4.3.2 等比数列的前n项和公式-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2等比数列的前n项和公式【考点梳理】考点一等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))考点二等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．考点三：等比数列前n项和的实际应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．注意：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．【题型归纳】题型一：等比数列前n项和公式的基本运算1．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））已知等比数列的前n项和为，若，，则（

）A． B．1 C．2 D．42．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（

）A． B．32 C．64 D．3．（2022·新疆·乌市八中高二期末（理））已知正项等比数列的前项和为，，则（

）A． B． C． D．题型二：等比数列的片段和性质的应用4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（

）A．B．C． D．5．（2022·辽宁·高二期中）等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或126．（2022·安徽滁州·高二期中）若等比数列的前n项和为，，，则（

）A． B． C． D．题型三：等比数列奇偶项和的性质7．（2022·全国·高二）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（

）A．5 B．7 C．9 D．118．（2021·全国·高二）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（

）.A．11 B．12 C．13 D．149．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型四：等比数列中an与Sn的关系10．（2022·河北·石家庄二中高二期中）已知为数列的前n项和，，那么（

）A．－4 B． C． D．11．（2021·黑龙江牡丹江·高二）设等比数列的前n项和为，，，，则m等于（

）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022·江苏泰州·高二期末）设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（

）A． B． C． D．题型五：等比数列的简单应用13．（2022·北京顺义·高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（

）斗粟A． B． C． D．14．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（

）A．4 B．12 C．16 D．2015．（2022·吉林·东北师大附中高二阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（

）A．86里 B．172里 C．96里 D．192里题型六：等比数列前n项和综合问题16．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满足：,数列的前n项和(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和．17．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列满足(1)求出数列的通项公式；(2)已知数列前项和为，满足.数列满足，试求数列前项和为18．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）已知数列的前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【双基达标】一、单选题19．（2022·陕西·蓝田县城关中学高二期中（理））在数列中，，，则（

）A．958 B．967 C．977 D．99720．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）在等比数列中，为其前n项和，且，则它的公比q的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或21．（2022·福建漳州·高二期中）若正项数列满足，，则（

）A． B． C． D．22．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列的前项和为，，且，则下列说法中错误的是（

）A． B．C．是等比数列 D．是等比数列23．（2022·陕西·千阳县中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，若前项和为9，则项数为（

）A．99 B．100 C．101 D．10224．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍初日屠五两，今三十日居讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫最后5天所屠肉的总两数为（

）A． B． C． D．25．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）设数列满足，，数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．26．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（

）．A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递减数列 D．的前n项和27．（2022·全国·高二课时练习）在数列中，若，，则（

）．A．31 B．63 C．123 D．102328．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的图象过点，且，．记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．29．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）已知数列为等比数列．(1)若，，求．(2)若，，，求．30．（2022·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知数列满足，且，数列是各项均为正数的等比数列，为的前n项和，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前n项和为，求的取值范围.【高分突破】一：单选题31．（2022·全国·高二）已知等比数列的首项为1，公比为2，则（

）A． B． C． D．32．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（

）A．64 B．63 C．127 D．12833．（2022·辽宁丹东·高二期末）记为等比数列的前n项和，若，则的公比q=（

）A． B． C． D．234．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列的前项和为，．记，数列的前项和为，则的取值范围为（

）A． B．C． D．35．（2022·辽宁·高二期末）已知数列，定义数列为数列的“2倍差数列”.若的“2倍差数列”的通项公式，且，则数列的前项和（

）A． B． C． D．36．（2022·北京八中高二期末）已知数列的各项均为正数，且满足(为常数，．给出下列四个结论：①对给定的数列，设为其前n项和，则有最小值；②若数列是递增数列，则；③若数列是周期数列，则最小正周期可能为2；④若数列是常数列，则其中，所有正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题37．（2022·湖南·双峰县第一中学高二期中）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．38．（2022·福建漳州·高二期中）已知数列的前n项和为，，，且，则下列说法正确的是（

）A．数列的通项公式为 B．若，则C．数列为等比数列 D．39．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（

）A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递增数列 D．的前项和为40．（2022·浙江·高二期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A．为等差数列 B．C． D．的最大值为41．（2022·甘肃·高台县第一中学高二期中）树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（

）A．B．甲小组募得捐款为9550元C．从第7天起，总有D．且42．（2022·广东茂名·高二期末）若等差数列的前n项之和为，公差为d，等比数列的前n项之和为，公比为q（），若，则下列各选项正确的是（

