4.5函数的应用（二） 讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册

4.5函数的应用（二）一、函数的零点1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：思考函数的零点是函数与x轴的交点吗？二、函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．思考1函数零点存在定理的条件有哪些？思考2在函数零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？三、二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考1若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？思考2二分法的解题原理是什么？四、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c.(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．五、几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)六、应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．3．求模——求解数学模型，得出数学模型．4．还原——将数学结论还原为实际问题．

考点一零点的求解【例1】(2020·武威第六中学高二期末(文))若函数的零点是()，则函数的零点是()A． B．和 C． D．和【练1】(2020·北京高一期中)已知函数，那么方程f(x)＝0的解是()A． B．x＝1 C．x＝e D．x＝1或x＝e考点二零点区间的判断【例2】(2020·湖南娄底·高二期末)函数的零点所在的区间为()A． B． C． D．【练2】(2020·浙江高一课时练习)设函数与的图象的交点为，则所在的区间是()A． B．C． D．考点三零点个数的判断【例3】(1)(2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末(文))函数的零点个数为()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(2)(2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中)方程的实数解的个数为()A．1 B．2 C．3 D．0【练3】(2020·浙江高一课时练习)函数在区间(0,1)内的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3考点四根据零点求参数【例4】(2020·江苏省海头高级中学高一月考)方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为()A． B．C． D．【练4】(2020·吉林长春外国语学校高二开学考试)函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是()A． B． C． D．考点五二分法【例5】(2020·福建高一期中)设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的根落在区间A． B． C． D．不能确定【练5】(2020·郸城县实验高中高一月考)如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]考法六函数模型【例6】(2020·定远县育才学校)某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：)A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年【练6】(2019·四川高一期末)某种树木栽种时高度为A米为常数，记栽种x年后的高度为，经研究发现，近似地满足，其中，a，b为常数，，已知，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍参考数据：，．

课后习题（2020高一上·越秀期末）函数f(x)=lnA.

(0,12)

B.

(12,1)

C.

(1,（2021高一下·湛江期末）函数f(x)=2A.(1,2)

B.(2,3)

C.(3,4)

D.(4,5)（2020高一上·来宾期末）函数f(x)=2A.

(1,32)

B.

(32,2)

C.

(0,（2020高一上·毕节期末）若f(x)=xf(1)=−f(1.5)=0.625f(1.25)=−f(1.375)=−f(1.438)=0.165f(1.4065)=−那么方程x3A.

1.2

B.

1.3

C.

1.4

D.

1.5若二次函数y=x2+ax+b的两个零点分别是2和3，则2a+b（2021·云南模拟）函数f(x)=2sinxcosx−（2021高一下·西安月考）方程x=sinx实根的个数为（2021高二下·孝感期末）已知x0是函数f(x)=e2lnx+x（2020高一上·泉州期末）已知函数f(x)=4（1）若f(x)为偶函数，求a的值；（2）若函数g(x)=f(x)−(a+1)在[−（2020高一上·越秀期末）已知1与2是三次函数f(x)=x（1）求a，b的值；（2）求不等式ax（2021·沈阳模拟）已知函数f(x)=xlnx+a，（1）证明：f(x)有且仅有一个零点；（2）当a∈(−2e2,0)时，试判断函数g(x)=（2020高一上·咸阳期末）已知函数f(x)=ln(3+x)+ln（Ⅰ）证明：函数f(x)是偶函数；（Ⅱ）求函数f(x)的零点.精讲答案思考答案不是．函数的零点不是一个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．思考一答案定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.思考二答案满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0.思考一答案二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)，因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．思考二【例1】【答案】B【解析】由条件知，∴，∴的零点为和.故选B.【练1】【答案】C【解析】依题意，所以.故选：C【例2】【答案】C【解析】可以求得，所以函数的零点在区间内．故选C．【练2】【答案】B【解析】因为根据题意可知,当x=1时，则,而当x=2时，则，故选B.【例3】【答案】(1)C(2)A【解析】(1)令，则，即，又，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：(2)方程的实数解的个数，即为方程的实数解的个数，即为函数与函数图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数与函数的图象，如图所示：只有一个交点，所以方程的实数解的个数为1故选：A【练3】【答案】B,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个．【例4】【答案】B【解析】方程中，令，得，化简得，解得，所以时，方程有两个不相等的实数根；故选：B.【练4】【答案】C【解析】由条件可知，即a(a－3)<0，解得0<a<3.故选C．【例5】【答案】B【解析】又由零点存在定理可得在区间存在零点.方程的根落在区间故选：B．【练5】【答案】C【解析】结合图象可得：ABD选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.故选：C【例6】【答案】C【解析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过万元，由题意可得：，即，两边取对数可得：，则，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是年.故选C.【练6】【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)5年.【解析】Ⅰ，，

