5.1 任意角和弧度制-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

5.1任意角和弧度制【考点梳理】大重点一：任意角考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．大重点二：弧度制考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的eq\f(1,360).2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数考点八四：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.【题型归纳】题型一：任意角的概念1．（2022·全国·高一）平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（

）A．第一象限角一定不是负角B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．钝角的终边在第二象限2．（2022·四川攀枝花·高一期末）下列说法中，正确的是（

）A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角3．（2021·上海市甘泉外国语中学高一期末）下列命题中正确的是（

）A．第一象限角是锐角 B．锐角是第一象限角C．终边相同的角必相等 D．第二象限角必大于第一象限角题型二：终边相同的角4．（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（

）A． B．C． D．5．（2022·河南安阳·高一期末）把表示成，的形式，则的值可以是（

）A． B． C． D．6．（2022·吉林松原·高一阶段练习）下列与角的终边一定相同的角是（

）A． B．C． D．题型三：象限角7．（2022·山东东营·高一期中）若是锐角，则，是（

）A．第一象限角 B．第三象限角C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角8．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．是第二象限的角 D．是终边相同的角9．（2022·河南新乡·高一期末）“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型四：确定n倍角所在象限10．（2021·全国·高一专题练习）若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角11．（2020·河南·林州市林虑中学高一阶段练习）下列有4个命题：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若是第二象限角，一定是第四象限角；（4）终边在轴正半轴上的角是零角；其中正确的命题有（

）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2） D．（1）（2）（3）（4）12．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型五：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）13．（2022·甘肃兰州·高一期中）考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（

）A． B． C． D．14．（2022·河南新乡·高一期末）现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（

）A． B． C． D．15．（2021·云南师范大学附属丘北中学高一阶段练习）如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针（

）A． B． C． D．题型六：角度与弧度的互化16．（2022·全国·高一课时练习）下列结论错误的是（

）A．－150°化成弧度是 B．化成度是－600°C．化成弧度是 D．化成度是15°17．（2022·湖南·高一）把下列各角从弧度化为度：(1)；(2)；(3)；(4)．18．（2022·湖南·高一）把下列各角从度化为弧度：(1)15°；(2)36°；(3)；(4)145°．题型七：、与扇形的弧长、面积有关的计算19．（2022·江西赣州·高一期末）已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（

）A．1 B．4 C．1或4 D．1或520．（2021·天津·高一期末）已知扇形的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形的周长为（

）A．32 B．24 C． D．21．（2022·江苏宿迁·高一期中）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约m，则该月牙泉的面积约为（

）（参考数据：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2【双基达标】一、单选题22．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）2022°是第（

）象限角．A．一 B．二 C．三 D．四23．（2022·浙江大学附属中学高一期末）下列选项中与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．24．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．25．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）给出下列四个命题:①-75°是第四象限角；②小于的角是锐角；③第二象限角比第一象限角大；④一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度.其中正确的命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个26．（2022·全国·高一课时练习）玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（

）A． B． C． D．27．（2022·全国·高一课时练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（

）A． B．14π C．24π D．10π28．（2022·全国·高一课时练习）设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限29．（2022·全国·高一课时练习）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.(1)(2)30．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【高分突破】一、单选题31．（2022·全国·高一）若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（

）A． B．C． D．32．（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（

）A． B．C． D．33．（2022·全国·高一单元测试）一个扇形的半径为3，圆心角为，且周长为8，则（

）A． B． C． D．34．（2022·陕西咸阳·高一期末）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为l.当，时，的值约为（

）（参考数据：，）A．0.01 B．0.05 C．0.13 D．0.53二、多选题35．（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．436．（2022·全国·高一课时练习）下列给出的各角中，与的终边相同的角有（

）A． B． C． D．37．（2022·全国·高一单元测试）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（

）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为38．（2022·江西上饶·高一阶段练习）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角39．（2022·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为，圆心角为，天坛中剩余部分扇形的面积为，圆心角为，当与的比值为时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（

）A． B．C． D．40．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（

）A．化成弧度是B．化成角度是C．若角，则角为第二象限角D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为41．（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）下列说法错误的是（