）A． B．C． D．43．（2022·福建省诏安县桥东中学高二期中）如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…．记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为，图3中正方形的个数为，…，图中正方形的个数为，下列说法正确的有（

）A． B．图5中最小正方形的边长为C． D．若，则图中所有正方形的面积之和为8三、填空题44．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二期中）已知等比数列的前n项和为，且，，则__________．45．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列的前n项的和，若数列为等比数列，则的值为___________．46．（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为__________．47．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知数列​满足:​，则数列​的前​项和​为_______48．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.49．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则下列结论中正确的是______．（填序号）①为等差数列；②为严格增数列；③的前n项和；④的前n项和．四、解答题50．（2022·浙江省常山县第一中学高二期中）已知各项为正数的数列前n项和为，若．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列前n项和为，求证：．51．（2022·福建龙岩·高二期中）已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，．(1)求与的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围．52．（2022·江苏苏州·高二期中）已知等差数列前项和为，且满足．(1)求的值；(2)设为的等比中项，数列是以为前三项的等比数列，试求数列的通项及前项和的表达式．53．（2022·江苏·常熟中学高二期中）已知数列的前n项和为，，数列是首项为3，公比为3的等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围；(3)若，求出所有的有序数组（其中），使得依次成等差数列？（本小题给出答案即可，无需解答过程）【答案详解】1．B【分析】排除的情况，根据等比数列求和公式解得，再根据计算得到答案.【详解】当时，，即，，不成立；当时，，即，解得.，.故选：B.2．B【分析】利用等比数列的通项公式和前n项和公式求解.【详解】设等比数列{an}的公比为q，由题意知，因为S3=，S6=，所以，解得，所以.故选：B3．C【分析】先利用等比数列的性质解得，在结合，即可解得与，最后代前项和公式即可求解【详解】设正项等比数列的公比为而，则，所以，所以，解得故选：C4．A【分析】利用等比数列的性质、等比中项的性质进行求解.【详解】因为，且也成等比数列，因为，，所以，所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，即，所以.故B，C，D错误.故选：A.5．A【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则．故选：A6．D【分析】根据已知条件，利用等比数列片段和的性质直接写出.【详解】，，由等比数列片段和的性质：，，，，…成等比数列，所以，则．故选：D7．A【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论．【详解】根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：【点评】本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．8．B【分析】根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前3项之积可求得，从而求得首项.【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，∴，∵,∴解得，又前3项之积，解得，∴.故选:B.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等比中项，以及奇数项和偶数项的关系，属于基础题.9．B【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.10．C【分析】根据，利用数列的通项和前n项和的关系，求得数列的通项求解.【详解】因为，当时，，当时，由得，两式相减得，即，又，所以是等比数列，，则，故选：C11．B【分析】利用前n项和为与的关系，可列式求出公比的值，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，故，∴或.当时，满足题意，，当时，与都矛盾，不成立.故选：B.12．C【分析】设，项和转换，求解即可【详解】由题意，设则故选：C13．B【分析】牛主人应偿还x斗粟，由题意列方程即可解得.【详解】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，所以，解得：.