3.2.1函数的单调性与最大（小）值-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册3.2.1：函数的单调性与最大（小）值课标解读：函数的单调性和单调区间的概念、作用和实际意义.（理解）函数的最大值和最小值的概念、作用和实际意义.（理解）学习指导：这里所学习的函数“单调性”与初中所学习的区别在于高中是用符号语言来定量描述函数的单调性，而初中则是借助图形直观定性描述的。本节理解函数“单调性”的定义是主要障碍，而突破难点的有效途径是借助特例及图形的直观.另外函数单调性的应用是高考的热点之一，因此要熟练掌握求解其相关问题的方法与技巧.知识导图：知识点1：函数的单调性2.函数的单调性及单调区间（1）当函数在它的定义域上单调递增（减）时，我们就称它是增（减）函数.（2）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.3.常见函数的单调性函数单调性一次函数时，在R上单调递增；时，在R上单调递减.反比例函数时，单调递减区间是和；时，单调递增区间是和.二次函数时，单调递减区间是，单调增区间是时，单调递减区间是，单调增区间是.例1-1：下列命题为正命题的是（）.A.定义在上的函数，如果，当时，有，那么在上单调递增如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减定义在上的函数，若有无穷多对，当时，有，那么在上为增函数，当，成立，则函数在上不是单调递增的答案：D例1-2：（1）根据图像写出两个函数的单调区间，以及在单调区间上函数时增函数还是减函数.答案：图（1）的单调区间为，且在此区间上是增函数.图（2）的单调区间为，且在此区间上是减函数.（2）如图，分别为函数的图像，试分别写出和的单调递增区间.答案：图（1）所示函数在上，是单调递增的，所以的单调递增区间是.图（2）所示的函数在上，的单调递增区间是.例1-3：下列四个函数中，在上单调递增的是（）.A.B.C.D.答案：C知识点2：函数的最大（小）值名称定义几何意义函数的最大值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足：，都有，使得那么，我们称M是函数的最大值函数的最大值对应图像最高点的纵坐标.函数的最小值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1），都有（2），使得那么，我们称是函数的最大值函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.2.利用函数单调性求最值的常用结论（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值，如图（1）所示：（2）如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值，如图（2）所示：例2-4：如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.答案：最大值为3，最小值为-2例2-5：（1）函数在区间[1，5]上的最大值为，最小值为；（2）函数的最大值为.答案：（1）3（2）5例2-6：已知函数则函数的最大值、最小值分别为.答案：2重难拓展知识点3：对增（减）函数定义的等价形式及对勾函数性质的探究1.对增（减）函数定义的等价形式的探究设函数的定义域为，区间，记.则（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：都有（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：都有2.对对勾函数函数性质的探究利用上述等价形式，可以探究函数在整个定义域上的单调性.记.由于，因此，，且，可得到如下表格：D的符号＋－－＋的单调性单调递增单调递减单调递减单调递增所以，的增区间是和，减区间是和.拓展：将上述内容拓展到一般情形有：若，则，且，有.D的符号＋－－＋的单调性单调递增单调递减单调递减单调递增所以，的增区间是和，减区间是和.探究：对函数的图像的探究如下.注意到当时，，因此.当且时，，因此.当且时，，因此.当时，，因此.又故结合上述讨论可知，函数的大致图象如图所示，由该函数图像近似于两个关于原点对称的对“√”.因此我们称函数为对勾函数，借助对勾函数的图像，可以帮助我们熟练掌握对勾函数的性质.如果函数为，则可变形为，那么它的单调性同样可用上述结论求解.例3-8：若对勾函数在整数集Z上单调递增，则实数t的取值范围是.答案：（0，2）例3-9：已知函数，利用对勾函数的性质，求函数的单调区间和值域.答案：当时，单调递减，所以的单调递减区间为当时，单调递增，所以的单调递增区间为值域：.知识点4：单调函数的运算性质若函数在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质.（1）与（C为常数）具有相同的单调性.（2）若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性.（3）若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.（4）若，则与具有相同的单调性.（5）在的公共单调区间上，有如下结论：增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减（6）当都是增（减）函数，若两者都恒大于零，则也是增（减）函数；若两者都恒小于零，则是减（增）函数.例4-10：证明当恒为正值或恒为负值时，与具有相反的单调性.答案：若函数是增函数，取定义域内的两个数，且，则，易知由于恒为正值或恒为负值，则从而，故函数是减函数.同理可证：若函数是减函数，则函数是增函数.知识点5：复合函数的单调性判定对于复合函数，设在上是单调函数，且在上也是单调函数，那么在上的单调性如何呢？下面我们来探讨一下.若在上是增函数，且也为增函数；任取，因为在上是增函数，所以，又也为增函数，所以有，则根据增函数的定义知在上为增函数.