3.2.1 双曲线及其标准方程-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第三章：圆锥曲线的方程3.2.1双曲线及其标准方程【考点梳理】考点一：双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.考点二：双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2重难点技巧：（1）,,表示双曲线；（2）,,表示两条射线；（3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线.【题型归纳】题型一：双曲线的定义1．（2021·全国高二课时练习）动点到点及点的距离之差为，则当和时，点的轨迹分别是（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线2．（2021·全国高二课时练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（）A．椭圆 B．双曲线C．双曲线的左支 D．双曲线的右支3．（2020·红桥·天津三中）设分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（）A．5 B．3 C．7 D．3或7题型二：利用双曲线的定义求轨迹方程4．（2021·新疆乌鲁木齐市第70中（理））已知动圆M过定点，且和定圆相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A． B．C． D．5．（2021·湖南怀化·）已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A． B．C． D．6．（2020·南昌市铁路第一中学）已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为（）A． B．C． D．题型三：双曲线中的焦点三角形问题7．（2021·全国）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线上一点，，为坐标原点.若，则（）A．10 B．1或9 C．1 D．98．（2021·全国高二课时练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且.若的面积为，则（）A．1 B．2 C．4 D．9．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（）A． B．C． D．题型四：双曲线的标准方程的求法10．（2021·全国高二课时练习）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（）A． B． C． D．11．（2021·江西会昌县第五中学高二开学考试（文））已知双曲线的顶点到渐近线的距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．12．（2021·内蒙古乌兰浩特一中高二期末（文））已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【双基达标】一、单选题13．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（）A． B．C． D．14．（2021·全国高二课时练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（）A． B． C．1 D．或115．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，那么的值是（）A．21 B．30 C．27 D．1516．（2021·银川三沙源上游学校（理））命题“”是命题曲线表示双曲线的（）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件17．（2019·长沙市南雅中学高二月考）已知､为双曲线的左､右焦点，点在上，，则（）A． B． C． D．18．（2021·全国高二课时练习）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于（）A．2 B．4 C．6 D．819．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（）A． B． C． D．20．（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（）A． B．C． D．21．（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．22．（2020·浙江金华第一中学高二期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（）A．若为直角三角形，则的周长是B．若为直角三角形，则的面积是6C．若为锐角三角形，则的取值范围是D．若为钝角三角形，则的取值范围是【高分突破】一：单选题23．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．24．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（）A． B．C． D．25．（2021·全国高二课时练习）已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上均有可能26．（2021·玉林市育才中学高二期中（文））“”是“方程表示双曲线”的（）条件A．充分不必要 B．充要 C．必要不充分 D．既不充分又不必要27．（2021·全国高二专题练习）若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A．m－s B．(m－s) C．m2－s2 D．－28．（2021·江西科技学院附属中学高二月考（理））双曲线过，右焦点到渐近线的距离为2，的顶点，恰好是双曲线的两焦点，顶点在双曲线上，且，则（）A． B．2 C． D．29．（2020·江苏高二课前预习）过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（）A． B． C． D．30．（2021·全国高二专题练习）已知双曲线的一个焦点为，并且双曲线C的渐近线恰为矩形的边所在直线（O为坐标原点），则双曲线C的方程是（）A． B．C． D．二、多选题31．（2021·全国高二）已知方程表示曲线，则（）A．当时，曲线一定是椭圆B．当或时，曲线一定是双曲线C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则32．（2021·江苏省天一中学）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（）A． B．C． D．33．（2021·全国高二专题练习）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2为正常数，满足r1+r2＜4或|r1﹣r2|＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（）A．两个椭圆 B．两个双曲线C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线34．（2021·山东潍坊·高二期末）已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A．当，曲线为椭圆B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为C．“或”是“曲线为双曲线”的充要条件D．不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线35．（2021·江苏高二专题练习）已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（）A．3 B．6 C．7 D．1436．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线（，），，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（）A．B．直线，的斜率之积等于定值C．使得为等腰三角形的点有且仅有8个D．的面积为三、填空题37．（2020·全国高二单元测试）设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．38．（2021·安徽华星学校（理））已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．39．（2021·北京人大附中高二期末）已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．40．（2021·全国高二课时练习）已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为_________________．41．（2021·江苏高二专题练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则__________．四、解答题42．（2021·全国高二专题练习）已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．43．（2021·全国高二（文））已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程：（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．44．（2021·全国高二专题练习）如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.45．