3.2.3 函数的基本性质（综合拔高练）-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第三章函数的概念与性质3.2.3综合拔高练考点1函数的概念与表示1.函数y=7+6x-2.设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=,b=.

考点2分段函数的应用3.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-89A.-∞,94 C.-∞,52 4.已知a∈R,函数f(x)=x2+2x考点3函数基本性质的综合运用5.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50 B.0 C.2 D.506.已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a的最大值是7.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)是单射(即如果x,y∈(0,+∞),且x≠y,都有f(x)≠f(y)),对任意的x>0,有xf(x)>1,f(xf(x)-1)=2,则f(2)=.

应用实践1.设f(x)=x,0<xA.8 B.6C.4 D.22.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,A(0,1),B(2,-1)是其图象上的两点,则不等式|f(x-1)|>1的解集为()A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)3.已知函数f(x)=(xA.(-∞,-2)∪-12,+∞C.(-∞,-2)∪-12,1 4.(多选)下列关于函数f(x)=x2-x4|A.f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]B.f(x)的值域为(-1,1)C.f(x)在定义域上是增函数D.f(x)的图象关于原点对称5.(多选)下列结论正确的有()A.函数f(x)=(x-1)0+x+1B.函数y=f(x)(x∈[-1,1])的图象与y轴有且只有一个交点C.“k>1”是“函数f(x)=(k-1)x+k(k∈R)为增函数”的充要条件D.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=06.(多选)我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”:(1)对任意的x∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x≥0,y≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立,下列判断正确的是()A.若f(x)为“Ω函数”,则f(0)=0B.若f(x)为“Ω函数”,则f(x)在[0,+∞)上为增函数C.函数g(x)=0,xD.函数g(x)=x2+x在[0,+∞)上是“Ω函数”7.已知函数f(x)=-x248.已知函数f(x)=x2-4x+10(x∈[m,n])的值域为[3m,3n],则2m+n=.

9.下列说法正确的是.(填序号)