（2）若在上是增函数，且也为减函数；任取，因为在上是增函数，所以，又为减函数，所以有，则根据减函数的定义知在上为减函数.类似的，我们不难发现：当在上是减函数，且为增函数时，在上为减函数；当在上是减函数，且为减函数时，在上为增函数.根据上面探讨，在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”增增增增减减减增减减减增若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数的个数有奇数个，则这个复合函数为减函数.例5-12：已知函数在定义域上单调递减，求的单调递减区间.答案：[-1,0]题型与方法题型1：函数单调性的判断及单调区间的求解.1.定义法讨论函数的单调性或求单调区间例13：判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.答案：函数在区间上单调递减.证明如下：任取，则∵∴又∴∴即∴函数在区间上单调递减.例14：函数的单调减区间为.答案：变式训练：试讨论函数的单调性.答案：当时，在上单调递增当时，在上单调递减2.图象法判断函数的单调性例15：求下列函数的单调区间：；.答案：（1）单调增区间：；单调减区间：（2）单调增区间：；单调减区间：3.判断复合函数的单调性例16：已知函数，试求的单调区间.答案：单调增区间：；单调减区间：4.抽象函数的单调性例17：设是定义在R上的函数，，且当时，求证求证时，恒有求证在R上是减函数.答案：（1）令，可得∵∴（2）由题意知时，当时，当时，，∴∴（3）取任意，则∴由（2）知，又，∴故，故在R上是减函数.变式训练：定义在上的函数满足：①对任意正数都有；②当时，则的单调减区间为.答案：题型2：求函数的最值1.利用单调性求值例18：函数的最小值为.答案：22.利用图象求最值例19：用表示两个数中的最小值.设，则的最大值为.答案：6变式训练：函数，其中，记在区间[0,2]上的最小值为，则函数的最大值为（）.A.B.0C.1D.2答案：D题型3：二次函数的最值问题1.定轴定区间例20：已知函数，当自变量在下列范围取值时，求函数的最大值和最小值：（1）R；（2）[0,3]（3）[-1,1].答案：（1）最小值-7，无最大值；（2）最大值5，最小值-7；（3）最大值20，最小值-4；2.动轴定区间例21：已知函数，求函数的最小值.答案：3.定轴动区间例22：已知函数的最小值为，求的函数表达式.答案：4.动轴动区间例23：设是正数，，记的最大值为求的表达式.答案：题型4：函数单调性的应用1.利用函数的单调性求参数的取值范围例24：若函数，在R上为增函数，则实数b的取值范围为（）.A.B.[1,2]C.（]D.（]答案：B例25：已知函数在（0,1）上单调递增，则实数的取值范围是.答案：变式训练1：若函数在（0,1）上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围为.答案：变式训练2：函数在区间（]上单调递减，则取值范围为（）.A.B.C.D.答案：B2.利用函数的单调性比较大小、解不等式例26：已知函数对任意的实数t都有，则比较的大小为（）.A.B.C.D.答案：B例27：已知是定义在区间[-1,1]上的增函数，且，则的取值范围为.答案：题型5：函数最值的应用例28：已知函数在上的最大值为1，则的值是（）1B.2C.3D.4答案：B（2）函数在上取得最小值-1，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.答案：C变式训练：已知函数若是的最小值，则t的取值范围为（）.A.B.C.D.答案：D易错提醒易错1：应忽略定义域二求错单调区间例30：函数的单调区间.答案：易错2：混淆“单调区间”和“在区间上单调”两个概念例31：（1）若函数的单调递减区间是，则实数的取值范围是.答案：（2）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是.答案：感知高考考向1：函数单调性的判断及应用例32：能说明“对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是.答案：（答案不唯一）例33：已知符号是R上的增函数，，则（）A.B.C.D.答案：B考向2：函数的最值例34：已知，函数.若存在，使得，则实数的最大值是.答案：例35：已知，函数=若对任意恒成立，则的取值范围是.答案：例36：若函数在区间上最大值是，最小值是，则（）A.与有关，且与有关B.与有关，但与无关C.与无关，且与无关D.与无关，但与有关答案：B例37：已知函数.设.记的最小值为A，的最小值为B，则A-B=（）A.B.C.-16D.16答案：C例38：已知，函数，其中.求使得等式成立的的取值范围.①求的最小值；②求在区间[0,6]上的最大值.答案：（1）；（2）①②基础巩固：设都是的单调递增区间，且，则的大小关系为（）B.C.D.不能确定2.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.3.若函数的定义域为R，且在上单调递减，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.4.若与在区间[1,2]上都是单调递减，则取值范围是（）A.B.C.D.5.函数的最大值为.6.已知二次函数的图像关于y轴对称，且在上单调递增，则的大小关系为.7.二次函数在上有最大值3，最小值1，则实数的取值范围是.8.已知函数（1）用定义证明在区间上单调递增；（2）求该函数在[2,4]上的最大值与最小值.能力提升9.（多选题）定义在R上的函数的图像如图所示，它在定义域上是减函数，则下列结论中正确的是（）A.B.C.若，则D.若，则10.已知定义在上的函数满足满足：对任意正实数都有，且当时恒有，则下列结论正确的是（）A.在上是减函数B.在上是增函数C.在上单调递减，在上单调递增D.在上单调递增，在上单调递减11.函数的单调递减区间为（）A.B.（0,1）C.（1,2）D.（0,2）12.已知定义在R上的增函数满足对任意，都有，且，，若，则的取值范围是（）A.B.（-1,1）C.（0,2）D.（1,3）13.已知函数，若有最小值-2，则的最大值