4.5 函数的应用(二)透课堂-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第一册）

2021-2021学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第一册)第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)【知识导学】考点一：函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．知识点二：函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．考点三：二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．考点四：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．考点五：函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)技巧方法：应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；3．求模——求解数学模型，得出数学模型；4．还原——将数学结论还原为实际问题．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【考题透析】透析题组一：函数零点存在定理1．（2019·北京·高一期中）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．2．（2020·全国·高一课时练习）若函数的图象是一条连续不断的曲线，且>0，>0，<0，则y＝有唯一零点需满足的条件是（）A．<0B．函数在定义域内是增函数C．>0D．函数在定义域内是减函数3．（2020·湖南·长郡中学高一月考）函数的零点所在的一个区间是（）A． B．C． D．透析题组二：函数的零点分布问题（参数）4．（2021·江苏·高一课时练习）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）.A． B．C． D．5．（2020·江苏·南京市第十三中学高一月考）已知，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数t的取值范围是（）A．(－1，1] B．[－3，2) C．(－1，2) D．(－3，1)6．（2021·福建·厦门外国语学校高一月考）方程的两根一个根大于2，另一个根小于2，则的取值范围是（）A． B． C． D．透析题组三：用二分法求函数f(x)零点近似值7．（2021·全国·高一专题练习）下列函数中不能用二分法求零点的是（）A． B．C． D．8．（2020·全国·高一课时练习）在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，则函数的一个精确度为0．1的正实数零点的近似值为（）A．0.6 B．0.75C．0.7 D．0.89．（2020·江苏·昆山市第一中学高一月考）在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来需要计算（）次区间中点的函数值.A．2 B．3 C．4 D．5透析题组四：函数与方程的综合问题10．（2019·北京·汇文中学高一期中）已知函数，．设为实数，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．（2021·全国·高一课前预习）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A． B．（0，1） C． D．透析题组五：应用函数模型（对数函数与指数函数）13．（2021·全国·高一课时练习）声强级（单位：）与声强的函数关系式为：.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍14．（2021·四川自贡·高一期末（理））银行一年定期的存款的利率为，如果将元存入银行一年定期，到期后将本利和再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共（）．A．元 B．元C．元 D．元15．（2021·湖南·高一月考）年月日时分，长征五号遥五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体样返回之旅已知火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭质量（单位：）的函数关系为，若已知火箭的质量为，火箭的最大速度为，则火箭需要加注的燃料质量为（）（参考数值为，，结果精确到）（）A． B． C． D．【考点同练】一、单选题16．（2021·江苏·高一课时练习）方程0.9x－x＝0的实数解的个数是（）A．0 B．1C．2 D．317．（2021·全国·高一课时练习）若函数在区间中恰好有一个零点，则的值可能是（）A．-2 B．0 C．1 D．318．（2021·全国·高一课时练习）关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（）A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值19．（2021·四川·射洪中学高一月考）已知函数，若方程有三个不等的实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．20．（2020·全国·高一课时练习）用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（）A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)21．