）A．与735°终边相同的角是15°B．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm，则扇形面积为C．设是锐角，则角为第一或第二象限角D．设是第一象限，则为第一或第三象限角填空题42．（2022·黑龙江·哈师大附中高一）一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度．43．（2022·全国·高一）若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．44．（2022·全国·高一）若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．45．（2022·全国·高一）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为______．46．（2022·全国·高一）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.四、解答题47．（2022·全国·高一）已知是第二象限角．(1)指出所在的象限，并用图形表示其变化范围；(2)若，求α的取值范围．48．（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．49．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）集合，，，，分别求，，．【答案详解】1．D【分析】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.【详解】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．故选：D．2．A【分析】根据锐角的定义，可判定A正确；利用反例可分别判定B、C、D错误，即可求解.【详解】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.故选：A.3．B【分析】根据角的有关概念逐项判断对错即可.【详解】A．第一象限角不一定是锐角，如，故错误；B．锐角的范围是，一定是第一象限角，故正确；C．终边相同的角不一定相等，如，故错误；D．取第二象限角，取第一象限角，结论明显不成立，故错误；故选：B.4．B【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．故选：B5．B【分析】由结合弧度制求解即可.【详解】∵，∴故选：B6．C【分析】根据表示终边相同角，即可判断．【详解】对于选项C：与角的终边相同的角为，C满足.对于选项B：当时，成立；当时，不成立.对于选项D：不成立.故选:C7．C【分析】根据取奇数和偶数分类讨论即可求解.【详解】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.故选:C.8．D【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解【详解】对于A：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B：分别取第一象限的角为，第二象限角，此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；对于C：是第三象限的角，故C错误；对于D：因为，所以是终边相同的角，故D正确；故选：D9．A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A10．D【分析】根据题意求出的范围即可判断.【详解】由题意知，，，则，所以，．当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．所以是第二或第四象限角.故选：D.11．C【解析】直接利用象限角的定义对每一个命题进行逐一判断命题的真假即可．【详解】（1）第一象限角,而是第二象限角，命题错误；（2）与终边相等，但它们不相等，命题正确；（3）若是第二象限角，则，∴，其中是第三象限角，命题错误；（4）角的终边在轴正半轴上，但不是零角，命题错误.故选：C【点睛】本题考查了角的概念的推广，属于基础题．12．D【分析】由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可.【详解】∵角的终边在第一象限，∴，，则，，当时，此时的终边落在第一象限，当时，此时的终边落在第二象限，当时，此时的终边落在第三象限，综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.13．B【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为.故选：B.14．C【分析】根据大轮与小轮转过的弧长相等即可求解.【详解】当小轮转一周时，大轮转动周，所以大轮转动的弧度是．故选：C.15．B【分析】根据钟表求出“10”至“2”所夹的钝角，再求出时针偏离“10”的度数，进而即可得出结果.【详解】因为“10”至“2”所夹的钝角为，时针偏离“10”的角度为，所以时针与分针的夹角应为，故选：B．16．A【分析】利用弧度和度的互化公式对选项进行逐一验证即可得出答案.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确．故选：A17．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】将各角的弧度乘以，即可得对应角的度数.(1).(2).(3).(4).18．(1)；(2)；(3)；(4).【分析】将各角度乘以，即可得对应弧度.(1).(2).(3).(4)19．C【分析】设扇形的弧长为，半径为，解方程组求得弧长与半径，从而可得答案.【详解】解：设扇形的弧长为，半径为，所以，解得或，所以圆心角的弧度数是或.故选：C20．D【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.【详解】圆心角，扇形面积，即，得半径，所以弧长，故扇形的周长.故选：D21．D【分析】由题意可得，求出内侧圆弧所在圆的半径，利用扇形的弧长公式和面积公式求出弓形的面积，再求出以为直径的半圆的面积，相减即可【详解】设的外接圆的半径为，则，得，因为月牙内弧所对的圆心角为，所以内弧的弧长，所以弓形的面积为，以为直径的半圆的面积为，所以该月牙泉的面积为，故选：D22．C【分析】将表示为（）的形式，由此确定正确答案.【详解】，所以是第三象限角.故选：C23．D【分析】写出与角终边相同的角的集合，取值得答案.【详解】解：与角终边相同的角的集合为，取时，.故选：D24．A【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论.【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．故选：A．25．A【分析】利用反例可判断②③的正误，根据1弧度的定义可判断④的正误，根据范围可判断①的正误.【详解】对于①，因为，故为第四象限角，对于②③，，故为第二象限角，但且为第一象限角，故②③错误，对于④，因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径，此时对应的弦长小于半径，故④错误，故选：A.26．D【分析】根据弧长公式由条件求出扇形的圆心角和半径，再由面积公式求出扇面面积.【详解】如图，设，，由题图及弧长公式可得解得设扇形COD、扇形AOB的面积分别为，，则该玉雕壁画的扇面面积．故选：D.27．B【分析】根据弧长公式可求得，同理可求得其他弧的长度.【详解】扇形ABD的半径为1，圆心角为，所以的长，同理可得之后的各段弧长分别为，，，，，所以“螺旋蚊香”图案的总长度.故选：B．28．D【分析】由是第三象限角，求出所在的象限，再由，可得出答案.【详解】因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第四象限角.故选：D．29．(1)(2)【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.30．(1)(2)取得最大值25，此时【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解；（2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解.（1）由题意得，解得(舍去)，．所以扇形圆心角．（2）由已知得，．所以，所以当时，取得最大值25，,解得.当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.31．C【分析】只有当角的终边与在直线上时，与函数的图象无交点，其余情况一直有交点，结合选项可得答案．【详解】当角的终边与直线重合时，角的终边与函数的图象无交点.又因为角的终边为射线，所以，.故选：C32．B【分析】令即可判断出正确选项.【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B．33．B【分析】根据扇形的中心角公式计算．【详解】设扇形的弧长为l，则，则故选：B．34．B【分析】根据题意求出与的值，代入弧长公式和求出和即可.【详解】因为，所以，因为是的中点，在上，，所以延长可得在上，，所以，，所以.故选：B35．AD【分析】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则解得或，又圆心角，所以或，故选：AD.36．AB【分析】根据终边相同的角的数量关系判断即可.【详解】终边相同的两个角的差是的整数倍．对于A，因为，所以与的终边相同；A正确；对于B，因为，所以与的终边相同；B正确；对于C，因为，所以与的终边不相同；C错误；对于D，因为，所以与的终边不相同．D错误；故选：AB．37．AC【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，，A正确；对于B，，，，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC.38．AB【分析】由与关于轴对称，即可判断AD；由已知可得，，再根据不等式的性质可判断B；由是第一象限角判断C．【详解】解：因为与关于轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A正确，D错误；因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B正确；因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C错误．故选：AB．39．ACD【分析】理解题意，根据扇形的面积公式化简，对选项依次判断【详解】设天坛的圆形的半径为，由，故D正确；由，所以，解得，故C正确；由，则，所以，所以，故A正确，B错误．故选