4.4 对数函数-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第一册）

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)4.4对数函数【考点梳理】考点一：对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．重难点技巧：对数函数的图象和性质考点二：对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称考点三:不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．考点四：反函数的概念一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．重难点技巧：不同函数增长的差异考点五：三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax【题型归纳】题型一：对数函数的概念与解析式1．（2021·全国高一课时练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中是对数函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2021·全国高一课时练习）若函数为对数函数，则（）A． B． C． D．3．（2021·全国高一课前预习）设（且），若，则（）.A．2 B． C． D．题型二：对数函数的定义域（复合型对数函数）4．（2021·全国）若对数有意义，则实数a的取值范围为（）A．（-∞，3） B．C．∪（1，+∞） D．∪（1，3）5．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）的定义域是（）A． B．C． D．6．（2021·全国高一单元测试）函数的定义域为（）A． B． C． D．题型三：对数函数的值域问题7．（2021·安徽芜湖一中高一月考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．（2020·深圳实验学校高中部高一月考）函数的值域是（）A． B．R C． D．9．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学）若函数()的值域是，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．题型四：对数函数的图像问题10．（2021·全国高一专题练习）函数的图象必过的点是（）A． B． C． D．11．（2020·江苏省西亭高级中学）函数与（且）的图象经过同一个定点，则的值是（）A．4 B．-1 C．3 D．12．（2021·湖南湘西·高一期末）若，则与在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．题型五：对数函数的单调性问题（复合函数、求参数）13．（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．14．（2020·丽水外国语实验学校高一月考）已知是上的减函数，那么a的取值范围是（）A． B． C． D．15．（2020·石家庄市藁城区第一中学高一月考）若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（）A． B． C． D．题型六：对数函数的单调性比较大小16．（2021·广西桂林市·高一月考）若，则三者大小关系为（）A． B． C． D．17．（2021·天津红桥区·高一学业考试）设，，，则（）A．c<a<b B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b18．（2021·四川眉山市·仁寿一中）设，，，则（）A． B． C． D．题型七：对数函数的单调性解不等式19．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知函数则不等式的解集为（）A． B．C． D．20．（2020·安徽马鞍山·高一月考）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件21．（2021·湖南）已知函数，则的a的取值范围是（）A． B． C． D．题型八：反函数问题22．（2019·陕西镇安中学高一期中）已知函数的图象如下图所示，函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式为（）A． B． C． D．23．（2020·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高一月考）已知函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（）A． B． C． D．24．（2021·江西省兴国县第三中学高一月考）已知函数f(x)=log2x的反函数为g(x)，且有g(a)g(b)=16，若a>0，b>0，则的最小值为（）A．9 B． C．4 D．5题型九：指数函数与对数函数的综合25．（2021·新疆昌吉回族自治州第二中学）已知函数，若，则（）A． B． C．0 D．或26．（2020·广东佛山一中）|log2x|＝1是2|x|＝4的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件27．（2020·张家口市第一中学高一月考）设函数，若，则实数的值为（）A． B． C．或 D．【双基达标】一、单选题28．（2021·全国高一课时练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（）A．∪ B．∪ C． D．29．（2021·庆阳第六中学高一期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（）A． B． C． D．30．（2021·广西桂林市·高一月考）已知函数（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递减 D．在上单调递增31．（2021·全国高一专题练习）下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（）A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快32．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）若函数的图象经过点(4，2)，则函数g(x)＝loga的图象是（）A．B．C． D．33．（2020·张家口市第一中学高一）若函数在上单调递减，实数的取值范围是（）A． B． C． D．34．