以及结合通项公式进行作差法，可得答案.【详解】由题意，可知，，故选项C、D错误；由，，，则，即，故选：B.31．C【分析】根据等差数列通项公式依次讨论即可得答案.【详解】解：由等差数列通项公式得，所以，，，.故②③④成立，①不成立.故选：C32．C【分析】由等差数列的定义即可得出结论.【详解】由，得，满足等差数列的定义，故①正确；，不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；，，，满足等差数列的定义，故③正确.故选：C33．BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意；对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意；对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列，故为等差数列，故选项C符合题意；对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意，故选：BCD.34．AB【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断B，由作差法可判断C，由基本不等式可判断D.【详解】由题意得,,而，，解得，∴，故A正确；由，故B正确；由，可知，故C错误；由，所以有，当且仅当时取到等号，但，故不能取“=”，所以D错.故选：AB35．BCD【分析】先利用等差数列的通项公式求出，再由题意逐一判断即可【详解】因为，，所以，数列中序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，，所以故A错误，BC正确；设数列中的第项是数列中的第项，则，所以当时，，故，所以D正确，故选：BCD36．AB【分析】对于A，取值即可判断；对于B，分类讨论是奇数项与是偶数项两种情况即可判断；对于CD，列出的前3项即可判断.【详解】因为，对于A，当时，，故A正确；对于B，若是奇数项，则，解得，不满足，舍去；若是偶数项，则，解得，满足题意，故是中的第二项，故B正确；对于C，当时，，故的前三项为，显然不是递增数列，故C错误；对于D，由C易知，，故不是等差数列，故D错误.故选：AB.37．BD【分析】设方程的四根分别为、、、，利用等差数列的基本性质结合韦达定理可求得这四个数的值，进而可求得、的值，即可得解.【详解】设方程的四根分别为、、、，则数列、、、是首项为的等差数列，设其公差为，由等差数列的性质可得，①若、为方程的两根，则、为方程的两根，由韦达定理可得，可得，，则，，此时，，则；②若、为的两根，、为方程的两根，同理可得，，则.综上所述，.故选：BD.38．ABD【分析】根据等差数列的通项公式求得，结合等差数列的性质即可判断A、B；利用裂项相消求和法即可判断C、D.【详解】由题意得，，即，解得，所以，故A、B正确；得，故，故C错误；所以数列的前n项和为，故D正确.故选：ABD.39．ABC【分析】利用数列的递推关系式推出，说明数列是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误．【详解】数列满足：，当时，，，∴数列是首项为，公差为1的等差数列，，，故C正确；，故A正确；∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误．故选：ABC．40．【分析】由已知条件可得，从而可得数列是等差数列，求出其通项公式后化简即可得到.【详解】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，∴，∴.故答案为：.41．28【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作答.【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，即有，则，因此，即，有，于是得数列的通项为，，由得：，所以数列的第10项是数列的第28项.故答案为：2842．，【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式.【详解】设数列的公差为由题意可知，，，于是因为，所以，所以所以故答案为：，43．【分析】根据韦达定理可求得，利用等差数列下标和性质可求得结果.【详解】是方程的两个根，，.故答案为：.44．①②【分析】根据可以求出，再结合可以判断