故选：B14．C【分析】利用给定条件，构造等比数列并借助等比数列前n项和求解作答.【详解】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：，得，显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，所以需要的天数至少为16.故选：C15．D【分析】根据题意可知，此人每天走的路程形成等比数列，公比为，再根据等比数列的前项和公式即可解出．【详解】设此人第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可形成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．故选：D．16．(1)(2)【分析】(1)根据数列的递推关系式判断数列类型求出通项公式,根据的前n项和,利用,求出数列的通项公式即可,注意检验;(2)根据数列通项公式的特殊性,利用错位相减法,求出其前n项和即可.【详解】（1）解:由题知,是以2为公比的等比数列,,的前n项和,时,当时,,故,综上:;（2）由(1)知,,,①,②②-①可得:故.17．(1)(2)【分析】（1）根据的前项和与的关系，采用相减的方式求解数列的通项公式；（2）根据数列前项和为与的关系，求解，设确定其单调性，得，最终按照分组求和的方法得.【详解】（1）解：已知数列满足当时，，当时，两式相减得：时满足上式，所以.（2）解：已知数列前项和为，满足当时，，所以当时，两式相减得：，整理得所以，且则，，，……，累加得：所以，则，且，均满足上式，所以所以设，则故数列为单调递增数列又，所以当时，恒成立所以则.18．(1)；(2).【分析】（1）根据时，得到，，再结合，得到数列为等差数列，然后求通项即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）当时，，解得，当时，，则，整理得，又，所以，数列为等差数列，所以.（2）由（1）得，设数列的前项和为，，，两式相减得：，所以.19．C【分析】首先通过累加法求得，再利用分组求和的方法求出，代入即可.【详解】，，则上述式子累加得，，故选：C.20．C【分析】分类讨论q是否为1，结合等比数列前n项和公式，即可解得q的值.【详解】当q=1时，，满足.当时，由已知可得，，显然，.所以，有，解得，q=1（舍去）或.综上可得，q=1或.故选：C.21．B【分析】由递推公式推出数列的通项公式，得到数列的通项公式，根据数列特征求和.【详解】由，得，又是正项数列，所以，，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，.，，，可得数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以.故选：B.22．C【分析】根据已知条件，令代入，求得，判断A;结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，判断C,求出，即可判断B;利用可得，进而推出，即可判断D．【详解】由题意数列的前项和为，，且，则，即，即选项A正确；∵①，∴当时，②，①-②可得，，即，，不满足，故数列不是等比数列，故C错误，由时，可得，，则，故，故B正确；由得：,则，即，故是首项为，公比为3的等比数列，D正确，故选︰C．23．A【分析】化简，利用裂项相消求出数列的前项和，即可得到答案【详解】假设数列的前项和为，因为，则数列的前项和为，当前项和为9，故，解得，故选：A24．C【分析】由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，利用等比数列的通项和求和公式得解.【详解】解：由题得屠户每天屠的肉的两数组成了一个首项为5，公比为2的等比数列，所以第26天屠的肉的两数为，所以最后5天屠的肉的总两数为.故选：C25．A【分析】由题意可得，判断数列为首项为1，公比为2的等比数列，即可求得答案.【详解】由，可得，又，所以，所以，即数列为首项为1，公比为2的等比数列，所以，故选：A.26．D【分析】由两边取倒数求得的通项公式，对各选项进行分析判断，即可得答案.【详解】由两边取倒数：，即，又，所以首项为4，公比为2的等比数列，A正确.，即，B正确.由通项公式知：为递减数列，C正确.因为，所以，D错误.故选：D27．A【分析】由题意可知数列是以1为首项，为公比的等比数列，从而可得是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】因为数列中，若，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，故选：A28．D【分析】先利用点求出，代入得，接着进行求和即可求出答案【详解】由，可得，解得，则，所以，所以，故选：D29．(1)或(2)【分析】（1）利用等比数列的性质先求出公比，然后计算即可；（2）所有的数利用表示，解方程组，然后计算出首项和公比，计算出，求解即可.【详解】（1）因为，，所以，得当时，当时，（2）因为，得，，解得，所以所以，得，所以30．(1)(2)【分析】（1）由递推关系化简可证明数列为等差数列，再由通项公式求解即可；（2）根据错位相减法求和后做差判断单调性，利用单调性求取值范围.【详解】（1）由，∴（常数），故数列是以为公差的等差数列，且首项为，∴，故；（2）设公比为q（），由题意：，∴，解得或（舍），∴，∴，∴，有，两式相减得，∴，由，知在上单调递增，∴.31．D【分析】确定数列是首项为1，公比为4的等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.