4.4 数学归纳法-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第四章：数列4.4数学归纳法【考点梳理】考点一数学归纳法1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以当“n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)

P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．结论：P(n)为真．3.数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明．【题型归纳】题型一：数学归纳法证明恒等式1．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明．2．（2020·全国·高二课时练习）1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立？并说明你的结论.题型二：数学归纳法证明整除问题3．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高二月考（理））用数学归纳法证明：能被整除．4．（2021·河南·高二月考（理））用两种方法证明：能被49整除．题型三：数学归纳法证明数列问题5．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．6．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}满足a1＝，前n项和Sn＝an.（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.题型四：数学归纳法证明不等式7．（2021·全国·高二单元测试）求证：，n∈N*．8．（2021·全国·高二课时练习）试用数学归纳法证明.【双基达标】一、单选题9．（2021·全国·高二课时练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（）A．1项 B．k项C．2k－1项 D．2k项10．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（）A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立11．（2021·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明不等式(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了两项，，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项12．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝”．在验证n＝1时，左端计算所得项为（）A．1＋a B．1＋a＋a2C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a413．（2021·陕西·咸阳百灵学校高二期中（理））用数学归纳法证明：14．（2021·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（）A．假设当时成立，再推出当时成立B．假设当时成立，再推出当时成立C．假设当时成立，再推出当时成立D．假设当时成立，再推出当时成立15．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（）A．a1＋(k－1)d B．C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d16．（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（）A． B．C． D．17．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）A． B． C． D．18．（2021·江苏·高二专题练习）设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（）A．若成立，则成立 B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立 D．若成立，则当时，均有成立【高分突破】一：单选题19．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（）A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k20．（2020·全国·高二课时练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）时等式成立A． B． C． D．21．（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（）A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立22．（2021·江苏·高二专题练习）现有命题“，，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题D．存在一个很大的常数，当时，此命题为假命题23．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．从“到”左边需要增加的代数式是24．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（）A．增加一项 B．增加两项、C．增加，且减少一项 D．增加、，且减少一项25．（2021·安徽省肥东县第二中学高二月考（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（）A．B．C．D．26．（2021·全国·高二课时练习）对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（）A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确二、多选题27．（2021·全国·高二课时练习）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（）A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立28．（2021·江苏·高二专题练习）如果命题对成立，则它对也成立.则下列结论正确的是（）A．若对成立，则对所有正整数都成立B．若对成立，则对所有正偶数都成立C．若对成立，则对所有正奇数都成立D．若对成立，则对所有自然数都成立29．（2021·全国·高二课时练习）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（）A．p(k)对k＝528成立B．p(k)对每一个自然数k都成立C．p(k)对每一个正偶数k都成立D．p(k)对某些偶数可能不成立30．（2021·全国·高二单元测试）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，则可得当时命题也成立，若已知当时命题不成立，则下列说法正确的是（）A．当时，命题不成立B．当时，命题可能成立C．当时，命题不成立D．当时，命题可能成立也可能不成立，但若当时命题成立，则对任意，命题都成立三、填空题31．（2021·全国·高二单元测试）用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．32．（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.33．（2021·全国·高二课时练习）已知f(n)＝1＋＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.34．（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明(n∈N*)的过程如下：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；（2）假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是________.35．（2021·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.四、解答题36．（2020·安徽省明光中学高二月考（理））已知数列满足，.（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；（2）用数学归纳法证明：当时，.37．（2021·全国·高二课时练习（理））已知数列满足，.（1）求、；（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.38．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，其中且.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并证明．39．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，，且.（1）求、、；（2）由（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.40．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.（1）求数列、的通项公式；（2）数列满足：，，证明【答案详解】1．【详解】证明：（1）当时，左边，右边，左边=右边，等式成立.（2）假设当时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立，由（1）（2）可知，对一切等式成立.2．存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立，证明见解析.【详解】假设存在常数a，b，c，使等式对于一切正整数n成立，令n=1，2，3得整理得解得令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2.