(1)函数f(x)=-2x(2)函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;(3)已知函数f(x)=x2(4)若函数y=x2+(2a-1)x+1的减区间是(-∞,2],则a=-32(5)若函数f(x)满足R上的任意实数x1,x2(x1≠x2),(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则f(x)在R上单调递减.10.已知函数f(x+2)=3x+1x+2,函数g(x)=1-2x+x(1)求函数f(x)的解析式,并写出其定义域;(2)求函数g(x)的值域.11.已知函数f(x)对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,有f(x)>0.(1)求证:f(x)在R上为增函数;(2)求证:f(x)是R上的奇函数;(3)若f(1)=1,解不等式f(x2)-f(x+2)>4.迁移创新12.经过函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.(1)若f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集;(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,g(x)=x2-1x①求g(x)的解析式;②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集.答案全解全析五年高考练1.答案[-1,7]解析由题意可得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故该函数的定义域是[-1,7].2.答案-2;1解析f(x)-f(a)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)[x2+ax+a2+3(x+a)]=(x-a)[x2+(a+3)·x+a2+3a]=(x-a)(x-a)(x-b),则x2+(a+3)x+a2+3a=x2-(a+b)x+ab,即a+3=−(a3.B由题可知,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=x2-x,则当x=12时,f(x)min=-14,且当x=13时,f(x)=-2∴若x∈(1,2],则当x=32时,f(x)min=-12,且x=43同理,若x∈(2,3],则当x=52时,f(x)min=-1,且x=73时,f(x)=-8∴函数f(x)的大致图象如图所示.∵f(x)≥-89对任意x∈(-∞,m]恒成立,∴当x∈(-∞,m]时,f(x)min≥-89,由图可知m≤4.答案1解析当x>0时,f(x)=-x2+2x-2a,此时只需-x2+2x-2a≤x恒成立,即2a≥-x2+x恒成立,因为x>0时,y=-x2+x的最大值为14所以a≥18当-3≤x≤0时,f(x)=x2+2x+a-2,此时只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,即a≤-x2-3x+2恒成立,因为-3≤x≤0时,y=-x2-3x+2的最小值为2,所以a≤2.故a的取值范围为185.C因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0.又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(-x)=f(2+x)②.由①②可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=f(x).由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,f(6)=f(2)=0,……,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2.6.答案4解析|f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at3-t)|=|a(6t2+12t+8)-2|.令m=6t2+12t+8=6(t+1)2+2,则m∈[2,+∞),设g(m)=f(t+2)-f(t)=am-2,|am-2|≤23当a=0时,g(m)=-2,不符合题意;当a>0时,g(m)∈[2a-2,+∞),∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≤23,得0<a≤当a<0时,g(m)∈(-∞,2a-2],∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≥-23,得a≥综上可知,0<a≤43,即a的最大值为47.答案1解析由函数f(x)是单射,且f(xf(x)-1)=2,得xf(x)-1是常数,令xf(x)-1=t(x>0),则f(x)=t+1因此tf(t)-1=t,所以f(tf(t)-1)=2,由f(t)=2,得f(2t-1)=2②,由①②及函数f(x)是单射得t=2t-1,解得t=1,所以f(x)=2x三年模拟练应用实践1.C由题意知,当a∈(0,1)时,若f(a)=f(a+1),则a=2a,解得a=14,则f1当a∈[1,+∞)时,若f(a)=f(a+1),则2(a-1)=2a,显然无解.综上可得f1a2.D由题意可知f(0)=1,f(2)=-1,又知f(x)是定义在R上的单调函数,所以f(x)在R上单调递减.由|f(x-1)|>1得f(x-1)>1或f(x-1)<-1,即f(x-1)>f(0)或f(x-1)<f(2),所以x-1<0或x-1>2,解得x<1或x>3,故选D.3.C当a≤-1时,由f(a)=(a+1)2>1,解得a>0或a<-2,故a<-2;当-1<a<1时,由f(a)=2a+2>1,解得a>-12,故-1当a≥1时,由f(a)=1a综上所述,a的取值范围是(-∞,-2)∪-14.ABD由x2-x4≥0,|x-1|-1≠0,得-1≤x≤1且x≠0,此时f(x)=x2-x4-(易错警示研究函数的性质时,应先求定义域,再化简解析式.不求定义域就化简解析式可能会导致定义域发生变化,从而导致解题错误;化简解析式有一定的必要性,若不化简解析式,可能会反映不出函数的本质,从而导致问题不能解决.5.BCD选项A中,由x-1≠0,6.AD对于选项A,由条件(1)知,f(x)≥0,则f(0)≥0,由条件(2)知,f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,所以f(0)=0,A正确;对于选项B,当f(x)=0(x∈[0,+∞))时,符合条件(1),(2),f(x)是“Ω函数”,但f(x)在[0,+∞)上不是增函数,B错误;对于选项C,取x=2-2,y=2+2,则g(2-2)=1,g(2+2)=1,g((2-2)+(2+2))=g(4)=0,不满足g(x+y)≥g(x)+g(y),所以g(x)不是“Ω函数”,C错误;对于选项D,g(x)=x2+x在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,满足条件(1),又g(x+y)-g(x)-g(y)=[(x+y)2+(x+y)]-(x2+x)-(y2+y)=2xy,当x≥0,y≥0时,2xy≥0,此时g(x+y)≥g(x)+g(y),满足条件(2),D正确.故选AD.7.答案(-2,0)∪(0,2)解析因为当x>0时,h(x)=f(x),所以当x>0时,h(x)=-x24,0<8.答案9解析∵f(x)=x2-4x+10=(x-2)2+6≥6,∴3m≥6,∴m≥2,又函数f(x)图象的对称轴为x=2,∴函数f(x)在[m,n]上单调递增.∴f(m)=3m,f(n)=3n,即m2-4m+10=3m,n2-4n+10=3n,解得m=2或m=5,n=2或n=5,又m<n,∴m=2,n=5,∴2m+n=4+5=9,故答案为9.9.答案(4)(5)解析函数f(x)=-2x在(0,+∞)上单调递增,故(1)错误;函数y=2x(x∈N)的图象是间断的点,故(2)错误;函数f(x)=x2+1(x≤0),-2x(x>0),若f(x)=10,则x的值为-3,故(3)错误;若函数y=x2+(2a-1)x+1的减区间是(-∞,2],则-2a-12=2,即a=-32,故(4)正确;若函数f(x)满足R上的任意实数x1,x2(x1≠x2),(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立,则当x故答案为(4)(5).10.解析(1)令t=x+2,t>2,则x=(t-2)2,∴f(t)=3(t-2)2+1(∴f(x)=3(x-2)2+1((2)令t=x+2,t≥0,则x=t2∴y=1-2(t2-2)+t=-2t2+t+5,t≥0,当t=14时,y取得最大值,最大值为418,所以原函数的值域为11.解析(1)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1),∵对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),∵当x>0时,f(x)>0,且x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),即y=f(x)在R上为增函数.(2)证明:∵对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),即函数y=f(x)为R上的奇函数.(3)若f(1)=1,则f(2)=2f(1)=2,f(4)=2f(2)=4,∴不等式f(x2)-f(x+2)>4等价于f(x2)-f(x+2)>f(4),由(2)知f(x)为奇函数,∴-f(x+2)=f(-x-2),∴f(x2)-f(x+2)=f(x2)+f(-x-2),∴f(x2-x-2)>f(4),又由(1)知,f(x)在R上为增函数,∴x2-x-2>4,即x2-x-6>0,∴x>3或x<-2.∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).迁移创新12.解析(1)设x>0,则-x<0,则f(-x)=2·(-x)-1=-2x-1,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1.所以f(x)=2因为f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|,即x2<(2x-1)2,解得x<13所以不等式的解集是xx(2)①因为g(x)的图