【详解】因为等比数列的首项为1，公比为2，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以,故选：D32．B【分析】设正项递增等比数列的公比为，根据题意求得，，利用等比数列的求和公式，即可求解.【详解】设正项递增等比数列的公比为，因为，所以，又因为，可得，解得或（舍去），又由，解得，所以.故选：B.33．B【分析】根据等比数列的性质，即可求公比.【详解】，所以，即.故选：B34．A【分析】根据的关系求出的通项公式，继而求出的通项公式，再用裂项相消法求出，进而得解.【详解】因为数列中，，所以，所以，所以．因为，所以，所以．因为数列是递增数列，当时，，当时，，，所以，所以的取值范围为．故选：A．35．A【分析】由可得，从而得数列表示首项为，公差的等差数列，求得，再根据错位相减法即可得.【详解】根据题意得，，数列表示首项为，公差的等差数列，，，，，，.故选：A.36．C【分析】利用数列的各项均为正数以及前项和表达式判断①；若数列是递增数列，则有，进而根据已知条件化简式子求出的取值情况判断②；若数列是最小正周期为的数列，则有，对和取特殊值验证判断③；若数列是常数列，设，则，从函数的角度求的取值情况判断④.【详解】对于①，在数列的各项均为正数的情况下，设为其前n项和，则，易知递增，因此有最小值，①正确；对于②，若数列是递增数列，则成立，又，成立，即成立，则，②错误；对于③，若数列是最小正周期为的数列，则，即成立，当，时，上式成立，数列是最小正周期为的数列，③正确；对于④，若数列是常数列，设，则，令，则，，，④正确.综上所述，所有正确结论的个数是个.故选：C.37．AB【分析】根据题意，分情况进行讨论，然后利用等差中项的性质即可求解.【详解】若公比有，，，此时，故公比，由题意，化简有，两边同时乘以，可得：；两边同时乘以，可得：故有或，选选：AB.38．ABD【分析】对于选项A，因为，所以，从而判断出为等比数列，从而求出的通项公式；对于选项B，通过选项A中为等比数列，判断出为等比数列，从而得到答案；对于选项C，因为的通项公式已知，通过分组求和得到，从而判断出是否为等比数列；对于选项D，通过选项A和D可以得到和，从而判断是否正确.【详解】对于选项A，，则，又，故数列是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，故A正确；对于选项B，，则为等比数列，所以，故B正确；对于选项C，由，得，又，则数列不是等比数列，故C错误；对于选项D，易得，即，故D正确.故选：ABD39．AD【分析】取倒数后由构造法得为等比数列，得通项公式后对选项逐一判定【详解】由题意得，则，而，故是首项为，公比为的等比数列，，得，为递减数列，故A正确，B，C错误，对于D，，的前项和为，故D正确，故选：AD40．AD【分析】由题意先判断出，所以公比为，即，即可判断B；对于A：求出的通项公式，即可判断；对于C：利用等比中项，即可判断；对于D：利用单调性直接求出的最大值为.【详解】因为等比数列满足，，，所以，所以公比为，即.故B错误.对于A：，所以，即为等差数列.故A正确；对于C：.故C错误；对于D：因为，所以，所以当时，，即；当时，即.所以的最大值为.故D正确.故选：AD41．AC【分析】利用等差数列求和公式求出甲小组两周的募捐的钱数，得到B错误；利用等比数列求和公式及分组求和，得到乙小组两周募捐的钱数，得到D错误；计算出，比较得到大小；令，先计算出，再结合数列单调性得到答案.【详解】由题可知且，设代表第天甲小组募得捐款，且，对于甲小组，，所以，所以，所以且，所以，故选项B不正确；设代表第天乙小组募得捐款，由题可知，，所以，，故选项D错误；因为，故该选项A正确；选项C，令，所以，而当时，，所以数列为递增数列，因此，所以，故选项C正确.故选：AC42．AD【分析】利用等差数列、等比数列前n项和公式表示出，，再求出并与已知等式比对即可分析计算作答.【详解】依题意，，，，而，于是得，且，即，整理得：，即B，C不满足，A，D满足.故选：AD43．BCD【分析】将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，可以求出数列的通项公式，然后分别验证各选项.【详解】将相同的正方形看作同一“层”，自下而上每一“层”正方形个数成等比数列，且公比为2，根据等比数列前项和可知.选项A：，A错误.选项B：又因自下而上每一“层”的正方形的边长也称等比数列，且公比为，所以每“层”正方形边长,所以，B正确.选项C：，C正确.选项D：解得，每一“层”的面积和，所以当时所有正方形的面积之和为8,D正确.故选：BCD44．62【分析】利用等比数列的通项关系先求公比，再利用前n项和公式求解即可【详解】在等比数列中，公比为，则，解得：，所以.故答案为：6245．【分析】先利用等比数列前项的关系算出，然后再检查算出的值能否保证所有项成等比数列.【详解】数列为等比数列，则其前项成等比数列，即，由，，，，故，解得.此时，时，当，，故符合，于是时，，数列为等比数列.故答案为：46．【分析】设正项等比数列的公比为，根据等比数列的前项和公式，即可求出公比，再根据等比数列的性质可知，由此即可求出结果.【详解】设正项等比数列的公比为，当时，，不能同时成立；当时，因为为正项等比数列的前项和，且，所以，即所以，所以（（舍去）），又，所以的值为.故答案为：.47．【分析】类比与的关系，分类讨论与两种情况，证得，再代入，从而利用分组求和法即可求得.【详解】因为，所以当​时，​，故​；当​时，​，则，​两式相减得:​，故​，经检验:满足，所以当​时，​，所以​，故​.故答案为：.48．4【分