3.2.2 函数的基本性质(2)-奇偶性-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性学会借助图象解决抽象的数学问题,逐步形成解决抽象数学问题的能力.学习时还应掌握以下几点:1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.一、基础过关练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于()A.-1 B.1 C.0 D.22.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a))3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()4.能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=.

5.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.题组二函数奇偶性的判定6.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数7.下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是()A.y=|x| B.y=3-xC.y=1x D.y=-x28.若函数f(x)=1,x>A.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数9.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x2-1+(2)f(x)=2x(3)f(x)=x题组三函数奇偶性的综合运用10.已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,其定义域为[m+1,-2n+2],则()A.m=0,n=0 B.m=-3,n=0C.m=1,n=0 D.m=3,n=011.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=()A.20 B.12 C.-20 D.-1212.已知函数f(x)为R上的奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,则xf(x)>0的解集是.

13.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为.

14.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=.

15.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域.二、能力提升练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.已知y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和是()A.4 B.2 C.1 D.02.(多选)若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是()A.f(x)+f(-x)=0 B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)·f(-x)<0 D.f(3.f(x)是定义在R上的奇函数,其在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象;(2)解不等式xf(x)>0.题组二函数奇偶性的判定4.下列函数是偶函数的是()A.f(x)=x3-1x B.f(x)=C.f(x)=(x-1)1+x1−5.已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为()A.奇函数 B.偶函数C.奇函数或偶函数 D.非奇非偶函数6.已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数7.(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.|f(x)|g(x)是奇函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.f(x)+|g(x)|是偶函数D.|f(x)|+g(x)是偶函数题组三函数奇偶性的综合运用8.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则()A.f-3B.f(-1)<f-3C.f(2)<f(-1)<f-D.f(2)<f-39.函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,2] D.[1,3]10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为(深度解析)A.-1 B.1 C.2 D.011.已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2-1x+1A.-23 B.C.-3 D.1112.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x,0≤x≤1,-1,113.(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;(2)若f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.14.已知函数f(x)=ax+b1+x2(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)<0.15.已知函数f(x)=x2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在(0,p)上单调递增,试求p的最大值.16.设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.(1)王鹏同学认为,无论a取何值,f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;(2)若f(x)是偶函数,求a的值;(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.深度解析答案全解全析基础过关练1.A因为该奇函数的定义域为{-1,2,a,b},且奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b中一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1,故选A.2.B∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),∴点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.3.B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.4.答案1x解析举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=1x5.解析(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图①所示,易知f(3)=-2.(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图②所示,易知f(1)>f(3).6.B∵x∈(-a,a),其定义域关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.7.A选项A中,函数y=|x|为偶函数,且在区间(0,1)上为增函数,故A符合题意;选项B中,函数y=3-x为非奇非偶函数,且在区间(0,1)上为减函数,故B不符合题意;选项C中,函数y=1x为奇函数,且在区间(0,1)上为减函数,故C不符合题意;选项D中,函数y=-x28.B作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.9.解析(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.10.B由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,得n=0.又函数的定义域为[m+1,-2n+2],所以m+1=2n-2,则m=-3.11.B由题意得f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.答案(-∞,-5)∪(5,+∞)解析∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(-5)=0.可大致用图象表示:∵xf(x)>0等价于x与f(x)同号,且均不为0,∴结合图象知解集是(-∞,-5)∪(5,+∞).13.答案5解析因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.14.答案1解析由题意可得f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.15.解析(1)∵x≥0时,f(x)=x2-2x,∴当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+2x,∴f(-x)=f(x)=x2+2x.故函数f(x)的解析式为f(x)=x函数f(x)的图象如图所示.(2)由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞);单调递减区间为(-∞,-1],[0,1].函数f(x)的值域为[-1,+∞).能力提升练1.D因为y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)=0的所有实数根之和为0.2.AB∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正确;f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正确;当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C不正确;当x=0时,f(3.解析(1)根据奇函数的图象关于原点对称,可得f(x)的图象如图所示.(2)xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不为0.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).4.D在选项A中,f(x)=x3-1x(x≠0),f(-x)=-x3+1x,f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项B中,f(x)=1−x2|x-2|-25.B依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故选B.6.A令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.又因为f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选A.7.BDA中,令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|·g(x)=h(x),∴A中函数是偶函数,A错误;B中,令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴B中函数是奇函数,B正确;C中,由f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函数,可得g(-x)=g(x),由f(-x)+|g(-x)|=-f(x)+|g(x)|知C错误;D中,由|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),知D正确.故选BD.8.D由f(x)是偶函数且在(-∞,-1]上单调递增,得f(x)在[1,+∞)上单调递减,f-32=f32,f(-1)=f(1),又因为2>32>1,所以f(2)<f9.C因为f(x)为奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=1,所以-1≤f(x-1)≤1等价于f(1)≤f(x-1)≤f(-1).由函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,可得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2.故选C.10.D∵f(x)是R上的奇函数,f(1)=1,∴f(-1)=-f(1)=-1,f(0)=0.依题意得f(3)=f(-1+4)=-f(1)=-1,f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1.因此,f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.陷阱提示在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时,f(0)=0这个特殊情况,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.11.A∵f(x)+g(x)=x2-1x∴f(-x)+g(-x)=(-x)2-1-x+1-2=x2又∵函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),∴f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=x2-1-联立①②消去g(x),得f(x)=-12x+2∴f(2)=-12×2+2+1-2×2+2=-12.答案(32,+∞)解析由已知条件画出函数f(x)的图象(图中实线部分),若对任意的x∈R,不等式f(x)>f(x-2a)恒成立,则函数f(x)的图象始终在函数f(x-2a)的图象的上方.当a<0时,将函数f(x)的图象向左平移,不能满足题意,故a>0,将函数f(x)图象向右平移时的临界情况是当D点与B点重合,且临界情况不满足题意,由图可知,向右平移的2a个单位长度应大于6,即2a>6,解得a>32,故答案为(32,+∞).13.解析(1)由题知f(x)为奇函数,且在R上是增函数,则f(2x-1)+f(3)<0⇒f(2x-1)<-f(3)⇒f(2x-1)<f(-3)⇒2x-1<-3,解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1).(2)由题知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,则f(2x-1)-f(-3)<0⇒f(2x-1)<f(