4.4.2 第2课时 对数函数的图象和性质-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）

4.4.2第2课时对数函数的图象和性质【学习目标】课程标准学科素养1.进一步理解对数函数的性质(重点).2.能运用对数函数的性质解决相关问题(重、难点).1.数形结合2.数学运算【自主学习】1.对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为____；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为___.对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．2.数型复合函数的值域对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．【小试牛刀】1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(0,1) D．(1，＋∞)2．已知函数f(x)＝2eqlog\s\do8(\f(1,2))x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2))) B．[－1,1]C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(2),2)))∪[eq\r(2)，＋∞)【经典例题】题型一比较对数值的大小例1比较下列各组中两个值的大小：(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1).[跟踪训练]1下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)()A.loga5.1<loga5.9 B.logeq\f(1,2)2.1>logeq\f(1,2)2.2C.log1.1(a＋1)<log1.1a D.log32.9<log0.52.2题型二对数型复合函数的单调性1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).函数单调性y＝f(μ)增函数增函数减函数减函数μ＝g(x)增函数减函数增函数减函数y＝f[g(x)]增函数减函数减函数增函数例2求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间；例3讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．注意：求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．[跟踪训练]2(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2) B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)（2）函数f(x)＝logeq\f(1,3)(3x2－ax＋7)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围.题型三对数型复合函数的奇偶性注意：判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．例4已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．[跟踪训练]3设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数题型四对数型复合函数的值域1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．2．对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．例5求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(3＋2x－x2)．[跟踪训练]4函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)题型五解对数不等式注意：两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.例6已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[跟踪训练]5不等式logeq\f(1,2)(2x＋3)<logeq\f(1,2)(5x－6)的解集为()A.(－∞，3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3))【当堂达标】1.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A.a<c<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c2．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝____.3.函数y＝logeq\f(1,2)(x2－6x＋11)的值域为________.4.函数f(x)＝log2x2的单调递增区间是________.5.判断函数f(x)＝log2(eq\r(x2＋1)＋x)的奇偶性.

【参考答案】【自主学习】增函数减函数【小试牛刀】1.C[解析]由对数函数的单调知识易知0<a<1.2.A[解析]由－1≤2eqlog\s\do8(\f(1,2))x≤1，得－1≤－2log2x≤1.解得eq\f(\r(2),2)≤x≤eq\r(2).【经典例题】例1解(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32.(2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.(3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14；当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ<loga3.14.综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14.[跟踪训练]1B对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以eq\f(1,2)为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.例2解(1)由3－2x>0，解得x<eq\f(3,2)，设t＝3－2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，没有单调递减区间.例3[解析]由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<－eq\f(1,3)}．当a>1时，若x>1，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．若x<－eq\f(1,3)，∵u＝3x2－2x－1为减函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．当0<a<1时，y＝logau为减函数，若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，若x<－eq\f(1,3)，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．[跟踪训练]2（1）D解析要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.(2)解令t＝3x2－ax＋7，则y＝logeq\f(1,3)t单调递减，故t＝3x2－ax＋7在[－1，＋∞)上单调递增且t>0.因为t＝3x2－ax＋7的对称轴为x＝eq\f(a,6)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)≤－1，,10＋a>0，))解得－10<a≤－6，故a的取值范围为(－10，－6].例4[解析](1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0,1－x>0))，∴－1<x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称．∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．[跟踪训练]3A[解析]由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝ln(eq\f(2,1－x)－1)，易知y＝eq\f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A．例5[解析](1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．(2)设u＝3＋2x－x2，则