（2021·全国·高一课时练习）容器中有浓度为的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为（）A． B． C． D．22．（2019·湖南·长沙市南雅中学高一月考）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A． B． C． D．23．（2021·全国·高一专题练习）已知函数，则函数的零点为（）A． B．，0 C． D．024．（2021·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．25．（2021·全国·高一课时练习）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、多选题26．（2021·黑龙江·大庆实验中学高一月考）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数k的值可以是（）A．0 B． C． D．127．（2021·河北迁安·高一期末）给定函数（）A．的图像关于原点对称 B．的值域是C．在区间上是增函数 D．有三个零点28．（2021·浙江杭州·高一期末）已知某湖泊蓝藻面积（单位：）与时间（单位：月）满足．若第1个月的蓝藻面积为，则（）A．蓝藻面积每个月的增长率为100%B．蓝藻每个月增加的面积都相等C．第6个月时，蓝藻面积就会超过D．若蓝藻面积到，，所经过的时间分别是，，，则29．（2021·江苏·南京市雨花台中学高一期末）下列结论正确的是（）A．为减函数，那么的取值范围是B．即是奇函数又是增函数C．的值域为D．在上具有零点的必要不充分条件是30．（2021·广东·揭阳第一中学高一期末）下列几个说法，其中正确的有（）A．己知函数的定义域是，则的定义域是B．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为C．已知关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是或D．若函数在区间上的最大值与最小值分别为和，则三、填空题31．（2021·江苏·高一课时练习）若f(x)＝2x(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是________32．（2021·江苏·高一课时练习）设m为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则m的取值范围是__________.33．（2021·黑龙江·牡丹江一中高一月考）有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距与车速和车长（）的关系满足：（k为正的常数），假定车身长为4，当车速为时，车距为2.66个车身长.应规定车速为___________时，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？34．（2021·四川·成都外国语学校高一月考）设表示集合S中元素的个数，定义已知，，若，则实数a的取值范围为______．四、解答题35．（2020·广东·东莞市东华高级中学高一月考）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？36．（2020·全国·高一单元测试）已知函数（1）若，求函数的零点；（2）若在恒成立，求的取值范围；（3）设函数，解不等式.37．（2021·全国·高一专题练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．38．（2020·辽宁·盘锦市第二高级中学高一期末）已知函数.（1）若对任意实数都成立，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有两个实数解，求实数的取值范围.【答案精讲】1．C解：函数在上单调递减，又，，则，由零点存在性定理可知，函数在区间上有零点.故选：C.2．A【详解】∵>0，>0，<0，∴在(1,2)上一定有零点，且图象是一条连续不断的曲线．若要保证只有一个零点，只需上且上，如下图示：∴在定义域内不一定单调，但<0.故选：A3．B【详解】显然函数在上单调递增，，所以函数的零点所在的一个区间是.故选：B4．C【详解】令，由方程在区间上有两个不相等的实数解可得，即或，解得，故选：C5．D【详解】当时,；当时,.设，关于x的方程有三个不同的实数解，即函数f(x)和有3个不同的交点.作出函数f(x)的图像，由图像可知，当直线y=x+t经过点(-1,0)时,两个函数有两个交点,此时t=1.当x≥-1时，当直线y=x+t与抛物线相切时，两个函数有两个交点，由得，判别式，即4+8+4t=0，所以t=-3，此时直线y=x-3与抛物线相切，所以要使函数f(x)和g(x)=x+t有3个不同的交点则-3<t<1,即t的取值范围是(-3,1).故选:D.6．A解：令，因为方程的两根一个根大于2，另一个根小于2，所以，即，解得，所以的取值范围是，故选：A．7．C【详解】选项恒成立，不存在区间使，所以不能用二分法求零点.故选：C8．C【详解】已知则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．故选:C.9．C【详解】因为区间的长度为，每次二等分都使长度变为原来的，次取中间值后，区间的长度变为，不满足题意，次取中间值后，区间的长度变为，满足题意.故选：C10．A【详解】当时，，当时，，所以，∵存在实数，使得，∴只要即可，即，解得．故选：A．11．A【详解】解：由题意可得，直线与函数至多有一个交点，而直线与函数至多两个交点，函数与函数有三个不同的交点，则只需要满足直线与函数有一个交点直线与函数有两个交点即可，如图所示，与函数的图象交点为，，故有.