（2021·江苏高二专题练习）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.46．（2021·全国高二课时练习）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为．（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值．47．（2021·江苏高二专题练习）已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且.（1）求双曲线的标准方程.（2）设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点.使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案详解】1．C【详解】由题意，知，当时，，此时点的轨迹是双曲线的一支；当时，，点的轨迹为以为端点沿轴向右的一条射线．故选：C.2．D【详解】表示：动点到两定点，的距离之差等于2，而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．故选：D3．D【详解】解：根据双曲线的定义，，因为，所以或故选：D4．A【详解】设定圆的圆心为，半径为，当两圆内切时，定圆在动圆M的内部，有；当两圆外切时有，故，由双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线，且，所以，故圆心的轨迹方程为.故选：A.5．B【详解】设动圆的半径为，又圆与圆的半径均为，则由已知得，所以.又点，则，所以，根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.因为，所以，于是点的轨迹方程为.故选：B.6．A【详解】如图所示，设两切线分别与圆切于点，，则，，，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，以为实轴的双曲线的右支（不含右顶点），则，，所以，因此点的轨迹方程为.故选：A．7．D【详解】由双曲线：得：，由双曲线的定义知，，又，∴或（舍去）.又为双曲线上一点，，∴为线段的中点，则.故选：D.8．D设，.由，的面积为，可得，∴①由离心率为，可得，代入①式，可得.故选：D.9．A【详解】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A10．A【详解】设双曲线方程为：，半焦距为.在直线中，令，得，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为，∴，∴，故选：A．11．B【详解】解：双曲线的顶点为，渐近线方程为，，由题意可得，即为，①双曲线的焦点设为，，由题意可得，②由①②可得，，则双曲线的方程为．故选：B．12．B【详解】由题意得，解得，所以双曲线的方程为．故选：B．13．C【详解】设双曲线的方程为：，半焦距为.则，，则，故，所以双曲线的标准方程为．故选：C.14．D【详解】因为双曲线的焦点在横轴上，所以由题意可得：，故选：D15．C【详解】由题意可知，，，，两式相加得，即.故选：C16．A【详解】曲线表示双曲线，则，解得，因此是的充分不必要条件．故选：A．17．A【详解】因为，所以，所以在右支上，所以，又因为，所以，所以，故选：A.18．B【详解】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝4.故选：B.19．B【详解】设圆与的三边的切点分别为，如图，令，，，根据双曲线的定义可得，化简得，由此可知，在中，轴于，同理轴于，轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；故选：B20．A【详解】设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，由切线长定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，则点P的轨迹是以M，N为左右焦点，实轴长2a=2的双曲线右支，虚半轴长b有，所以点P的轨迹方程为.故选：A21．D【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得，所以实数m的取值范围为.故选：D22．C【详解】解：因为双曲线，所以，不妨设点P在第一象限，则，若为直角三角形，当时，则，又，即，所以，，所以，所以的周长是，的面积是；当时，设，代入方程解得（负值舍去），所以，故，所以，所以的周长是，的面积是6，综上所述，若为直角三角形，则的周长是或8，的面积是3或6，故A、B错误；若为锐角三角形，根据上述，则的取值范围是，故C正确；若为钝角三角形，根据上述，则的取值范围是，故D错误.故选：C.23．A【详解】由题知，，所以==，解得.故选：A24．C【详解】依题意，，所以双曲线的方程为.故选：C25．B【详解】根据椭圆与双曲线的焦点都在轴上，不妨设在第一象限，是左焦点，是右焦点，则由椭圆与双曲线的定义有：，可得，，即，因为两者有公共焦点，设半焦距为，则，，所以，所以，所以，即，是直角三角形．故选：B.26．C【详解】若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，若为双曲线，则必须异号，所以，故是必要条件，所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.故选：C27．A【详解】解：不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得解得则|PF1|·|PF2|＝＝m－s．故选：A．28．C【详解】依题意，且双曲线焦点在轴上，焦点坐标，渐近线方程，焦点到渐近线的距离为，所以.由于，所以在双曲线的右支，结合正弦定理和双曲线的定义得.故选：C29．A【详解】设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，∴，显然其最小值为，.故选：A.30．A【详解】焦点为，，为矩形，，根据双曲的对称性，，又，则可解得，则双曲线方程为.故选：A.31．BD【详解】对于A，当时，曲线是圆，故A错误；对于B，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C错误；对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．故选BD．32．AB解：因为四边形的面积为，所以，整理得，记四边形内切圆半径为r，则，得．又，所以，又，联立可得，或，所以双曲线的方程为或．故选：AB.33．BCD解：根据题意圆，半径r1，圆，半径r2，所以，设圆P的半径为r，（1）当，即两圆外离时，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，①均内切时，，此时，当时，此时P点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，当时，此时点P在C1，C2的垂直平分线上．②均外切时|PC1|＝r+r1，|PC2|＝r+r2，此时．此时P点的轨迹是与①相同．③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，|PC1|＝r﹣r1，|PC2|＝r+r2，与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．（2）当，两圆相交，动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，④均内切时轨迹和①相同．⑤均外切时轨迹和①相同⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆C1内切，与圆C2外切，|PC1|＝r1﹣r，|PC2|＝r+r2，|PC1|+|PC2|＝r1+r2此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．与圆C2内切，与圆C1外切时，同理得，此时点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．故选：BCD．34．BCD【详解】对A，若，则曲线方程表示圆，故A错误；对B，当时，曲线方程为，表示双曲线，其渐近线方程为，故B正确；对C，要使曲线为双曲线，需满足，解得或，故“或”是“曲线为双曲线”的充要条件，故C正确；对D，若离心率为，则，则可得，则或，两个方程均无解，故D正确.故选：BCD.35．AC【详解】连接，是的中位线，∴，∵，，∴或6，∴或3.故选：AC.36．ABC【详解】A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得，所以A正确；B，设点，有，，直线的斜率之积，所以B正确；C，根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，此时为等腰三角形，也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C正确；D，，设，，由双曲线的定义可得，则，①由余弦定理可得，②②①得，，则，所以D不正确.故选：ABC37．12由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此.38．对于双曲线，则，，，如下图所示：设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.39．解：双曲线的渐近线方程为,由一条渐近线方程为,可得椭圆的焦点为,，可得由可得,,即双曲线的方程为,故答案为:．40．【详解】由圆，圆心，半径为，圆，圆心，半径为，

设动圆心的坐标为，半径为，则，，

，

由双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且