，又，即，，联立解得，，Ⅱ由Ⅰ得，由得，，．故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍．练习答案1.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】因为函数y=lnx、y=2x−3均为(0,+∞)上的增函数，所以，函数f(1)=−1<0，f(3因此，函数f(x)=lnx+2x−故答案为：C.

【分析】根据题意由对数函数和一次函数的单调性即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的值结合零点存在定理即可得出零点的区间。2.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】设任取x1，x所以f(x1)>f(所以f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)又因为f(2)<0，f(3)>0，所以零点所在的区间为(2,3).故答案为：B.3.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】函数f(x)=2x+由f(1)=1>0，f(1可得函数f(x)的零点所在的区间为(1故答案为：D.【分析】利用已知条件结合增函数的定义，从而判断出函数为增函数，再利用零点存在性定理，从而找出函数f(x)=24.【答案】C【考点】二分法的定义，函数零点的判定定理【解析】解：根据二分法，结合表中数据，由于f(1.438)=0.165>0，f(1.4065)=−所以方程x3+所以符合条件的解为1.4故答案为：C【分析】由二分法的定义进行判断，根据其原理：零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确选项。5.【答案】-4【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系，函数的零点与方程根的关系【解析】因为二次函数y=x所以一元二次方程x2由一元二次方程根与系数关系得：{3+2=−a因此，2a+b=2×(−故答案为：-4。【分析】利用函数的零点与方程的根的等价关系，因为二次函数y=x2+ax+b6.【答案】−π【考点】二倍角的余弦公式，函数的零点【解析】f(x)=2sin令f(x)=0得，sin(2x因为x∈(−π，π)2x−π3=−11π6解得x1故答案为：−【分析】根据题意由二倍角的余弦公式整理得出函数的解析式，结合正弦函数的性质以及图象由零点的定义计算出答案。7.【答案】1【考点】正弦函数的图象，根的存在性及根的个数判断【解析】方程x=sinx实根的个数可以转化为函数通过图象可知只有一个交点，故答案为：1【分析】根据题意作出直线y=x与正弦函数的图象，由数形结合法即可得出答案。8.【答案】2【考点】函数的零点【解析】根据题意可得e2所以x0整理可得x0可得当x0又lnx代入可得e2故答案为：2【分析】根据题意,令f(x)

=

0,变形可得x02ex09.【答案】（1）解：由题意，函数f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)，即整理得(a−1)(4

（2）解：因为函数g(x)=f(x)−令g(x)=0，可得4x+a2即(2由函数g(x)在[−所以x1=0，x2=log解得12≤a<1或所以a的取值范围为[1【考点】函数奇偶性的性质，函数的零点与方程根的关系【解析】(1)根据题意由偶函数的定义整理原式即可计算出a的值。

(2)首先由已知条件令g(x)=0整理即可得出方程4x−(a+1)2x10.【答案】（1）解：因为1与2是三次函数f(x)=x所以根据函数的零点的定义得：{f(1)=1+a+b=0f(2)=8+2a+b=0，解得：a=−7,b=6根据二次函数的性质得不等式的解集为：{x|−所以不等式的ax2−【考点】一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程，函数的零点与方程根的关系【解析】(1)由已知条件结合方程根的情况以及零点的定义，代入整理得到关于a与b的方程组，计算出a与b的值即可。

(2)由(1)的结论即可得出一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，从而即可求出不等式ax11.【答案】（1）证明：∵a<0，∴x∈(0,1)时，显然有f(x)=xlnx+a<0，函数又∵f