而当时，直线和射线无交点，故实数的取值范围是.故选：A.12．B【详解】解：由题意，当时，，可得，即，最多只有两个根，分别为1和，此时且．那么当时，则必有两个根，即，可得，则有两个根分别为和，那么，解得，综上，可知实数的取值范围是（0，1）．故选：B．13．B【详解】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，因为普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，所以，，，解得，所以，，解得，所以，两式相除得，则普通列车的声强是高速列车声强的倍.故选：B.14．D【详解】第一年底本利和为，第二年底本利和为，第三年底本利和为，依此类推，10年后到期本利和为．故选：D．15．B【详解】将，代入，得，解得.故选：B.16．B【详解】方法一：设f(x)＝0.9x－x，易知f(2)＝0.81－>0，f(3)＝0.729－1<0，由函数的零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)上有零点．容易证明，函数f(x)＝0.9x－x在R上是减函数，所以它只有一个零点，即方程0.9x－x＝0只有一个实数解．故选：B方法二：求方程0.9x－x＝0的实数解的个数即求函数y＝0.9x的图象和直线y＝x的交点的个数，作出y＝0.9x与y＝x的函数图象(如图)，由图可知函数y＝0.9x的图象和直线y＝x的交点的个数为1.故选：B17．A解：当时，函数在上单调递增，又，故在区间上恰有一个零点，满足题意，故A正确；当时，函数在上单调递增，又，故在区间上没有零点，故B不正确；当时，函数在上单调递增，又，故在区间上没有零点，故C不正确；当时，函数，所以在上单调递减，在上单调递增，又，故在区间上没有零点，不满足题意，故D正确；故选：A.18．D解：根据二分法求函数零点的原理，当零点左右两侧的函数值必须异号才可以求解，故A选项错误；对于B选项，二分法求函数零点与函数零点的特征没有关系，故B选项错误；对于C选项，二分法求函数零点与函数零点个数没有关系，故C选项错误；对于D选项，一个单调函数如果有零点，则满足零点的存在性定理，可以用二分法求解，故D选项正确.故选：D19．D【详解】∵函数，方程有三个不等的实数根∴作出函数和图象，如图所示：设，根据函数对称性可得.令，得，所以，则的取值范围为.故选：D.20．B【详解】由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选：B21．B【详解】1次后浓度为，2次后浓度为，……………，故10次后浓度为.故选：B22．B【详解】与有公共点，即与有公共点，图象如图：可知故选：B23．D【详解】函数当时，令，解得当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0.故选：D.24．D【详解】因为和在上是增函数，所以在上是增函数，所以只需即可，即，解得.故选：D．25．D【详解】作出函数的图象，如图所示:设，则.因为，所以，所以，所以，即.当时，解得或，所以.设，因为函数在上单调递增，所以，即，所以.故选：D.26．ACD【详解】函数的图象如图所示，由图可知方程的实根个数可能为0，1，2，3，4，当时，方程无实根，当时，方程有唯一实根，当时，方程有2个实根，当或时，方程有3个实根，当时，方程有4个实根，∵最多有2个实根，此时，∴方程有6个不同的实数根等价于的实根至少有3个，当时，的三个根均大于-2，符合题意；当时，的四个根均大于，有8个不同的实数根，不合题意；当时，此时有7个不同的实数根，不合题意；当时，只有三个均大于的不同实根，符合题意.故的取值范围是故选：ACD27．AB【详解】解：对于A：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，所以的图像关于原点对称，故A正确；对于B：当时，，当时，，又或，所以或，综上得的值域为，故B正确；对于C：因为在单调递增，所以由B选项解析得，在区间上是减函数，故C不正确；对于D：令，即，解得，故D不正确，故选：AB.28．ACD解：由题意可知，函数图象经过，即，，，，蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，每个月的增长率为，故选项正确，，即每个月增长量为，非常数，故选项错误，当时，，故选项正确，若蓝藻面积到，，所经过的时间分别是，，，，，，，，故选项正确．故选：ACD．29．AB【详解】A，由题意可得，解得，的取值范围是，故A正确；B，的定义域为，关于原点对称，，所以，所以函数为奇函数，由为增函数，对数函数为增函数，所以即是奇函数又是增函数，故B正确；C，，所以的值域为，故C错误；D，在上连续不断，在上具有零点，推不出，反之成立，故D错误.故选：AB30．AD解：对于A，因为函数的定义域是，所以由，得，所以的定义域是，所以A正确；对于B，当时，由，得恒成立，因为，所以，所以，所以B错误，对于C，令，因为关于的方程的一根比1大且另一根比1小，所以，即，得，所以C错误，对于D，，其定义域为，因为，所以为奇函数，所以的最大值与最小值的和为0，所以最大值与最小值的和为8，所以D正确，故选：AD31．(－1，＋∞).解由题意，a＝x－x(x>0)．令g(x)＝x－x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，且g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a>－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．故答案为：．32．解：因为二次函数的对称轴为，且图像开口向上，因为函数在区间上仅有一个零点，所以当时，，解得.故答案为：.33．50由题设，，解得，∴，要使大桥上每小时通过的车