于是对于n=1，2，3，等式Sn=(3n2+11n+10)成立.用数学归纳法证明等式对于一切都成立，过程如下：当n=1时，已得等式成立.假设)时，等式成立，即Sk=(3k2+11k+10)，则n=k+1时，Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=[k(3k+5)+12(k+2)]=[3(k+1)2+11(k+1)+10]，当n=k+1时，等式也成立.根据可以断定，对于一切等式都成立.所以存在a=3，b=11，c=10使等式对一切正整数n都成立.3．【详解】当时，，又，能被整除；假设当时，能被整除，即，那么当时，能被整除；综上所述：能被整除.4．【详解】证明：方法一：因为为整数，所以能被49整除．方法二：（1）当时，，能被49整除．（2）假设当，能被49整除，那么，当，．因为能被49整除，也能被49整除，所以能被49整除，即当时命题成立，由（1）（2）知，能被49整除．5．，证明见解析【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.【详解】由，可得．由，可得．同理可得，，．归纳上述结果，猜想下面用数学归纳法证明这个猜想．（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．（2）假设当时，③式成立，即，那么，即当时，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．6．（1）a2=，a3＝，a4＝（2）an＝，证明见解析【分析】（1）用赋值法即可求解；（2）结合（1）的答案猜想出an，再数学归纳法的步骤证明即可.（1）∵a1＝，前n项和Sn＝an，∴令n＝2，得a1＋a2＝3a2，∴a2＝a1＝.令n＝3，得a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.令n＝4，得a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.（2）猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明.①当n＝1时，结论成立；②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即ak＝，则当n＝k＋1时，Sk＝·ak＝，Sk＋1＝·ak＋1，即Sk＋ak＋1＝·ak＋1，∴＋ak＋1＝·ak＋1，∴·ak＋1＝，∴ak＋1＝，∴当n＝k＋1时结论成立.由①②可知，对一切n∈N*都有an＝成立.7．证明见解析【分析】由已知结合数学归纳法即可求解【详解】证明：（1）当n＝1时，因为＜1，所以原不等式成立．（2）假设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立，即有，当n＝k＋1时，＜．因此，欲证当n＝k＋1时，原不等式成立，只需证明成立，即证，从而转化为证，也就是证．又＝k2＋k＋1－＝＞0，从而．于是当n＝k＋1时，原不等式也成立．由（1）（2）可知，当n是一切正整数时，原不等式都成立．8．证明见解析【分析】根据数学归纳法的步骤即可证明．【详解】（1）当时，左边＝，右边＝，不等式成立；（2）假设当时，原不等式成立，即，当时，∵∴．即，所以，当时，不等式也成立．根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．9．D【分析】写出与时左边的式子，对比即可求解【详解】由题意知：时，左边为，当时，左边为，增加项为：共项.故选：D10．C【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，归纳假设应写成：假设时命题成立．故选：C．11．C【分析】将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.【详解】n＝k时，左边为＋＋…＋，①n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②比较①②可知C正确.故选：C12．C【分析】将n＝1代入即得.【详解】由知，当时，等式的左边是.故选：C.13．答案见解析【分析】根据数学归纳法的步骤即可证出．【详解】①当时，左边＝，右边，左边＝右边；②假设当时，等式成立，即，那么，当时，，即等式也成立，综上，对一切，等式恒成立．14．B【分析】根据数学归纳法的步骤，即可判断选项.【详解】第二步假设当时成立，再推出当时成立.故选：B.15．C【分析】只需把公式中的n换成k即可．【详解】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.故选:C16．B【分析】根据题意表示出和，然后代入计算即可.【详解】由题意，，，所以.故选：B.17．B【分析】根据数学归纳法的步骤，结合数学归纳法的步骤进行验证，即可求解.【详解】因为，故数学归纳法应验证的情况，即.故选：B.18．D【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.故选：D.19．C【分析】根据题意，写出的表达式，然后求差即得，注意表达式的起始项、终止项和中间项的变化.【详解】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选：C.20．B【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.【详解】若已假设（为偶数）时命题为真，因为只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．21．D【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案.【详解】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为：假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立，即当（为正整数）时，能被整除，再证时，能被整除.故选：D.22．B【分析】直接用数学归纳法证明即可．【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式成立．综上，对任意，等式恒成立，故选：B．23．D【分析】根据题意可知可以判定A错误；根据n=k+1和n=k时不等式左边的式子的变化情况作差可以判定BCD.【详解】第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.故选:D.24．D【分析】理解数学归纳法到步骤，结合不等式的差异确定增减项即可.【详解】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，那么时，有：，∴，综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项故选：D25．C【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C.26．D【分析】根据数学归纳法的定义即可判断答案.【详解】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.故选:D.27．AD【详解】对于A：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.若成立，则成立，故A正确；对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；对于C：当成立时，总有成立.则逆否命题：当成立时，总有成立.故若成立，则成立，所以C错误；对于D：根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立，故D正确.故选：AD28．BC【详解】由题意可知，若对成立，则对所有正奇数都成立；若对成立，则对所有正偶数都成立.故选：BC29．AD【分析】直接根据已知条件判断每一个选项的正确错误.【详解】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.故选：AD30．AD【详解】如果当时命题成立，则当时命题也成立，与题设矛盾，即当时，命题不成立，A正确；如果当时命题成立，则当时命题成立，继续推导可得当时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当时，该命题可能成立也可能不成立，如果当时命题成立，则当时命题也成立，继续推导可得对任意，命题都成立，C不正确，D正确.故选：AD31．【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.【详解】假设时成立，即成立，当时，，故只需证明“”成立即可．故答案为：.32．Sn＝【详解】S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.故答案为：Sn＝33．2k【分析】由f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出f(2k)和f(2k＋1)进行比较可得答案【详解】观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋＋…＋，而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项.故答案为：2k34．未用归纳假设【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案.【详解】本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.故答案为：未用归纳假设35．【分析】当时可确定表达式左侧增加的项和右侧的形式，进而得到结果.【详解】当时，表达式左侧为：，表达式右侧为：，则当时，表达式为.故答案为：.36．（1），，，（2）证明见解析【分析】（1）由，，，2，，可求得，继而可求得，，由此猜想的一个通项公式：（2）证明，利用数学归纳法证明：易证①当时，不等式成立；②假设当时结论成立，即，去推证时，结论也成立即可.【详解】（1）由，得；由，得；由，得；由此猜想的一个通项公式：.（2）先证明：下面用数学归纳法证明当时，，成立．假设当时成立．即，那么当时，即当