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知a＝log0.53，b＝20.3，c＝0.30.5，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c35．（2021·四川巴中·高一期末（理））已知是奇函数，当时，（其中为自然对数的底数），则（）A． B． C． D．36．（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．37．（2021·河北安平中学）设是定义域为的偶函数，若，都有，则大小关系正确的为（）A． B．C． D．38．（2021·广东高一期末）已知函数，若正实数、、、互不相等，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【高分突破】一：单选题39．（2021·雄县第二高级中学高一期末）已知函数在R上是单调函数，则的解析式可能为（）A． B． C． D．40．（2021·兴仁市凤凰中学高一期末）设若，，，则（）A． B． C． D．41．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）A．5 B．4 C．3 D．242．（2020·云南）若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（）A． B． C． D．43．（2021·广东高一期末）设命题甲：，是真命题，命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么乙是甲的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件44．（2021·上海高一专题练习）将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，再沿轴负方向移动2个单位，得到图像，在下列函数的图像中，与图像关于直线对称的是（）A． B．C． D．45．（2021·上海市金山中学高一月考）若，则下列命题中不正确的是（）A． B． C． D．46．（2021·江苏高一课时练习）已知函数，则的大致图象为（）A．B．C．D．47．（2021·广东）已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（）A．{x|x>2} B． C．{或x>2} D．{或x>2}二、多选题48．（2021·运城市新康国际实验学校高一开学考试）在同一坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是（）A．， B．，C．， D．时，49．（2021·汕头市潮师高级中学高一月考）给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（）A．函数的图象过定点B．化简的结果为25C．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是D．若（，），则50．（2021·广东高一期末）已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．51．（2021·湖南）设函数，下列四个命题正确的是（）A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在（1，2）上为单调递增函数D．若，则52．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中真命题为（）A．函数的图象关于轴对称B．当时，是增函数，当时，是减函数C．函数的最小值是D．当或时，是增函数三、填空题53．（2021·山东枣庄市·滕州市第一中学新校高一月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.54．（2021·河北高一期末）函数的单调递减区间为___________.55．（2021·上海高一期中）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中、，则的最小值为____________.56．（2021·浙江学军中学高一竞赛）已知函数，则关于x的不等式的解集是___________．四、解答题57．（2021·上海）（1）若不等式在内恒成立，求实数的取值范围；（2）已知函数且．当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围．58．（2021·广西桂林市·高一月考）已知函数．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）求不等式的解集．59．（2021·贵州师大附中高一开学考试）已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为-2，求实数的值.60．（2021·汕头市第一中学）已知函数在上的最大值与最小值之和为．（1）求实数的值；（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．61．（2021·曲周县第一中学高一开学考试）已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.62．（2020·全国）已知函数，函数．（1）求函数的值域；（2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围．63．（2021·安徽滁州·）已知函数，若点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函的相关函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）对任意的，的图象总在其相关函数图象的上方，求实数的取值范围.【答案详解】1．A【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.2．B【详解】由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以故选：B3．C【详解】因为（且），，所以，即，解得，所以，所以.故选：C4．D【详解】由已知，得且，故选：D.5．C【详解】解：要使函数有意义，则，解得或，所以函数的定义域为.故选：C．6．D解：函数的定义域为：，即或，所以定义域为：.故选：D.7．D【详解】设，，因为函数的值域为，所以要能取到的所有数，当时，满足条件；当时，，得；当时，不成立.综上可知，.故选：D8．A【详解】由，得，令，则，因为，，所以，因为函数在上单调递减，所以，所以函数的值域为，故选：A9．C【详解】当时，，当且仅当时取等号，依题意得，，当时，，，不符合要求，于是得，在上递增，从而得，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C10．D【详解】，则当，即时，是与的值无关的定值，故函数的图形必过的点是.