4.3.1等比数列的概念 第二课时教学设计-（新教材 新高考高中数学）-2021-2022学年高二上学期数学（人教A版（2019）选择性必修第二册）

《4.3.1等比数列的概念(2)》教学设计-------李德峰（一）教学内容等比数列的概念（二）教材分析1.教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》2.地位与作用数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。（三）学情分析1.认知基础：已经掌握了等比数列的概念、通项公式和一些性质。2.认知障碍：解决实际问题中，需要等差等比构造新的数列，思维上存在一定的难度。（四）教学目标1.知识目标：①能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算②能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.2.能力目标：通过分析具体情境，解决实际问题的过程中发展推理论证的能力。3.素养目标：通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养（五）教学重难点：1.重点：运用等比数列解决简单的实际问题难点：等比数列的综合运用（六）教学思路与方法教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段课前准备多媒体（八）教学过程教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数，可以得到一列数：1，3，9，27，……，我们知道这是一个等比数列.问题：在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？提示在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq.让学生类比等差发现等比性质教学环节：新知探究教学内容师生活动设计意图常用等比数列的性质1.如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al.2.如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝aeq\o\al(2,k).3.若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列.4.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.5.如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|.6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….类比等差数列的性质，推导等比数列的性质。教学环节：例题解析教学内容师生活动设计意图例4.用10000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10−5分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为a元，每期的利率为r

，则从第一期开始，各期的本利和a

,a1+r，a解：（1）设这笔钱存

n

个月以后的本利和组成一个数列an，则a首项a1=10所以a12=所以，12个月后的利息为10

490.7−10解：（2）设季度利率为

r

，这笔钱存

n

个季度以后的本利和组成一个数列bn，则b首项b1=10于是b4因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为104解不等式104得r≥1.206%.所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解例5.已知数列an的首项a（1）若an为等差数列，公差

d=2，证明数列3（2）若an为等比数列，公比q=19分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。证明（1）：由a1=3，d=2，得an设bn=bn+1又b1所以，3a证明（2）：由a1=3,a两边取以3为底的对数，得log所以log3又log3所以，log3an例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列an，bn,则各月不合格品的数量构成数列anbn，由题意可知，数列a解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列an，banb=0.104−0.004n,

其中n=1,2,…,24,则从今年1月起，各月不合格产品的数量是anbn=1050×1.05n−1由计算工具计算（精确到0.1），并列表观察发现，数列anbn先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，a由an+1得n>5.所以，当n≥6时，an又a13b13所以当13≤n≤24时,a所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.引导学生发现问题中呈等比关系的量，并构造一个等比数列来刻画变量。引导学生对于一个陌生的数列的通项公式，可以从数值、图像上寻找规律，然后通过运算、论证获得解答。通过运用等比数列模型，解决实际问题。发展学生分析能力及数学建模的素养。通过等差数列与等比数列之间的联系，把等差数列的一些性质迁移到等比数列中。通过复杂的实际问题，让学生体会，对于数列问题，我们一般从它的通项出发进行研究。发展学生的推理论证能力。教学环节：课堂练习1.(多选题)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有()A.{can}(c为常数)B.{an＋an＋1}C.{an·an＋1)D.{aeq\o\al(3,n)}解析当c＝0时，{can}不是等比数列，当数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，不是等比数列；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列.答案CD2.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝()A.24B.30C.54D.108解析由aeq\o\al(2,8)＝a4a12得a12＝eq\f(aeq\o\al(2,8),a4)＝54.答案C3.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则eq\f(a2,b2)＝________.解析{an}为等差数列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.{bn}为等比数列，b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1·q＝2，则eq\f(a2,b2)＝eq\f(2,2)＝1.答案14.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.解析设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得eq\f(28,q)，28，28q石，∴eq\f(28,q)＋28＋28q＝98，∴q＝2或eq\f(1,2).又0<q<1，∴q＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)5.在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.解因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8，))可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4.))当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))时，q3＝－eq\f(1,2)，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7；当eq\b\lc\{(\a\v