3.3 幂函数-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第三章函数的概念与性质3.3幂函数学习本节内容要从概念、图象及性质理解幂函数.学习时还应掌握以下几点:1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.通过具体实例,结合y=x,y=x-1,y=x2,y=x12,y=x3.能利用幂函数的单调性比较大小.一、基础过关练题组一幂函数的概念1.下列函数是幂函数的是()A.y=2x2 B.y=x3+x C.y=3x D.y=x2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点4,14A.12 B.2 C.22 3.函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)A.(-∞,1] B.-∞,12C.(-∞,-1) D.14.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=,b=.

5.已知函数f(x)=(m2+2m)·xm(1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)幂函数?题组二幂函数的图象及其应用6.函数y=x437.如图所示,曲线C1和C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>08.在同一平面直角坐标系中,函数y=xa和y=ax+1a(a≠0)的图象可能是题组三幂函数的性质及其应用9.下列命题正确的是()A.幂函数y=xn的图象都经过(0,0),(1,1)两点B.当n=0时,函数y=xn的图象是一条直线C.如果两个幂函数的图象有三个公共点,那么这两个函数一定相同D.如果幂函数为偶函数,那么图象一定经过点(-1,1)10.如果幂函数f(x)=xα的图象过点(-2,4),那么f(x)的单调递增区间是()A.(-∞,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,0] D.(-∞,0)∪(0,+∞)11.已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)·xa在区间(0,+∞)上是单调递增函数,则a的值为()A.3 B.-1 C.-3 D.112.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)·xm-1为偶函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.二、能力提升练题组一幂函数的概念与图象1.若f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=4,则f1A.-4 B.4 C.-12 D.2.函数y=x123.已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[23,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2]∪[23,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)4.对于幂函数f(x)=x45,若0<x1<x2,则fx1+A.fx1+B.fx1+C.fx1+D.无法确定5.已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)xm2-4题组二幂函数的性质及其应用6.若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则f(x)在定义域内()A.为增函数 B.为减函数C.有最小值 D.有最大值7.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)x2m-3在区间(0,+∞)上是增函数,则m的值为()A.4 B.3C.-1 D.-1或48.已知函数f(x)=(2n-1)x-mA.2 B.3C.4 D.59.(多选)已知函数f(x)=xa的图象经过点(4,2),则()A.函数f(x)在定义域内为增函数B.函数f(x)为偶函数C.当x>1时,f(x)>1D.当0<x1<x2时,f(x10.(多选)已知幂函数f(x)=xmn(m,n∈N*A.m,n是奇数时,f(x)是奇函数B.m是偶数,n是奇数时,f(x)是偶函数C.m是奇数,n是偶数时,f(x)是偶函数D.0<mn11.若点(2,2)在幂函数f(x)的图象上,点2,1(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;(2)定义h(x)=f(12.已知幂函数f(x)=x1m2(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;(2)若函数f(x)的图象经过点(2,2),试确定m的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.

答案全解全析基础过关练1.Dy=2x2,y=x3+x,y=3x均不是幂函数,y=x12.A设幂函数为f(x)=xα,∵幂函数的图象经过点4,14,∴14∴f(x)=x-1,∴f(2)=2-1=123.B依题意得1−x>0,2x-1≠0,4.答案25;解析由题意得2a+5.解析(1)若函数f(x)为正比例函数,则m2(2)若函数f(x)为反比例函数,则m2(3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±2.6.A∵y=x43=又∵43>1,∴y=x437.A由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m<0,n<0.由幂函数图象的特点知n<m,故n<m<0.8.B∵在y=ax+1a中,a与1a同号,当a>0时,若x=0,则y=1a9.D对于A,幂函数y=xn的图象都经过点(1,1),当n≤0时,不过点(0,0),故A不正确;对于B,当n=0时,幂函数y=xn的图象是一条除去点(0,1)的直线y=1,故B不正确;对于C,当两个幂函数的图象有三个交点时,这两个函数可以不相同.如y=x与y=x3有三个交点,但这两个函数不相同,故C不正确;对于D,幂函数的图象都经过点(1,1),若幂函数为偶函数,则其图象一定经过点(-1,1),故D正确.故选D.10.B依题意得(-2)α=4=(-2)2,即α=2,∴f(x)=x2,∴f(x)的单调递增区间是[0,+∞),故选B.11.A由题意知a2-2a-2=1,解得a=3或a=-1,由f(x)在区间(0,+∞)上是单调递增函数可知a>0,所以a=3,故选A.12.解析(1)由题意得m2-5m+7=1,即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.又f(x)为偶函数,所以m=3,即f(x)=x2.(2)由(1)知f(x)=x2,则g(x)=x2-ax-3.因为g(x)=x2-ax-3在[1,3]上不是单调函数,所以1<a2即a的取值范围为(2,6).能力提升练1.D设f(x)=xα,则f(4)=4α=22α,f(2)=2α.∵f(4)f(2)=22α∴α=2,∴f(x)=x2,∴f12=1222.By=x12-1的定义域为[0,+∞),且为增函数,所以函数图象从左到右是上升的,所以y=3.B当0<m≤1时,1m≥1,y=(mx-1)2在[0,1]上单调递减,值域为[(m-1)2,1];y=x+m在[0,1]上单调递增,值域为[m,1+m],此时两个函数图象有且仅有一个交点.当m>1时,0<1m<1,y=(mx-1)2在1m,1上单调递增,所以要与y=4.A幂函数f(x)=x4设A(x1,0),C(x2,0),其中0<x1<x2,则AC的中点E的坐标为x1且|AB|=f(x1),|CD|=f(x2),|EF|=fx1+x∴fx1+x5.答案3解析依题意得m2-3m+1=1,解得m=0或m=3.当m=0时,f(x)=x,其图象经过原点,不符合题意;当m=3时,f(x)=x-2,其图象不经过原点,符合题意,因此实数m的值为3.6.C设幂函数f(x)=xα,由f(-2)=4,得(-2)α=4,所以α=2,即f(x)=x2,所以函数f(x)在定义域内有最小值0.故选C.7.A∵f(x)=(m2-3m-3)x2m-3是幂函数,∴m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=-1时,f(x)=x-5,其在区间(0,+∞)上是减函数,不合题意;当m=4时,f(x)=x5,其在区间(0,+∞)上是增函数,满足题意.所以m=4,故选A.8.A因为函数f(x)为幂函数,所以2n-1=1,所以n=1.因为函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,所以-m2+2m+3>0,所以-1<m<3.又因为m∈N,所以m=0,1,2.当m=0或m=2时,函数f(x)为奇函数,不合题意,舍去;当m=1时,f(x)=x4,为偶函数,符合题意.故m=1.所以m+n=1+1=2.故选A.9.ACD由题意得4a=2,解得a=12,所以f(x)=x12=x.易得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且为非奇非偶函数,故A正确,B错误;当x>1时,f(x)=x解题模板函数的“凹凸性”:设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),当自变量取x1,x2的平均数x1+x22时,图象上点的纵坐标为fx1+x22,线段AB的中点坐标为10.ABf(x)=xmn=nx