故选：D.11．D【详解】因为函数（且）经过定点，函数（且）的图象经过定点，由题意知，即，故，故选：D12．D【详解】因为，，是减函数，是增函数，只有D满足．故选：D．13．D【详解】对于函数，有，解得或，故函数的定义域为，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.14．A【详解】解：因为为上的减函数，所以有，解得，故选：A.15．D解：当时，，因为函数在区间内恒有，，函数，由和复合而成，因为时，在上是增函数，所以只要求的单调增区间．的单调递增区间为，的单调增区间为，故选：．16．D【详解】由题得，由题得.所以.故选：D17．B解：因为，，，所以故选：B18．A【详解】令，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以，，所以，且，因为在上单调递增，所以，所以，故选：A.19．D【详解】当时，不等式即，可得，解得：；当时，不等式即，即，所以，解得：或（舍），所以，综上所述：不等式的解集为，故选：D.20．A【详解】解：由，解得，由，得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.21．D由题意，若，则不等式可化为，解得，若，则不等式可化为，解得，故a的取值范围是.故选：D.22．C由图象可得，，故，又函数的图象与的图象关于直线对称，故与互为反函数，故故选：C23．C函数的反函数图象过点，函数的图象必过点.故选：C.24．B【详解】由条件可知，，，，当，即时等号成立，因为，解得：，，所以的最小值是.故选：B25．D【详解】当时，,解得;当时，,解得,故选：D.26．D【详解】∵|log2x|＝1，∴x＝2或；∵2|x|＝4＝22，∴x＝2或-2．故选：D27．B【详解】因为，所以或所以或故选：B.28．B【详解】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义，则解得或.故选：B．29．C【详解】∵函数的定义域为，所以恒成立，当时，显然不合题意，当时，则∴综上所述故选：C.30．D【详解】在上分别递减，在上递增，在上递减，在上递增，则在上递减，在上递增，∴在上递增.故选：D31．C【详解】观察函数、、在区间上的图象如下图所示：函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；函数在区间上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数的图象递减速度比较平稳．故选：C.32．D【详解】由题意可知f(4)＝2，即a3＝2，所以a＝.所以，因为函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，所以排除选项A，B，C.故选：D.33．B【详解】若函数在上单调递减，则，得.故选：B.34．A解：∵log0.53＜log0.51＝0，∴a＜0，∵20.3＞20＝1，∴b＞1，∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：A．35．D【详解】由是奇函数得，又时，，所以.故选：D．36．A【详解】定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，为增函数，由结合偶函数图象的对称性可知，两边平方并化简得，解得.所以不等式的解集为.故选：A37．D【详解】因为若，都有，所以在上单调递增；因为是定义域为的偶函数，所以，因为，所以，而在上单调递增，所以，故，即故选：D.38．A解析：如图所示：正实数、、、互不相等，不妨设∵则，∴，∴且，，∴故选：A39．C【详解】当时，为增函数，则在上为增函数，且，A.在上为增函数，，故不符合条件；B.为减函数，故不符合条件；C.在上为增函数，，故符合条件；D.为减函数，故不符合条件．故选：C．40．A因为，，，所以可得的大小关系为.故选：A.41．B【详解】令，得，所以函数且的图像恒过定点，设幂函数为，因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以，故选：B42．A【详解】∵是幂函数，∴，，∴过定点.故选：A43．A【详解】因为，，故即，因为在上单调递减，故即，因为真包含了，故乙是甲的充分不必要条件.故选：A.44．B【详解】将函数的图像沿轴负方向移动1个单位，得到，再沿轴负方向移动2个单位，得到图像，则图像的对应的函数为，则图像关于直线对称的是．故选：B.45．D【详解】解：因为，所以，即，对于A：因为在定义域上单调递减，又，所以，故A正确；对于B：因为在单调递减，又，所以，故B正确；对于C：因为在单调递减，又，所以，故C正确；对于D：当（或）时（），此时（或）无意义，故D错误；故选：D46．D解：根据题意，，所以，在区间上，在轴下方有图象，排除，又，而，有，不会是增函数，排除，故选：．47．C【分析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.【详解】依题意，不等式，又在上是增函数，所以，即或，解得或.故选：C.48．ABC【详解】由图象可知，，所以AB选项错误.当时，，所以C选项错误.当时，，所以，所以D选项正确.故选：ABC49．BD【详解】对于A，函数的图象过定点，A错，对于B，，B对，对于C，由函数（且）在上是减函数，可得，且，所以，故C错误；对于D，令，若，则，即，又，在上单减，所以，所以故D对，故选：BD.50．AD因为，所以，所以，故选项A正确；当时，，故选项B错误；又，故选项C错误；由指数函数和幂函数的单调性得，故选项D正确.故选；AD.51．BC【详解】A选项，的定义域为，所以是非奇非偶函数，A错误.B选项，由于，，，所以，B正确.C选项，，由，的开口向下，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知函数在（1，2）上为单调递增函数.C正确.D选项，，，所以，即，由于，，所以不成立，D错误.故选：BC52．ACD的定义域为，关于原点对称，且满足，所以函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故A是真命题；当时，，令，则，由对勾函数的性质可知在上是减函数，在上是增函数，又在定义域上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，在上是减函数，在上是增函数，故B是假命题；当时，（当且仅当时取等号），又是偶函数，所以函数的最小值是，故C是真命题；当时，是减函数，当时，是增函数，又是偶函数，所以根据复合函数的单调性知，当或时，是增函数，故D是真命题．故选：ACD．53．解：因为函数的定义域是，即，所以，所以，即，即，所以，即函数的定义域为故答案为：54．【详解】由题知：，解得或.令，则为减函数.所以，为减函数，为增函数，，为增函数，为减函数.所以函数的单调递减区间为.故答案为：55．对于函数，令，可得，则，故函数的图象恒过定点，因为点在直线上，则，可得，因为